تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: حجم الأسطوانة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حجم الأسطوانة، ونحل المسائل التي تتضمن مواقف حياتية.

١١:١١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول كيفية إيجاد حجم أسطوانة. سنتناول أولًا المنشور وكيف نحسب حجمه. بعد ذلك سنشرح كيف أن الأسطوانة منشور دائري. وأخيرًا، سنتناول بعض الأمثلة على الأسطوانات وكيفية حساب أحجامها.

قبل أن نتحدث عن الأسطوانة، دعونا نفكر في المنشور. المنشور شكل ثلاثي الأبعاد له مقطع عرضي ثابت. على سبيل المثال، أمامنا متوازي مستطيلات. ولقد حددت المقطع العرضي بهذه الخطوط البرتقالية. إذا قطعنا هذا المنشور عند أي نقطة، وليكن عند هذه النقطة، ثم نظرنا إلى الجزء لدينا، فسنجد أنه لا يزال لدينا المقطع العرضي نفسه. هذا مثال آخر على المنشور؛ وهو منشور ثلاثي. المقطع العرضي هنا، وهو مثلث، متماثل على طول المنشور. هذا منشور دائري. ويكون شكل الدائرة متماثلًا على طول المنشور. في الواقع، يطلق على المنشور الدائري اسم خاص؛ وهو الأسطوانة.

قبل أن نتطرق إلى الحجم، دعونا نتخيل مكعبًا طول كل ضلع من أضلاعه وحدة واحدة. مساحة المقطع العرضي لهذا المكعب تساوي واحدًا في واحد، وهو ما يساوي وحدة مربعة واحدة. يمكننا حساب حجم هذا المنشور؛ أي متوازي المستطيلات، بضرب مساحة المقطع العرضي في الطول. في هذه الحالة، سيكون الطول ارتفاع المكعب. إذن الحجم يساوي واحدًا في واحد، وهو ما يساوي واحدًا. ولأننا نحسب الحجم، فإن وحدة القياس ستكون وحدة مكعبة.

إذن إذا وضعنا المكعب الذي مساحته وحدة مكعبة واحدة فوق مكعب آخر مطابق له، فسيكون حجمهما وحدتين مكعبتين. وإذا وضعنا مكعبًا ثالثًا فسيكون الحجم ثلاث وحدات مكعبة، والمكعب الرابع سيجعل الحجم أربع وحدات مكعبة، وهكذا. لكن ماذا يحدث إذا بدأنا بمكعبين متجاورين من هذه المكعبات؟ في كل مرة نضيف فيها طبقة أخرى، سنضيف وحدتين مكعبتين أخريين. إذن حجم ثلاث طبقات سيساوي ست وحدات مكعبة، وحجم أربع طبقات سيساوي ثماني وحدات مكعبة. إذن الفكرة العامة هي أننا نضرب مساحة المقطع العرضي للمنشور في عدد طبقات المنشور أو طوله أو ارتفاعه.

كما ذكرنا سابقًا، الأسطوانة منشور ذو مقطع عرضي دائري الشكل. إذن مرة أخرى، لإيجاد الحجم، علينا إيجاد مساحة المقطع العرضي وضربها في الارتفاع. ومن ثم كلما زاد ارتفاع الأسطوانة، زاد حجمها. لإيجاد مساحة الدائرة، نضرب ‪𝜋‬‏ في مربع نصف القطر، وهو ما يمكن كتابته على الصورة ‪𝜋‬‏نق تربيع؛ حيث نق هو نصف القطر. بعد ذلك سنفترض أن ارتفاع الأسطوانة يساوي ﻉ، وبما أن الحجم يساوي مساحة المقطع العرضي مضروبة في الارتفاع، إذن يمكننا كتابة أن حجم الأسطوانة يساوي ‪𝜋‬‏نق تربيع ﻉ. يمكننا استخدام هذه النتيجة، أو هذه الصيغة، لمساعدتنا في الإجابة عن الأسئلة التي تتضمن حجم الأسطوانة.

