فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية بين متجهين معلومين بمعلومية معيارهما وحاصل ضربهما القياسي الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان معيار المتجه ﺃ يساوي ١٧، ومعيار المتجه ﺏ يساوي ١٢، وحاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ يساوي ١٠٢، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن متجهين. علمنا أن معيار المتجه ﺃ يساوي ١٧، ومعيار المتجه ﺏ يساوي ١٢، وحاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي ١٠٢. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد قياس الزاوية بين هذين المتجهين.

أول ما قد نقلق بشأنه هو الرمز المستخدم للضرب القياسي. قد لا يكون هذا الرمز هو الرمز القياسي الذي اعتدنا عليه. لكنه يعني الشيء نفسه تمامًا. وهو يمثل حاصل الضرب النقطي أو حاصل الضرب القياسي لمتجهين. إذن للإجابة عن هذا السؤال، لنبدأ بتذكر كيفية إيجاد قياس الزاوية بين متجهين. نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية بين متجهين، المتجه ﻉ والمتجه ﻕ، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ يساوي معيار المتجه ﻉ مضروبًا في معيار المتجه ﻕ في جتا الزاوية 𝜃.

تجدر الإشارة إلى بعض الأمور في هذا التعريف. أولًا، عندما نقول الزاوية بين متجهين، نعني الزاوية التي قياسها بين صفر درجة و١٨٠ درجة. بعد ذلك، نفترض أيضًا أن ﻉ وﻕ في نفس البعد، وبذلك نتمكن من حساب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. وأخيرًا، بما أن الدالة العكسية لجيب التمام تتراوح بين صفر و١٨٠ درجة، يمكننا استخدام هذا لإيجاد الزاوية 𝜃، أي قياس هذه الزاوية. كل ما علينا فعله هو إعادة ترتيب ذلك لإيجاد مقدار يعبر عن 𝜃.

ومن ثم، إذا جعلنا 𝜃 الزاوية بين المتجه ﺃ والمتجه ﺏ، فإننا نعلم أن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ سيساوي معيار المتجه ﺃ مضروبًا في معيار المتجه ﺏ مضروبًا في جتا 𝜃. علمنا أن معيار المتجه ﺃ يساوي ١٧، ومعيار المتجه ﺏ يساوي ١٢، وحاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ يساوي ١٠٢. إذن يمكننا التعويض بهذه القيم في المقدار لنحصل على ١٠٢ يساوي ١٧ مضروبًا في ١٢ في جتا 𝜃.

يمكننا البدء إذن في تبسيط هذا المقدار. أولًا، ١٧ مضروبًا في ١٢ يساوي ٢٠٤. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا طرفي المعادلة على ٢٠٤، لنحصل على ١٠٢ مقسومًا على ٢٠٤ يساوي جتا 𝜃. يمكننا بعد ذلك أن نلاحظ أن البسط ١٠٢ والمقام ٢٠٤ يشتركان في العامل ١٠٢. ومن ثم، يمكننا حذف ذلك لنحصل على الكسر نصف. وأخيرًا، يمكننا إيجاد قياس الزاوية 𝜃 بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي هذه المعادلة. نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا نصف. ولأننا نعلم أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا، يمكننا استنتاج أن الدالة العكسية لـ جتا نصف تساوي ٦٠ درجة.

ومن ثم، نكون قد تمكنا من إثبات أنه إذا كان معيار المتجه ﺃ يساوي ١٧، ومعيار المتجه ﺏ يساوي ١٢، وحاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺏ يساوي ١٠٢، فإن قياس الزاوية بين هذين المتجهين يجب أن يكون ٦٠ درجة.