نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف ننقل دالة مثلثية، أو نمدها، وكيف نوجد قاعدة الدالة المثلثية بمعلومية التحويل. وسنتعرف على ترميز الانتقالات والتمددات الأفقية والرأسية. وسنتعلم الترتيب الصحيح لإجراء سلسلة من التحويلات الهندسية على دالة الجيب أو جيب التمام.
سنبدأ بتذكر الخواص الرئيسية للتمثيلات البيانية لدالتي الجيب وجيب التمام الأساسيتين. عندما نرسم جيب زاوية مقابل هذه الزاوية، يكون الناتج هو منحنى دالة الجيب. وقد استخدمنا هنا الدرجات على المحور ﺱ. لكن في بعض الأحيان نستخدم التقدير الدائري بدلًا من الدرجات. علينا أن نتمكن من التعرف على التمثيل البياني لدالة الجيب. لذلك يجب أن نكون على دراية بخواصه الرئيسية، بما في ذلك مواضع نقاط التحول والأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ والمحور ﺹ.
عندما نرسم جيب تمام زاوية مقابل تلك الزاوية، فإن الناتج يكون منحنى جيب التمام. ونلاحظ أنه بينما يقطع منحنى الجيب المحور ﺹ عند صفر، يقطع منحنى جيب التمام المحور ﺹ عند واحد. لكن بخلاف ذلك، تتبع النقاط الشكل الدوري نفسه. تشترك التمثيلات البيانية لدالتي الجيب وجيب التمام الأساسيتين في بعض الخواص الرئيسية. فتشترك في نفس المجال الذي يشمل جميع الأعداد الحقيقية. ومداهما هو الفترة المغلقة من سالب واحد إلى موجب واحد. نعلم أيضًا أن سعة منحنيات دالتي الجيب وجيب التمام تساوي واحدًا، وطول دورتها يساوي ٣٦٠ درجة أو اثنين 𝜋 راديان.
في المثال الأول، دعونا نتدرب على التعرف على التمثيل البياني لدالة جيب التمام بعد تحويل هندسي واحد.
يوضح الشكل الآتي تمثيل ﺩ ﺱ بيانيًّا. أجري تحويل هندسي لـ ﺩ ﺱ لتصبح ﺩ ﺱ ناقص اثنين. أوجد إحداثيات ﺃ بعد هذا التحويل الهندسي.
نبدأ بملاحظة أن المنحنى الأحمر هو منحنى دالة جيب التمام الأساسية. الخواص التي جعلتنا نستنتج ذلك هي السعة التي تساوي واحدًا، وطول الدورة الذي يساوي ٣٦٠، والجزء المقطوع من المحور ﺹ الذي يساوي واحدًا، والجزآن المقطوعان من المحور ﺱ اللذان يساويان ٩٠ و٢٧٠. في هذا المثال، علينا تحديد تأثير تحويل ﺩ ﺱ إلى ﺩ ﺱ ناقص اثنين. على وجه التحديد، سنحسب التأثير على النقطة التي إحداثياتها ١٨٠، سالب واحد. تناظر إحداثيات النقطة ﺃ حقيقة أن جتا ١٨٠ درجة يساوي سالب واحد. إذن، يمكننا إيجاد الإحداثيات الجديدة بإيجاد قيمة ﺩ ﺱ ناقص اثنين عند ﺱ يساوي ١٨٠. هذا يساوي جتا ١٨٠ ناقص اثنين. ونعلم أن جتا ١٨٠ يساوي سالب واحد. إذن، ﺩلـ ١٨٠ ناقص اثنين يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، فإن التحويل المعطى يحول ١٨٠، سالب واحد إلى ١٨٠، سالب ثلاثة.