دعونا نلق نظرة على بعض الأمثلة.

أوجد حجم الأسطوانة المعطاة، لأقرب جزء من عشرة.

في هذه الأسطوانة، نصف القطر نق يساوي ٤٫٢ أقدام، والارتفاع ﻉ يساوي ٦٫٥ أقدام. يمكننا استخدام الصيغة التي توضح أن حجم الأسطوانة يساوي مساحة المقطع العرضي مضروبة في الارتفاع. وبما أن المقطع العرضي عبارة عن دائرة، فإن مساحته تساوي ‪𝜋‬‏نق تربيع، ويمكننا أن نشير إلى الارتفاع بالحرف ﻉ. بالتعويض بقيمتي نصف القطر نق والارتفاع ﻉ، نحصل على ‪𝜋‬‏ في ٤٫٢ تربيع في ٦٫٥. يجب أن ننتبه جيدًا إلى أن نصف القطر الذي يساوي ٤٫٢ هو القيمة الوحيدة التي سنقوم بتربيعها. إذن لدينا ‪𝜋‬‏ في ١٧٫٦٤ في ٦٫٥. يمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة التي ستعطينا ٣٦٠٫٢١٥٠١٣٧ وهكذا مع توالي الأرقام. والوحدة هنا هي القدم المكعبة؛ لأننا نحسب الحجم.

بما أنه مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة، فإننا سنتحقق إذا ما كان الرقم العشري الثاني يساوي خمسة أم أكثر. وبما أنه ليس كذلك، نجد أن الإجابة هي ٣٦٠٫٢ قدمًا مكعبة. وهذه هي الإجابة النهائية لحجم الأسطوانة.

في السؤال الآتي، سنتناول مثالًا على إيجاد حجم أسطوانة دون الحاجة إلى استخدام الآلة الحاسبة. ويمكننا فعل ذلك بترك الإجابة بدلالة ‪𝜋‬‏.

حجم الأسطوانة يعطى بالعلاقة ﺡ يساوي ‪𝜋‬‏نق تربيع ﻉ. أوجد حجم أسطوانة نصف قطرها أربعة سنتيمترات وارتفاعها ١٤ سنتيمترًا. اكتب الإجابة بدلالة ‪𝜋‬‏.

في هذا السؤال، هناك أمران يجب ملاحظتهما. أولًا: ليس لدينا شكل في هذا السؤال. ثانيًا: مطلوب منا كتابة الإجابة بدلالة ‪𝜋‬‏. هذا يعني أننا لن نكتب القيم على الآلة الحاسبة ثم نقرب الناتج. لسنا بحاجة هنا إلى رسم شكل، لكن من الممكن أن يساعدنا ذلك في تنظيم أفكارنا عند حل السؤال. حسنًا، طول نصف القطر في هذه الأسطوانة يساوي أربعة سنتيمترات، والارتفاع يساوي ١٤ سنتيمترًا. يمكننا هنا استخدام الصيغة التي توضح أن حجم الأسطوانة يساوي ‪𝜋‬‏ في مربع نصف القطر في الارتفاع، مع تذكر أن ‪𝜋‬‏ في مربع نصف القطر هو مساحة المقطع العرضي؛ أي إن الحجم يساوي مساحة الدائرة مضروبة في ارتفاع الأسطوانة.

بالنسبة إلى الصيغة ﺡ يساوي ‪𝜋‬‏نق تربيع ﻉ، سنعوض بقيمتي نصف القطر والارتفاع، وهو ما يعطينا ﺡ يساوي ‪𝜋‬‏ في أربعة تربيع في ١٤. بما أن أربعة تربيع يساوي ١٦، إذن يصبح لدينا ﺡ يساوي ‪𝜋‬‏ في ١٦ في ١٤. وبما أن ١٦ في ١٤ يساوي ٢٢٤، يصبح لدينا ﺡ يساوي ٢٢٤ 𝜋. ونظرًا لأن هذا المقدار يمثل حجمًا، وكلتا الوحدتين لدينا السنتيمتر، فإن الوحدة النهائية ستكون السنتيمتر المكعب. مطلوب منا كتابة الإجابة بدلالة ‪𝜋‬‏. إذن الإجابة النهائية هي ٢٢٤𝜋 سنتيمتر مكعب.

