تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: تعيين موضع نقطة على مستطيل بمعلومية مجموع عزوم القوى حولها الرياضيات

ﺃﺏﺟﺩ مستطيل، فيه ﺃﺏ = ٦ سم، ﺏﺟ = ٨ سم، والقوى التي مقاديرها ٢٤، ٣٠، ٨، ٣٠ نيوتن تؤثر في اتجاه ﺏﺃ، ﺏﺟ، ﺟﺩ، ﺟﺃ على الترتيب. إذا كانت النقطة ﻫ ∈ ﺏﺟ؛ حيث مجموع عزوم القوى حول ﻫ يساوي ٥٣ نيوتن سنتيمتر في اتجاه ﺃﺏﺟﺩ، فأوجد طول ﺏﻫ.

١١:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ مستطيل، فيه ﺃﺏ يساوي ستة سنتيمترات وﺏﺟ يساوي ثمانية سنتيمترات، والقوى التي مقاديرها ٢٤ و٣٠ وثمانية و٣٠ نيوتن تؤثر في اتجاه ﺏﺃ وﺏﺟ وﺟﺩ وﺟﺃ، على الترتيب. إذا كانت النقطة ﻫ تقع على امتداد ﺏﺟ؛ حيث مجموع عزوم القوى حول ﻫ يساوي ٥٣ نيوتن سنتيمتر في اتجاه ﺃﺏﺟﺩ، فأوجد طول ﺏﻫ.

حسنًا، لدينا هنا المستطيل ﺃﺏﺟﺩ. ونحن نعلم من المعطيات أن ﺃﺏ يساوي ستة سنتيمترات وﺏﺟ يساوي ثمانية سنتيمترات. إلى جانب ذلك، هناك قوى تؤثر على طول الأضلاع الأربعة لهذا الشكل. وعلمنا أيضًا من السؤال أن هناك قوة مقدارها ٢٤ نيوتن تؤثر على طول الضلع ﺃﺏ، وهذه القوة متجهة من ﺏ إلى ﺃ. وهناك قوة مقدارها ٣٠ نيوتن تؤثر على الضلع ﺏﺟ، ومتجهة من ﺏ إلى ﺟ. وقوة مقدارها ثمانية نيوتن تؤثر على المستقيم من ﺟ إلى ﺩ. وعلمنا أيضًا من السؤال أن هناك قوة مقدارها ٣٠ نيوتن تؤثر على المستقيم من الرأس ﺟ إلى الرأس ﺃ، ويمكننا رسمه هكذا.

عرفنا بعد ذلك أن النقطة ﻫ، تقع على طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ. لكننا لا نعرف بعد أين تقع النقطة ﻫ بالضبط. ولكي نتمكن من تمثيلها، سنفترض أنها تقع عند هذه النقطة الوردية. تخبرنا المسألة أن مجموع العزوم الناتجة عن هذه القوى الأربعة حول النقطة ﻫ يساوي ٥٣ نيوتن سنتيمتر في اتجاه ﺃﺏﺟﺩ. حسنًا، علينا مراعاة نقطة مهمة هنا. أي قوة لا يمر خط عملها بمحور دوران معطى، ستنتج حول هذا المحور عزمًا يرمز له بالحرف ﺝ. مقدار ﺝ يساوي مركبة القوة ﻕ العمودية على المسافة ﻑ بين موضع تطبيق القوة ومحور الدوران.

هذا يعني أنه عند النظر إلى القوى الأربعة المؤثرة على المستطيل، نجد أن محصلتها تنتج عزمًا حول النقطة ﻫ. نحن نعلم مقدار هذا العزم واتجاهه. واتجاه ﺃﺏﺟﺩ كما رسمناه في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وبما أن العزم المعطى في هذا الاتجاه موجب، فسنقول إن العزم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجب؛ ومن ثم يكون العزم في اتجاه دوران عقارب الساعة سالبًا. بمعرفة كل ما سبق، فإن ما يعنينا في هذا السؤال هو هذه القطعة المستقيمة هنا؛ أي المسافة بين ﺏ والنقطة ﻫ.