دعونا نستعرض بشكل أكبر تأثير التحويل الهندسي المستخدم في المثال. سننشئ جدولًا للقيم للمقارنة بين قيم مخرجات ﺩ ﺱ وقيم مخرجات ﺩ ﺱ ناقص اثنين. عند كل نقطة، يمكننا ملاحظة أن قيمة ﺩ ﺱ ناقص اثنين أقل بمقدار اثنين من قيمة ﺩ ﺱ. إذا رسمنا ذلك لجميع قيم ﺱ الممكنة، فسنحصل على المنحنيين التاليين: جتا ﺱ باللون البرتقالي، وجتا ﺱ ناقص اثنين باللون الأزرق. لقد حددنا النقطة ﺃ على المنحنى الأول، والنقطة الجديدة ﺏ على المنحنى بعد التحويل. يؤدي هذا التغير إلى إزاحة النقطة ﺃ رأسيًّا إلى أسفل بمقدار اثنين إلى النقطة ﺏ. في الواقع، يمكننا ملاحظة إزاحة المنحنى بأكمله إلى أسفل بمقدار اثنين.
يمكننا تعميم هذه النتيجة بالطريقة التالية. لأي ثابت حقيقي ﺩ، فإن ﺩ ﺱ زائد ﺩ تمثل انتقالًا رأسيًّا مقداره صفر، ﺩ للمنحنى. بعبارة أخرى، أزيح المنحنى لأعلى بمقدار ﺩ. وإذا كان ﺩ سالبًا، كما رأينا للتو، فسينتج عن هذا إزاحة المنحنى لأسفل. دعونا نفكر الآن فيما قد يحدث إذا أضفنا ثابتًا إلى قيمة ﺱ أو طرحناه منها قبل التعويض بها في الدالة ﺩ ﺱ.
دعونا ننشئ جدولًا جديدًا للقيم لتوضيح تأثير ﺩ ﺱ ناقص ٩٠ على ﺩ ﺱ تساوي جتا ﺱ. هذا التحويل المحدد يخبرنا بأن نطرح ٩٠ من ﺱ قبل إيجاد قيمة دالة جيب تمام هذه الزاوية. لذلك، سنضيف صفًّا ثالثًا إلى الجدول؛ حيث نحسب فيه قيمة ﺱ ناقص ٩٠. وبعد ذلك، نوجد قيمة جيب التمام عند القيم المدخلة الجديدة الموجودة في الصف الثالث. قد لا يتضح ذلك من الوهلة الأولى، لكن جميع المخرجات الموجودة في الصف السفلي قد أزيحت إلى اليسار، مقارنة بالمخرجات الموجودة في الصف الثاني.
دعونا نرسم منحنيين لتمثيل هذا التحويل. كما نلاحظ، أزيح المنحنى إلى اليمين بمقدار ٩٠. هذا يعني أنه بطرح ٩٠ من ﺱ مباشرة، تتحرك المخرجات في الاتجاه المضاد. وهذه النتيجة أيضًا يمكن تعميمها. لأي ثابت حقيقي ﺟ، تمثل ﺩ ﺱ زائد ﺟ انتقالًا أفقيًّا بمقدار سالب ﺟ، صفر للمنحنى. بعبارة أخرى، يزاح المنحنى إلى اليسار بمقدار ﺟ. إذا كان ﺟ سالبًا، كما رأينا للتو، فسينتج عن ذلك إزاحة إلى اليمين.
والآن، دعونا نلخص التحويلات الهندسية الأساسية للدوال. سنتناول نوعين من التحويلات الهندسية للدوال: الانتقال والتمدد. ﺩ ﺱ زائد ثابت حقيقي ﺩ تمثل انتقالًا رأسيًّا مقداره صفر، ﺩ. وﺩ ﺱ زائد ﺟ تمثل انتقالًا أفقيًّا مقداره سالب ﺟ، صفر. ﺃ مضروبًا في ﺩ ﺱ يمثل تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لـ ﺃ. لكن إذا كانت قيمة ﺃ سالبة، فإن الدالة تنعكس أولًا حول المحور ﺱ. وﺩ ﺏ مضروبًا في ﺱ تمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لواحد على ﺏ. وإذا كان ﺏ سالبًا، فإن الدالة تنعكس أولًا حول المحور ﺹ.
في المثال التالي، سنوضح كيفية إيجاد إحداثيات نقطة بعد التحويل الهندسي باستخدام أحد هذه التعريفات.
يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ. التحويل الهندسي يحول ﺩ ﺱ إلى ﺩ لـ اثنين ﺱ. أوجد إحداثيات النقطة ﺃ بعد هذا التحويل الهندسي.
نبدأ بملاحظة أن المنحنى الأحمر هو منحنى دالة جيب التمام الأساسية. الخواص التي جعلتنا نستنتج ذلك هي السعة التي تساوي واحدًا، وطول الدورة الذي يساوي ٣٦٠، والجزء المقطوع من المحور ﺹ الذي يساوي واحدًا، والجزآن المقطوعان من المحور ﺱ اللذان يساويان ٩٠ و٢٧٠.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا تحديد تأثير التحويل الهندسي الذي يحول ﺩ ﺱ إلى ﺩ لـ اثنين ﺱ على نقطة واحدة. النقطة التي نستخدمها هي ﺃ، وإحداثياتها ١٨٠، سالب واحد. يناظر إحداثيات النقطة ﺃ حقيقة أن جتا ١٨٠ درجة يساوي سالب واحد. نتذكر أن قاعدة الدالة التي على الصورة ﺩ ﺏ مضروبة في ﺱ تمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لواحد على ﺏ. في هذه الحالة، ﺏ يساوي اثنين. إذن، ﺩ لاثنين ﺱ تمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره نصف. ونعلم أن التمدد الأفقي يؤثر على الإحداثيات ﺱ فقط. في هذه الحالة، تكون كل قيمة من قيم ﺱ مضروبة في نصف.
إحداثي النقطة ﺃ يساوي ١٨٠ قبل التمدد الأفقي. إذن، سنحسب نصف ١٨٠. التحويلات الرأسية وحدها هي التي تؤثر على الإحداثي ﺹ. إذن، قيمة ﺹ في هذه الحالة ستظل دون تغيير. ومن ثم، وفقًا للتمدد الأفقي، إحداثيات صورة النقطة ﺃ هما ٩٠، سالب واحد. بعد تطبيق معامل القياس على جميع الإحداثيات ﺱ، نحصل على منحنى جيب تمام بطول دورة مقسومًا أيضًا على اثنين. يمكننا التحقق من إجابتنا بالتعويض بـ ﺱ يساوي ٩٠ في الدالة ﺩ لاثنين ﺱ. بعد ذلك، سنحصل على ﺩلـ ١٨٠. ونلاحظ من التمثيل البياني أن ﺩلـ ١٨٠ تساوي سالب واحد. هذا يطابق الإحداثي ﺹ لصورة ﺃ التي أوجدناها. نثق بذلك في صحة إجابتنا النهائية.
حتى الآن، رأينا إجراء تحويل هندسي واحد على كل دالة. ولكن سيكون هناك حالات تحول فيها الدالة إلى دالة أخرى باستخدام سلسلة من عدة تحويلات هندسية. بوجه عام، يكون الترتيب مهمًّا إذا أثرت التحويلات الهندسية في الاتجاه نفسه، أي عندما يكون لكلا التحويلين تأثير أفقي أو يكون لكليهما تأثير رأسي.
لكي نفهم على نحو أفضل أهمية ترتيب التحويلات الهندسية في الاتجاه نفسه، سنتناول الدالتين المعرفتين باثنين مضروبًا في جا ﺱ زائد واحد، واثنين مضروبًا في، نفتح قوسًا، جا ﺱ زائد واحد، نغلق القوس. بما أن كلتا هاتين الدالتين تحويل هندسي لدالة الجيب الأساسية، فسنبدأ بمنحنى دورة واحدة للدالة ﺹ يساوي جا ﺱ، وهو مرسوم باللون الوردي. نحصل على الدالة الأولى المحولة هندسيًّا عن طريق إجراء تمدد رأسي بمعامل قياس مقداره اثنان، وهو ما يؤدي إلى تضاعف الإحداثيات ﺹ، يليه انتقال رأسي لأعلى بمقدار واحد، في حين نحصل على الدالة الثانية المحولة هندسيًّا بإجراء الانتقال الرأسي أولًا، وهو ما يزيد الإحداثيات ﺹ بمقدار واحد، يليه التمدد الرأسي بمعامل قياس مقداره اثنان.
