فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة القيم التي تحقق جا ﺱ تساوي سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، حيث ﺱ أكبر من أو تساوي صفر وأصغر من اثنين ‏𝜋‏.

إن المدى المعطى بهذه الصيغة، ﺱ أكبر من أو تساوي صفر وأصغر من اثنين ‏𝜋‏، يخبرنا بأننا نحتاج لكتابة الإجابات بالتقدير الدائري وليس التقدير الستيني. غالبًا أيضًا ما نستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة جيب الزوايا. ولكن توجد زوايا بعينها يجب أن نتذكر جيب الزاوية أو جيب التمام أو المماس لها من الذاكرة.

لننظر إلى هذا المثلث القائم الزاوية ذي الضلعين المتساويين في الطول والذي يساوي وحدة واحدة، ولنسم هذه الزاوية ﺱ. يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول وتر المثلث، والذي يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد واحد تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لاثنين.

الآن، إذا أردنا إيجاد جيب تلك الزاوية، فإن هذا الضلع يمثل الضلع المقابل، وهذا الضلع يمثل الضلع المجاور، وهذا هو الوتر. الآن يمكن إيجاد قيمة جيب الزاوية بقسمة طول الضلع المقابل على طول الوتر.

سيساوي هذا واحدًا على الجذر التربيعي اثنين، لكن لدينا في المقام عددًا غير نسبي. إذن إذا ضربنا هذا الكسر في الجذر التربيعي اثنين على الجذر التربيعي اثنين، وهو ما يساوي واحدًا — علمًا بأننا بذلك لا نغير قيمة هذا العدد، بل فقط نغير الصيغة المقدم بها — سيتبقى لدينا واحد في الجذر التربيعي اثنين في البسط، وهو ما يساوي الجذر التربيعي اثنين، والجذر التربيعي اثنين في الجذر التربيعي اثنين في المقام، وهو ما يساوي اثنين. إذن جيب هذه الزاوية الخاصة هو الجذر التربيعي لاثنين على اثنين.

إن هذا المثلث على شاكلته تلك هو مثلث متساوي الساقين. إذن كلا الضلعان متساويان في الطول، مما سيجعل قيمة الزاوية ﺱ ٤٥ درجة أو‏𝜋‏ على أربعة راديان. كل هذا مثير للاهتمام، لكن هذه ليست الزاوية التي نبحث عنها. بل نحن نبحث عن زاوية لها جيب زاوية يساوي سالب الجذر التربيعي اثنين على اثنين، وليس موجب الجذر التربيعي اثنين على اثنين.

لننظر إلى الزوايا على دائرة الوحدة. إن المدى المعطى للإجابات كان من صفر إلى اثنين ‏𝜋‏، وهذا يمثل في الأساس دورة واحدة داخل دائرة الوحدة.

الآن، إذا رسمنا الزاوية ‏𝜋‏ على أربعة على دائرة الوحدة، وهي الزاوية التي قلنا إنها تساوي جيب الجذر التربيعي اثنين على اثنين، فسينتج لدينا هنا هذا المثلث الذي طول وتره واحد؛ بسبب أنها دائرة الوحدة، وارتفاع هذا المثلث سيكون جيب زاوية ﺱ.

تذكر أن ﺱ تساوي ‏𝜋‏ على أربعة راديان؛ لذا فإن جيب الزاوية ‏𝜋‏ على أربعة راديان يساوي الجذر التربيعي اثنين على اثنين. إذا انعكس هذا المثلث في محور ﺹ فإنه سيصبح له مجددًا وتر طوله واحد، وسيكون ارتفاعه يساوي الجذر التربيعي اثنين على اثنين. لكن الزاوية التي تقابل هذا الارتفاع لا تقف عند ﺱ فقط، بل تمتد إلى هنا. وهي بذلك تساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة.

إذن نحن نقول إن جيب الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة يساوي الجذر التربيعي اثنين على اثنين. حسنًا، كل هذا مثير للاهتمام، لكننا فشلنا فشلًا ذريعًا في الإجابة عن سؤالنا؛ لأننا نبحث عن زوايا لها جيب زاوية يساوي سالب الجذر التربيعي اثنين على اثنين وليس الجذر التربيعي اثنين على اثنين.

لكن إذا أخذنا المثلث الآخر ورسمنا له انعكاسًا في محور ﺱ؛ فسيكون الارتفاع سالبًا؛ نظرًا لأن الارتفاع الآن يقع تحت محور ﺱ. ومن ثم سيصبح الارتفاع سالب الجذر التربيعي اثنين على اثنين.

إذن لنر أي زاوية تقابله. إنها الزاوية التي تتجاوز الزاوية ﺱ الأصلية، أي تتجاوز هذه الزاوية التي كنا ننظر إليها للتو، والتي تمتد حتى هنا. وستكون قيمة هذه الزاوية خمسة ‏𝜋‏ على أربعة.

هذه الزاوية هي في الأساس الزاوية ‏𝜋‏، والتي قياسها أربعة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‏𝜋‏ على أربعة. وهذا أول حل من حلولنا. الآن إذا انعكس المثلث في محور ﺹ مرة أخرى، فسيصبح له ارتفاع قيمته سالب الجذر التربيعي اثنين على اثنين، نظرًا لوقوعه تحت محور ﺱ. وهذا يقابل زاوية تمتد حتى هنا، وهي سبعة ‏𝜋‏ على أربعة.

وهذا هو الحل الثاني. وهكذا خلال دورة واحدة من ﺱ أكبر من أو تساوي صفر وأقل من اثنين ‏𝜋‏ ولا تساويها، وجدنا حلين يتيحان لنا جيب زاوية قيمته سالب الجذر التربيعي اثنين على اثنين.

وبوضع هذا داخل أقواس المجموعة كما هو مطلوب في السؤال، يصبح لدينا حلان. إذن، مجموعة الحل هي الحل الأول خمسة ‏𝜋‏ على أربعة، والحل الثاني سبعة ‏𝜋‏ على أربعة.