يمكننا عادة التعرض لأنواع من المسائل أكثر صعوبة، وتكون مسائل كلامية أو تتضمن مواقف حياتية. في هذه المسائل، بدلًا من أن نقول صراحة إن هناك أسطوانة لها نصف القطر هذا والارتفاع ذاك، علينا استنباط معنى المتغيرات المختلفة من سياق السؤال. دعونا نتناول مثالًا على ذلك.

إذا كانت ٧٫٥ جالونات من الماء يمكن أن تملأ قدمًا مكعبة واحدة تقريبًا، فما عدد الجالونات الكاملة من الماء التي يمكن أن تكون في خزان الماء الأسطواني الشكل هذا إذا كان ممتلئًا؟

إذا تخيلنا أن الخزان ممتلئ بالماء، فإننا سنوجد حجم الماء في هذا الخزان باستخدام الصيغة التي توضح أن حجم الأسطوانة يساوي ‪𝜋‬‏ في مربع نصف القطر مضروبًا في الارتفاع. ليس لدينا هنا طول نصف القطر؛ أي نق. لكننا نعلم أن طول القطر يساوي ٢٠ قدمًا. وبما أن نصف القطر يساوي نصف هذه القيمة، إذن نعلم بذلك أن نصف القطر يساوي ١٠ أقدام. إذن لإيجاد الحجم سنكتب الصيغة ونعوض فيها بالقيم. ومن ثم الحجم يساوي ‪𝜋‬‏ في ١٠ تربيع في ١٢. من المهم ملاحظة أن القيمة ١٠ هي القيمة الوحيدة المربعة وليس القيمتين ‪𝜋‬‏ و١٢. بما أن ١٠ تربيع يساوي ١٠٠، إذن يصبح لدينا ‪𝜋‬‏ في ١٠٠ في ١٢، وهو ما يساوي ١٢٠٠𝜋 قدم مكعبة.

يمكننا ترك الإجابة بدلالة ‪𝜋‬‏ مؤقتًا لضمان أقصى قدر من الدقة. وذلك لأننا إذا قربنا لأقرب ثلاث منازل عشرية، قد تؤدي الأخطاء الناتجة عن التقريب إلى حدوث خطأ في باقي العملية الحسابية، ومن ثم قد تكون الإجابة النهائية غير صحيحة. لقد أوجدنا حجم الخزان بوحدة القدم المكعبة. لكن مطلوب منا في السؤال تحديد عدد الجالونات الكاملة من الماء التي يمكن أن تكون في خزان الماء الأسطواني. تحتوي كل قدم مكعبة على ٧٫٥ جالونات من الماء. ومن ثم، إذا كان لدينا ١٢٠٠𝜋 قدم مكعبة، فإن عدد جالونات الماء سيساوي ٧٫٥ أمثال هذه القيمة.

إذن العملية الحسابية التي علينا القيام بها هي إيجاد عدد الجالونات، وذلك بضرب ١٢٠٠𝜋 في ٧٫٥. يمكننا بعد ذلك كتابة هذا المقدار على الآلة الحاسبة لنحصل بذلك على ٢٨٢٧٤٫٣٣٣٨ جالونًا مع توالي الأرقام. لكننا سنحتاج إلى تقريب هذا العدد؛ حيث مطلوب منا في السؤال تحديد عدد الجالونات الكاملة من الماء، إذن سنتحقق إذا ما كان الرقم العشري الأول يساوي خمسة أم أكثر. وبما أنه ليس كذلك، إذن الإجابة لأقرب جالون كامل تساوي ٢٨٢٧٤ جالونًا.