لكي نبدأ في إيجاد الحل، دعونا نكتب إجمالي العزوم حول النقطة ﻫ، ونسمه ﺝ الكلية، ثم نفرغ بعض المساحة على الشاشة لبدء الحل. بمعرفة أن هناك أربع قوى تؤثر على المستطيل، يمكننا القول إن إجمالي العزوم هذا هو ناتج جمع عزوم كل القوى. بكتابة هذا في صورة معادلة، يمكننا قول إن ﺝ الكلية يساوي مجموع هذه العزوم الأربعة التي ينشأ كل منها بفعل قوة تؤثر على هذه القطعة المستقيمة. إننا نعرف بالفعل قيمة ﺝ الكلية. وسنحاول خطوة بخطوة إيجاد قيم هذه العزوم الأربعة. وفي أثناء ذلك، سنتمكن من إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺏﻫ.

حسنًا سنبدأ بهذا العزم؛ ﺝﺏﺃ، الناتج عن القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن وتؤثر من الرأس ﺏ في اتجاه الرأس ﺃ. يمكننا كتابة معادلة تعبر عن مقدار هذا العزم باستخدام هذا التعبير العام. لاحظ في هذه الحالة أن القوة التي تساوي ٢٤ نيوتن تؤثر بالفعل عموديًّا على المسافة بين خط عمل هذه القوة ومحور الدوران؛ أي النقطة ﻫ. وبتجاهل وحدات القياس مؤقتًا، يمكننا كتابة ﺝﺏﺃ على الصورة ٢٤ مضروبًا في القطعة المستقيمة ﺏﻫ.

سنتناول بعد ذلك إشارة هذا العزم. نلاحظ هنا أن هذه القوة ستنتج دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻫ. ووفقًا لقاعدة الإشارات السابق ذكرها، تصبح إشارة هذا العزم سالبة. وهذا هو المقدار الكامل للعزم الناتج عن القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن حول النقطة ﻫ. بالنظر إلى العزم التالي؛ ﺝﺏﺟ، نجد أنه العزم الناتج عن القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن وتؤثر من الرأس ﺏ في اتجاه الرأس ﺟ. ونلاحظ هنا أن خط عمل هذه القوة يمر بالنقطة ﻫ. هذا يخبرنا أن المسافة ﻑ تساوي صفرًا في هذه المعادلة التي تعبر عن العزم الناتج عن القوة. ويوضح ذلك أنه لا توجد مسافة عمودية بين خط عمل هذه القوة ومحور الدوران. هذا يعني أن ﺝﺏﺟ يساوي صفرًا.

سننتقل الآن إلى العزم التالي؛ ﺝﺟﺩ. هذا هو العزم الذي نشأ حول النقطة ﻫ بفعل القوة التي مقدارها ثمانية نيوتن. مرة أخرى، لدينا هنا حالة تؤثر فيها القوة عموديًّا على القطعة المستقيمة ﺏﺟ. المسافة التي نريد ضربها في مقدار هذه القوة تساوي طول هذه القطعة المستقيمة البرتقالية هنا. يمكننا أن نسمي هذه القطعة المستقيمة ﻫﺟ. لكن هناك طريقة أخرى للتعبير عن هذه المسافة. يمكننا أن نسميها ﺏﺟ؛ أي المسافة الكلية من الرأس ﺏ إلى الرأس ﺟ، ناقص ﺏﻫ؛ وهو الطول الذي نريد إيجاده. وعند التفكير في إشارة هذا العزم، نلاحظ أن هذه القوة التي مقدارها ثمانية نيوتن تنتج عزمًا في اتجاه عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻫ. وعليه، فإن إشارة هذا العزم موجبة.