من هذا المثال، نلاحظ أنه عندما يتغير ترتيب التحويلين الهندسيين الرأسيين، نحصل على نتيجة مختلفة قليلًا. ولتجنب اللبس، سنتبع ترتيبًا محددًا عند تمثيل التحويلات الهندسية لدالة الجيب أو جيب التمام بيانيًّا. تتحول ﺩ ﺱ إلى ﺃ مضروبًا في ﺩ ﺏ مضروبًا في ﺱ زائد ﺟ زائد ﺩ بالترتيب الآتي.
أولًا: سنجري تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لـ ﺃ، حيث ينتج عن القيمة السالبة لـ ﺃ انعكاس حول المحور ﺱ. بعد ذلك، سنجري تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لواحد على ﺏ، حيث ينتج عن القيمة السالبة لـ ﺏ انعكاس حول المحور ﺹ. ثالثًا: نجري انتقالًا أفقيًّا بمقدار سالب ﺟ، صفر. رابعًا: نجري انتقالًا رأسيًّا بمقدار صفر، ﺩ.
دعونا نطبق هذه المعلومات الجديدة عن ترتيب التحويلات الهندسية في المثال التالي.
يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ. أجري تحويل هندسي لـ ﺩ ﺱ لتصبح أربعة في ﺩ لثلاثة ﺱ ناقص ٤٥ زائد واحد. أوجد إحداثيات النقطة ﺃ بعد هذا التحويل الهندسي.
نبدأ بملاحظة أن المنحنى الأحمر هو منحنى دالة جيب التمام الأساسية. الخواص التي جعلتنا نستنتج ذلك هي السعة التي تساوي واحدًا، وطول الدورة الذي يساوي ٣٦٠، والجزء المقطوع من المحور ﺹ الذي يساوي واحدًا، والجزآن المقطوعان من المحور ﺱ اللذان يساويان ٩٠ و٢٧٠. بعد ذلك، نتذكر الترتيب الذي نتبعه في ترتيب إجراء عدة تحويلات هندسية لـ ﺩ ﺱ لتصبح ﺃ في ﺩ ﺏ في ﺱ زائد ﺟ زائد ﺩ. أولًا: نجري تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لـ ﺃ؛ حيث ينتج عن القيمة السالبة لـ ﺃ انعكاس حول المحور ﺱ. ثانيًا: لدينا تمدد أفقي بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لواحد على ﺏ؛ حيث ينتج عن القيمة السالبة لـ ﺏ انعكاس حول المحور ﺹ. ثالثًا: لدينا انتقال أفقي بمقدار سالب ﺟ، صفر. وأخيرًا، لدينا انتقال رأسي بمقدار صفر، ﺩ.
لتحديد التحويل الذي يحول ﺩ ﺱ إلى أربعة في ﺩ لثلاثة ﺱ ناقص ٤٥ زائد واحد، نعيد كتابة أربعة في ﺩ لثلاثة ﺱ ناقص ٤٥ زائد واحد على الصورة أربعة في ﺩ لثلاثة في، نفتح قوسًا، ﺱ ناقص ١٥، نغلق القوس، زائد واحد. دعونا نفترض أن ﺃ يساوي أربعة، وﺏ يساوي ثلاثة، وﺟ يساوي سالب ١٥، وﺩ يساوي واحدًا. بعد ذلك، تجرى التحويلات الهندسية الآتية للدالة ﺩ ﺱ.
