فيديو: تبسيط خارج قسمة دالتين كسريتين

بسط الدالة ‪𝑛(𝑥) = (𝑥² + 7𝑥)/(6𝑥² + 25𝑥 + 4) ÷ (6𝑥² − 𝑥)/(36𝑥² −1)‬‏.

١٠:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

بسط الدالة 𝑛 في المتغير 𝑥 يساوي 𝑥 تربيع زائد سبعة 𝑥 على ستة 𝑥 تربيع زائد 25𝑥 زائد أربعة، الكل مقسوم على ستة 𝑥 تربيع ناقص 𝑥 على 36𝑥 تربيع ناقص واحد.

حسنًا، سنبسط هذه الدالة. عند تبسيط دالة كهذه، كل ما علينا فعله في الأساس هو تبسيط خارج القسمة. حسنًا. إذن، في البداية، سنستخدم إحدى قواعد التعامل مع الكسور. وكما نرى، أصبح لدينا 𝑥 تربيع زائد سبعة 𝑥 على ستة 𝑥 تربيع زائد 25𝑥 زائد أربعة، في 36𝑥 تربيع ناقص واحد على ستة 𝑥 تربيع ناقص 𝑥.

وهكذا، فقد وضعنا مقلوب الكسر، بمعنى أننا بدلنا أماكن البسط والمقام. حسنًا، هذا رائع! والآن، ماذا نفعل؟ كيف سنبسط هذه الدالة؟ كما نرى في هذه الدالة يوجد الكثير من قيم 𝑥 تربيع. فيوجد المتغير 𝑥 كثيرًا في صورته التربيعية. إذن ما يمكننا فعله في أي مسألة بهذا الشكل هو أننا سنحلل البسط والمقام.

حسنًا، سنبدأ إذن بالبسط 𝑥 تربيع زائد سبعة 𝑥. عندما ننظر إلى 𝑥 تربيع زائد سبعة 𝑥 نجد أن العامل المشترك في كل من 𝑥 تربيع وسبعة 𝑥 هو 𝑥. إذن سنضع 𝑥 خارج القوسين. أما داخل القوسين فسنضع 𝑥 والتي عند ضربها في 𝑥 يكون الناتج 𝑥 تربيع، ثم موجب سبعة والتي عند ضربها في 𝑥 يكون الناتج سبعة 𝑥. أما الآن فننتقل إلى تحليل المقام لنتذكر ما علينا فعله. نلاحظ أن هذه الدالة هي دالة تربيعية، ومن ثم فإننا نعرف أنه سيكون علينا كتابة زوجين من الأقواس.

نحتاج الآن لمعرفة ما العوامل التي سنكتبها داخل الأقواس. في هذه الدالة التربيعية، الأمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء لأن معامل 𝑥 تربيع أكبر من واحد، وهكذا فإن لدينا معامل 𝑥 تربيع وهو ستة، ومن ثم سنستعرض طريقة بسيطة يمكنك استخدامها لإيجاد عوامل هذه الدالة التربيعية. أولًا، سنضرب 𝑎 في 𝑐، فنضرب بذلك ستة في موجب أربعة. والآن ما علينا فعله هو التوصل إلى العددين اللذين يعطينا حاصل ضربهما قيمة 𝑎𝑐، وهي 24، أو موجب 24، ولكن عند جمعهما نحصل على قيمة 𝑏 وهي موجب 25.

إذن في هذا المثال، نعلم أن العددين 24 وواحد مناسبان؛ لأن 24 في واحد يساوي 24 و24 زائد واحد يساوي 25، أي موجب 25. وعليه سنضع 24 وواحد مرة أخرى في الدالة التربيعية محل 25𝑥؛ لأننا بذلك نكون قد قسمنا معامل 𝑥 إلى جزأين. حسنًا، والآن أصبح بإمكاننا بدء العمل على إيجاد العوامل لأن ما نفعله الآن هو تحليل الدالة التربيعية إلى جزأين، وعليه فإننا نحلل أول حدين ثم نحلل الحدين الآخرين.

عندما نحلل أول حدين، يمكننا أخذ ستة و𝑥 كعاملين مشتركين خارج القوسين. ثم نضع داخل القوسين 𝑥؛ لأن ستة 𝑥 في 𝑥 يساوي ستة 𝑥 تربيع، ولدينا أيضًا زائد أربعة، لأن موجب أربعة في ستة 𝑥 يساوي 24𝑥. أما ثاني حدين فلا يتطلبان في هذه الحالة مزيدًا من التحليل. فهما يعطياننا 𝑥 زائد أربعة. أما بالنسبة إلى الجزء الثاني، فعلينا وضع زائد واحد خارج القوسين باعتباره العامل المشترك، فيصبح الحد بذلك زائد واحد في 𝑥 زائد أربعة.

والآن يمكننا أخيرًا تحليل الموجود لدينا تحليلًا كاملًا، والطريقة التي نفعل بها هذا، مرة أخرى، أن نتحقق دومًا من وجود العامل نفسه داخل القوسين، وبذلك يمكننا التأكد من تطبيق هذه الطريقة تطبيقًا صحيحًا. وهذا يعني أننا أصبحنا نعلم الآن العاملين المستخلصين: ففي أول قوسين نكتب العامل الأول الذي حصلنا عليه في التحليل الذي أجريناه للطرفين الأيمن والأيسر، وهو ستة 𝑥 زائد واحد، وفي القوسين الآخرين، لدينا 𝑥 زائد أربعة. والآن نعلم أن الدالة التربيعية ستة 𝑥 زائد 25𝑥 زائد أربعة تعطينا العاملين ستة 𝑥 زائد واحد و𝑥 زائد أربعة.