سننتقل الآن إلى العزم الأخير. وهو العزم حول النقطة ﻫ بفعل القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن والتي تؤثر على طول المستقيم من الرأس ﺟ إلى الرأس ﺃ. المسافة من خط عمل هذه القوة إلى محور الدوران هي مجددًا طول هذا الخط المستقيم البرتقالي ﺏﺟ ناقص ﺏﻫ. لكن لاحظ أن هذه القوة لم تعد تؤثر عموديًّا على هذا الخط. ما نريده هو تقسيم هذه القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن إلى مركبتيها، ثم استخدام هذه المركبة الرأسية لتلك القوة في العملية الحسابية. والسؤال هنا هو: ما قيمة هذه المركبة الرأسية؟

حسنًا، نحن نعلم أن هذا المثلث هنا قائم الزاوية. ونعلم أيضًا أنه يشبه المثلث القائم الزاوية الأكبر الذي يشكل النصف العلوي الأيمن من المستطيل. وبالنسبة إلى هذا المثلث الأكبر، فإننا نعرف النسبة بين طولي الضلعين الأفقي والرأسي. وهذه النسبة نفسها تنطبق على المثلث البرتقالي المشابه له. وبدلالة الأطوال النسبية للأضلاع، يمكننا القول إن طول هذا الضلع في المثلث البرتقالي يساوي أربع وحدات، مقارنة بثلاث وحدات لهذا الضلع.

إننا نقول ذلك لأنه إذا تمكنا من إيجاد الطول النسبي لوتر هذا المثلث، والذي نعرف أنه يقابل قوة مقدارها ٣٠ نيوتن، فسنتمكن من استخدام النسب لإيجاد المركبة الرأسية لهذه القوة. وبما أن هذا مثلث قائم الزاوية، وطولا الضلعين القصيرين ثلاثة وأربعة، يمكننا قول إن أطوال أضلاع هذا المثلث هي ثلاثة وأربعة وخمسة. إليكم ما يعنيه ذلك. إذا سمينا المركبة الرأسية للقوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن ﻕ الرأسية، فإن ﻕ الرأسية على ثلاثة يساوي ٣٠ نيوتن على خمسة. وإذا استبعدنا تحديد الوحدات الآن، فسنجد أن ﻕ الرأسية يساوي ثلاثة أخماس في ٣٠. وهذا يساوي ١٨ بوحدة النيوتن.

بمعلومية ذلك، يمكننا البدء في إجراء بعض الخطوات لإيجاد قيمة ﺝﺟﺃ. إنها تساوي مركبة القوة الرأسية، وهي ١٨ نيوتن، مضروبة في هذه المسافة ﺏﺟ ناقص ﺏﻫ. ولأن هذه القوة تنتج أيضًا دورانًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻫ، فإن هذا العزم يكون موجبًا. حسنًا، لدينا الآن تعبير كامل لكل عزوم القوى. لعلنا نتذكر أن لـ ﺝ الكلية قيمة معلومة، في حين أن ﺏﻫ — أي طول هذه القطعة المستقيمة — هو ما نريد إيجاده. إذن، يمكننا البدء في تجميع الحدود التي تتضمن القيمة ﺏﻫ.

بإجراء هذه الخطوة، يصبح المقدار لدينا ﺏﻫ مضروبًا في الكمية سالب ٢٤ ناقص ١٨ ناقص ثمانية زائد ﺏﺟ — وهو طول الضلع المجهول — في الكمية ثمانية زائد ١٨. وهذا يعطينا سالب ٥٠ﺏﻫ زائد ٢٦ﺏﺟ. والآن دعونا نتذكر أن هذا المقدار يساوي ﺝ الكلية، وهو ما يساوي ٥٣، دون تحديد الوحدات. إذا أضفنا ٥٠ﺏﻫ إلى كلا الطرفين في هذا المقدار وطرحنا ٥٣ من كليهما، فسنجد أن ٢٦ﺏﺟ ناقص ٥٣ يساوي ٥٠ﺏﻫ. وأخيرًا، بقسمة الطرفين على ٥٠، مع حذف هذا العامل على اليسار، نحصل على مقدار يعبر عن الطول الذي نريد إيجاده؛ وهو طول ﺏﻫ.

بمعلومية أن طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ يساوي ثمانية سنتيمترات، نجد أن ﺏﻫ يساوي ٢٦ في ثمانية ناقص ٥٣ الكل مقسومًا على ٥٠. بإدخال هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٫١. وهذه النتيجة تعبر عن مسافة، وهي تقاس بوحدة السنتيمتر. إذن، هذه هي الإجابة النهائية؛ طول القطعة المستقيمة ﺏﻫ يساوي ٣٫١ سنتيمترات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.