وفقًا لقيمة ﺃ، لدينا تمدد رأسي بمعامل قياس مقداره أربعة. بما أن قيمة ﺃ كانت موجبة، فلا يوجد انعكاس حول المحور ﺱ. ووفقًا لقيمة ﺏ، لدينا تمدد أفقي بمعامل قياس مقداره ثلث. بما أن قيمة ﺏ موجبة، فلا يوجد انعكاس حول المحور ﺹ. وفقًا لقيمة ﺟ، لدينا انتقال أفقي مقداره سالب سالب ١٥، صفر، وهو ما يساوي ١٥، صفر، وهذا يعني إزاحة إلى اليمين بمقدار ١٥. وفقًا لقيمة ﺩ، لدينا انتقال رأسي مقداره صفر، واحد، وهذا يعني إزاحة المنحنى إلى أعلى بمقدار واحد.
يمكننا الآن إجراء سلسلة التحويلات الهندسية الأربعة على النقطة ﺃ التي إحداثياتها ١٨٠، سالب واحد. نعلم أن التحويلات الهندسية الرأسية تؤثر على الإحداثي ﺹ، وتؤثر التحويلات الهندسية الأفقية على الإحداثي ﺱ. إذن، التمدد الرأسي بمعامل قياس مقداره أربعة يحول ١٨٠، سالب واحد إلى ١٨٠، سالب واحد في أربعة، وهو ما يساوي ١٨٠، سالب أربعة. بعد ذلك، لدينا التمدد الأفقي بمعامل قياس مقداره ثلث، وهو يحول ١٨٠، سالب أربعة، إلى ١٨٠ في ثلث، سالب أربعة، وهو ما يساوي ٦٠، سالب أربعة. بعد ذلك، لدينا انتقال أفقي يضيف ١٥ إلى الإحداثي ﺱ، وهو ما يعطينا ٧٥، سالب أربعة. وأخيرًا، يضيف الانتقال الرأسي واحدًا إلى الإحداثي ﺹ، وينتج عن ذلك النقطة التي إحداثياتها ٧٥، سالب ثلاثة.
ومن ثم، فإن إحداثيات النقطة ﺃ، بعد التحويلات الهندسية المعطاة، هي ٧٥، سالب ثلاثة. يمكننا التحقق من إجابتنا بالتعويض عن ﺱبـ ٧٥ في دالة جيب التمام المحولة أربعة في جتا ثلاثة ﺱ ناقص ٤٥ زائد واحد. بعد التعويض بـ ٧٥ وإيجاد قيمة المقدار، نجد أن قيمة الدالة المحولة عند ٧٥ تساوي بالفعل سالب ثلاثة، كما هو المتوقع.
سنختتم بتلخيص بعض المفاهيم الرئيسية المستخلصة من هذا الفيديو.
عند تطبيق تحويل هندسي على دالة مثلثية ﺩ ﺱ، فإن ﺃ في ﺩ ﺱ يمثل تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لـ ﺃ؛ حيث ينتج عن القيمة السالبة لـ ﺃ انعكاس حول المحور ﺱ. تمثل الدالة ﺩ ﺏ في ﺱ تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره القيمة المطلقة لواحد على ﺏ؛ حيث ينتج عن القيمة السالبة لـ ﺏ انعكاس حول المحور ﺹ. تمثل الدالة ﺩ ﺱ زائد ﺟ انتقالًا أفقيًّا مقداره سالب ﺟ، صفر، وتمثل الدالة ﺩ ﺱ زائد ﺩ انتقالًا رأسيًّا مقداره صفر، ﺩ.
عندما نجري سلسلة من التحويلات الهندسية على الدالة ﺩ ﺱ لتصبح ﺃ في ﺩ ﺏ مضروبًا في ﺱ زائد ﺟ زائد ﺩ، فإننا نجري التحويلات الهندسية الأربعة بالترتيب الآتي: أولًا: التمدد الرأسي، ثم التمدد الأفقي، ثم الانتقال الأفقي، ثم الانتقال الرأسي. يجب أن نكون أيضًا على دراية بالخواص الرئيسية للتمثيلات البيانية لدالتي الجيب وجيب التمام الأساسيتين قبل تطبيق أي تحويلات هندسية. تتمثل أبرز الاختلافات بين التمثيلات البيانية لدالتي الجيب وجيب التمام الأساسيتين في الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ والمحور ﺹ، كما هو موضح في المنحنيين البرتقالي والوردي.