حسنًا، إذن سنحلل الآن الطرف الأيمن للدالة، وسنبدأ بالبسط. هذا نوع خاص من أنواع التحليل يسمى الفرق بين مربعين. وسأشرح هذا الآن. إن الفرق بين مربعين هو طريقة لتحليل نوع معين من المقادير. إذن لدينا 36𝑥 تربيع ناقص واحد. ما يمكننا ملاحظته في هذا أن الأجزاء الثلاثة في الواقع جميعها أعداد مربعة أو حدود تربيعية، فالعدد 36 هو مربع ستة، و𝑥 تربيع هو مربع 𝑥، وواحد هو مربع واحد. إذن ما يمكننا رؤيته في الواقع هو أن كل جزء في هذا الحد مربع.

والعامل الأساسي الآخر الذي يتيح لنا استخدام طريقة الفرق بين مربعين هو وجود علامة الطرح. فنحن لدينا 36𝑥 تربيع، وهو حد 𝑥 تربيع، ناقص العدد المربع. وهذا هو العنصر الأساسي عند استخدام طريقة الفرق بين مربعين. حسنًا، في الفرق بين مربعين، سيكون لدينا زوج من الأقواس. وأمام كل قوسين، سيكون لدينا جذر 𝑥 تربيع، وهو جذر 36𝑥 تربيع. إذن في هذه الحالة، سيكون لدينا ستة 𝑥، في كل من القوسين، وسيكون الحد الآخر في القوسين عبارة عن جذر واحد وهو ما يعطينا الرقم واحد في كل منهما.

الآن الشيء الآخر الذي علينا تذكره عندما نحلل الفرق بين مربعين أن إشارة كل قوس يجب أن تكون مختلفة عن الآخر، ومن ثم ستكون إحداهما موجبة والأخرى سالبة. والسبب في ذلك أنه عندما نضرب القوسين أحدهما في الآخر، سنحصل على 36𝑥 تربيع وسيكون لدينا ناقص ستة 𝑥 زائد ستة 𝑥 ومن ثم يلغيان ويتبقى لدينا 36𝑥 تربيع ناقص واحد. وكذلك، فإن ضرب حد موجب في حد سالب سيعطينا سالب واحد الذي نريده.

وهكذا نكون قد حللنا البسط. والآن آخر ما علينا القيام به هو أن نحلل مقام هذا الطرف. وللقيام بذلك، لدينا 𝑥 وهو العامل المشترك في كلا الحدين، إذن نكتب 𝑥 خارج القوسين، فنكتب 𝑥 ثم نفتح القوسين ونكتب ستة 𝑥 ناقص واحد. والسبب في هذا هو أن 𝑥 في ستة 𝑥 يساوي ستة 𝑥 تربيع وأن 𝑥 في سالب واحد يساوي ناقص 𝑥 أو سالب 𝑥. مذهل. رائع. والآن يمكننا ضرب حدود البسط في وحدود المقام، لأنها عملية ضرب، حتى نحصل على هذا الشكل للدالة.

الآن إليك نصيحة مهمة، متى حاولت تبسيط دالة مثل هذه، وقد انتهيت من تحليل كل من البسط والمقام، فسيكون لديك دائمًا وأبدًا بعض العوامل في الأعلى مماثلة لعوامل في الأسفل. إذن سيكون لدينا بعض العوامل في البسط مماثلة لعوامل في المقام. إذا لم يحدث هذا فعليك التأكد من إجاباتك ومن التحليل الذي أجريته لأنه دون وجود هذا لن نتمكن من التبسيط.

حسنًا الآن نأتي إلى المرحلة الأخيرة، وهي تبسيط الدالة، ما علينا فعله الآن هو النظر إلى العوامل المشتركة وقسمة البسط والمقام على هذه العوامل المشتركة. وهكذا، فإن أول عامل سنقسم عليه كلًا من البسط والمقام هو 𝑥؛ لأنه عامل مشترك. يمكننا بعد ذلك قسمة البسط والمقام على ستة 𝑥 زائد واحد؛ لأن هذا عامل مشترك أيضًا. وفي النهاية، العامل المشترك الأخير هو ستة 𝑥 ناقص واحد، وعليه يمكننا قسمة البسط والمقام على ستة 𝑥 ناقص واحد، فتصبح الدالة في النهاية 𝑥 زائد سبعة على 𝑥 زائد أربعة.

الآن، هل هذا هو الناتج النهائي؟ هل هو مبسط تبسيطًا كاملًا؟ حسنًا، لنتأكد من عدم قدرتنا على تحليل البسط أو المقام أكثر من ذلك. وإذا كنا لا نستطيع تبسيطهما، إذن فإن إجابتنا هي «نعم؛ فهذا هو الناتج النهائي المبسط.» حسنًا، لنلخص سريعًا ما قمنا به لتبسيط هذه الدالة. أولًا، نظرًا لأنها كانت عملية قسمة دالتين كسريتين، كان علينا إيجاد مقلوب الدالة الثانية ثم ضربهما أحدهما في الآخر. وكانت الخطوة التالية هي البحث عن أي دوال تربيعية أو حدود يمكن تحليلها، ثم حللنا كل ما يمكن تحليله في حدود البسط والمقام.

بعد ذلك، ضربنا حدود البسط والمقام بعضها في بعض كما نفعل في أي كسر، ثم جاءت نصيحتنا الأساسية وهي البحث عن عوامل مشتركة. وبمجرد إيجاد العوامل المشتركة، قسمنا كلًا من البسط والمقام على هذه العوامل المشتركة لنحصل على الدالة المبسطة، مع تذكر التأكد من أنها مبسطة قدر الإمكان وأنه لا يمكن تبسيط البسط أو المقام أو تحليلهما أكثر من ذلك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.