نسخة الفيديو النصية
استخدم المصفوفات لحل النظام من المعادلتين الخطيتين ثلاثة ﺱ ناقص ٢٤ يساوي سالب ثمانية ﺹ، وﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺹ.
تذكر أنه إذا كان لدينا نظام من معادلتين خطيتين على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ وﺩﺱ زائد ﻫﺹ يساوي ﻭ، فبناء على طريقة ضرب المصفوفة المربعة في مصفوفة العمود، يمكننا كتابة ذلك على صورة مكافئة وهي ﺃ، ﺏ، ﺩ، ﻫ في مصفوفة العمود ﺱ، ﺹ يساوي المصفوفة ﺟ، ﻭ. وبعد ذلك إذا كتبنا ذلك على صورة حاصل ضرب المصفوفتين ﺃ و ﺱ يساوي المصفوفة ﺏ، فإننا نعلم أنه إذا كان معكوس المصفوفة ﺃ ذات الرتبة اثنين في اثنين موجودًا، فسيمكننا ضرب طرفي المعادلة المصفوفية في معكوس ﺃ. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ.
وعليه، فإن ما سنفعله لحل نظام من معادلتين خطيتين هو كتابتهما أولًا على صورة معادلة مصفوفية. وبعد ذلك، سنوجد معكوس المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين ونضربها في المصفوفة الموجودة في الطرف الأيسر. والآن ربما نكون قد لاحظنا أيضًا أن نظام المعادلات الخطية ليس على الصورة الصحيحة. علينا عزل الحدين ﺱ وﺹ في طرف واحد من كل معادلة، ونجعل الثابت في الطرف الآخر. بالنسبة إلى المعادلة الأولى، حصلنا على ذلك بإضافة ثمانية ﺹ إلى كلا الطرفين ثم إضافة ٢٤ إلى كلا الطرفين. وبالمثل، في المعادلة الثانية، سنضيف فقط ﺹ إلى كلا الطرفين. وبهذا يصبح لدينا نظام المعادلات الخطية على الصورة التي نحتاجها.
لإيجاد المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين، علينا ببساطة إيجاد معاملات ﺱ وﺹ في كل معادلة. وهما ثلاثة وثمانية في المعادلة الأولى وواحد وواحد في المعادلة الثانية. وبذلك تتكون المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين من: ثلاثة، ثمانية، واحد، واحد. ثم نضربها في مصفوفة العمود ﺱ، ﺹ. وهذا التعبير يساوي مصفوفة العمود التي تمثل الثوابت وتحتوي على العنصرين ٢٤، ثلاثة. تذكر أن هذين هما الثابتان في كل من المعادلتين الخطيتين عندما يكونا على الصورة الصحيحة. ومن ثم ﺃ في هذه الحالة مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها ثلاثة، ثمانية، واحد، واحد. ﺱ هو مصفوفة العمود ﺱ، ﺹ. وﺏ هو مصفوفة العمود ٢٤، ثلاثة. لقد ذكرنا أنه لحل معادلة مصفوفية بهذه الصورة، نبدأ بإيجاد معكوس المصفوفة ﺃ إن وجد.
وإذا عدنا إلى الصورة العامة للمصفوفة ﺃ التي عناصرها ﺃ وﺏ وﺩ وﻫ، فإن المعكوس يساوي واحدًا على محدد ﺃ في المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها ﻫ، سالب ﺏ، سالب ﺩ، ﺃ. بشكل أساسي، نبدل العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر ونغير إشارة العنصرين الباقيين. والمحدد ﺃ هو ببساطة حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. وبالطبع إذا كان المحدد يساوي صفرًا، فإن المعكوس غير موجود. ولذا من المنطقي دائمًا أن نبدأ بحساب قيمة المحدد.
محدد المصفوفة ﺃ يساوي ثلاثة في واحد ناقص ثمانية في واحد، وهو ما يساوي سالب خمسة. وهذا لا يساوي صفرًا؛ ما يجعلنا نستنتج أن معكوس ﺃ موجود بالفعل. وبذلك لدينا واحد على محدد ﺃ، وهو يساوي واحدًا على سالب خمسة، ثم نضرب ذلك في المصفوفة التي عناصرها واحد، سالب ثمانية، سالب واحد، ثلاثة. تذكر أننا نبادل بين العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر ونغير إشارة العنصرين المتبقيين. في هذه المرحلة، يمكننا توزيع سالب خمس على هذه المصفوفة. لكن هذا سيؤدي إلى وجود مصفوفة ثقيلة عناصرها كسرية؛ ما يجعل الخطوة التالية أكثر تعقيدًا نوعًا ما. لذا سنفعل ذلك في النهاية.
ولإيجاد المصفوفة ﺱ، ﺹ، سنضرب معكوس ﺃ في مصفوفة الثوابت ﺏ. وهي المصفوفة التي عنصراها ٢٤، ثلاثة. ولضرب هذين المصفوفتين، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الأول من المصفوفة الأولى في عنصري عمود هذه المصفوفة. وهذا يساوي واحدًا في ٢٤ زائد سالب ثمانية في ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا. نكرر هذه العملية ونضرب العنصرين الموجودين في الصف الثاني من المصفوفة الأولى، في العنصرين الموجودين في مصفوفة العمود. إنه سالب واحد في ٢٤ زائد ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ١٥.
إذن، المصفوفة ﺱ، ﺹ تساوي سالب خمس في المصفوفة التي عنصراها صفر، وسالب ١٥. كل ما تبقى هو توزيع سالب خمس على هذه المصفوفة. سالب خمس في صفر يساوي صفرًا، وسالب خمس في سالب ١٥ يساوي ثلاثة. يمكننا كتابة ذلك على نحو أوضح، ليكون الحل هو ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ثلاثة، أو نكتب ذلك أيضًا على صورة معادلة مصفوفية بهذا الشكل: ﺱ، ﺹ يساوي صفرًا، ثلاثة.