سنتناول الآن مثالًا نقارن فيه بين حجم أسطوانة وحجم شكل آخر.

أيهما أكبر حجمًا: مكعب طول حرفه أربعة سنتيمترات، أم أسطوانة نصف قطرها ثلاثة سنتيمترات وارتفاعها ثمانية سنتيمترات؟

كل ما علينا فعله هنا هو حساب حجم المكعب وحجم الأسطوانة، ثم المقارنة بين الحجمين. سنبدأ بالمكعب، يمكننا رسم شكل يمثل مكعبًا أبعاده أربعة سنتيمترات في أربعة سنتيمترات في أربعة سنتيمترات. ويمكن إيجاد الحجم عن طريق إيجاد حاصل ضرب أربعة في أربعة في أربعة، وهو ما يساوي ٦٤. وبما أن الوحدات لدينا بالسنتيمتر ونحن هنا نحسب حجمًا، فإن الوحدة النهائية ستكون السنتيمتر المكعب. يمكننا الآن تناول الأسطوانة التي يبلغ نصف قطرها ثلاثة سنتيمترات وارتفاعها ثمانية سنتيمترات. يمكن إيجاد حجم الأسطوانة باستخدام الصيغة التي توضح أن الحجم يساوي ‪𝜋‬‏ في مربع نصف القطر في الارتفاع.

إذن باستخدام الصيغة والتعويض بقيمتي نصف القطر نق والارتفاع ﻉ، نجد أن الحجم يساوي ‪𝜋‬‏ في ثلاثة تربيع في ثمانية، مع الحرص على تربيع نصف القطر فقط؛ أي العدد ثلاثة، وعدم تربيع أي من القيمتين الأخريين. وبما أن ثلاثة تربيع يساوي تسعة، يصبح لدينا ‪𝜋‬‏ في تسعة في ثمانية. وبما أن تسعة في ثمانية يساوي ٧٢، يصبح لدينا ‪𝜋‬‏ في ٧٢. باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا كتابة الناتج على الصورة ٢٢٦٫١٩٤٦ وهكذا مع توالي الأرقام. وستكون الوحدة السنتيمتر المكعب. بذلك، نكون قد أوجدنا حجمي هذين الشكلين. وبما أن كليهما بالوحدة نفسها، إذن يمكننا بسهولة مقارنة حجم المكعب، الذي يساوي ٦٤ سنتيمترًا مكعبًا، بحجم الأسطوانة الذي يساوي ٢٢٦٫١٩ سنتيمترًا مكعبًا. أيهما أكبر؟ حسنًا، من الواضح أن القيمة ٢٢٦٫١٩٤٦ أكبر بكثير من ٦٤. ومن ثم الأسطوانة هي الأكبر حجمًا.

دعونا الآن نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو.

علمنا أن الأسطوانة أحد أنواع المنشور، ولها مقطع عرضي دائري الشكل. لحساب حجم أي منشور، نوجد مساحة المقطع العرضي ونضربها في طول المنشور، الذي يسمى أحيانًا ارتفاع المنشور. يمكننا كتابة ذلك بشكل أدق بالصيغة: حجم الأسطوانة يساوي ‪𝜋‬‏ في مربع نصف القطر في الارتفاع. من الضروري عند الإجابة عن أي سؤال أن نتحقق إذا ما كان المعطى لنا طول قطر الأسطوانة أم طول نصف قطرها. وأخيرًا، عند الإجابة عن المسائل التي تتضمن مواقف حياتية، علينا قراءة السؤال جيدًا لتحديد المعلومات ذات الصلة والتحقق من الوحدات. علينا أيضًا التفكير دائمًا في رسم شكل؛ لأن هذا قد يكون مفيدًا جدًّا في تنظيم أفكارنا عند حل السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.