فيديو السؤال: إيجاد المعادلة التربيعية الأصلية باستخدام القيم في قانون عام معطى الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يعوض طالب بالقيم بشكل صحيح في القانون العام كما يلي: ﺱ يساوي خمسة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٢٥ ناقص ٨٠ الكل على ثمانية. ما المعادلة التربيعية التي كان يحاول حلها؟

في هذه المسألة، نعلم أن طالبًا استخدم القانون العام لمحاولة حل معادلة تربيعية. لدينا الحل الذي أوجده جزئيًّا. ونعلم أيضًا أن حله صحيح. يرجع سبب أن السؤال يطلب منا إيجاد المعادلة التي كان الطالب يحاول حلها إلى أننا إذا ما نظرنا بتمعن، فسنجد أن القيمة تحت الجذر التربيعي ستكون سالبة. إنها ٢٥ ناقص ٨٠ أي ما تساوي سالب ٥٥. فالطالب يحاول إيجاد الجذر التربيعي لقيمة سالبة، وهو ما نعلم أنه لا يمكننا إيجاده في الأعداد الحقيقية. هذا لا يعني أن الحل الذي أوجده خطأ. بل يعني فقط أنه لا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة.

لإيجاد المعادلة التربيعية التي كان يحاول حلها، علينا العمل بطريقة عكسية. دعونا نتذكر القانون العام. وينص على أن جذري المعادلة التربيعية العامة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت حقيقية وﺃ لا يساوي صفرًا، نحصل عليهما بواسطة العلاقة ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ. علينا إذن إيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ لهذه المعادلة التربيعية؛ حيث سيعطينا ذلك معاملات ﺱ تربيع وﺱ والحد الثابت. يمكننا فعل ذلك من خلال مقارنة الأجزاء المختلفة من حل الطالب مع الأجزاء المناظرة لها في القانون العام.

دعونا نقارن بين مقامي الكسرين أولًا. لدينا في القانون العام اثنان ﺃ، أما في حل الطالب فلدينا ثمانية. إذن، هذا يعطينا المعادلة اثنين ﺃ يساوي ثمانية. يمكننا حل هذه المعادلة بقسمة كلا الطرفين على اثنين، وهو ما يعطينا ﺃ يساوي أربعة. وبهذا، نكون قد أوجدنا قيم أحد المجاهيل الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ.

دعونا ننظر بعد ذلك إلى الحد الأول في البسط. في القانون العام، هذا يساوي سالب ﺏ. وفي حل الطالب، هذا يساوي خمسة. بمساواة هذين الحدين، نحصل على المعادلة سالب ﺏ يساوي خمسة. يمكننا حل هذه المعادلة إما بضرب أو قسمة كلا الطرفين على سالب واحد. وهذا يعطينا ﺏ يساوي سالب خمسة. بذلك، نكون قد أوجدنا مجهولين من المجاهيل الثلاثة. في الواقع، إذا ما نظرنا تحت الجذر التربيعي، فسنلاحظ أن الحد الأول تحت الجذر التربيعي هو ﺏ تربيع. وهذا يناظر ٢٥ في حل الطالب. إذا أخذنا قيمة ﺏ التي تساوي سالب خمسة وقمنا بتربيعها، فسنحصل بالفعل على ٢٥. ومن ثم، هذا يؤكد أن قيمة ﺏ التي حصلنا عليها صحيحة.

دعونا الآن نقارن الجزء الآخر تحت الجذر التربيعي. لدينا ﺏ تربيع، والجزء الذي يليه هو ناقص أربعة ﺃﺟ أو سالب أربعة ﺃﺟ. في حل الطالب، هذا يكافئ سالب ٨٠. إذن، نحصل على المعادلة سالب أربعة ﺃﺟ يساوي سالب ٨٠. في الواقع، يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في سالب واحد للتبسيط. ومن ثم، يصبح لدينا ببساطة أربعة ﺃﺟ يساوي ٨٠. نسترجع أننا قد أوجدنا قيمة ﺃ بالفعل. ‏ﺃ يساوي أربعة. إذن، بالتعويض بـ ﺃ يساوي أربعة، يصبح لدينا في الطرف الأيمن أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في ﺟ؛ أي ما يساوي ١٦ﺟ. ومن ثم، تصبح المعادلة ١٦ﺟ يساوي ٨٠.

لحل ذلك، نقسم كلا طرفي المعادلة على ١٦، فنحصل على ﺟ يساوي ٨٠ على ١٦، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة. بهذا نكون قد أوجدنا قيم الثوابت ﺃ وﺏ وﺟ. كل ما تبقى علينا فعله هو التعويض بهذه القيم في الصورة العامة للمعادلة التربيعية. تذكر أن ﺃ يمثل معامل ﺱ تربيع، وﺏ يمثل معامل ﺱ، وﺟ يمثل الحد الثابت. إذن، حصلنا على المعادلة أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. وهذه هي المعادلة التربيعية التي كان يحاول الطالب حلها عن طريق تطبيق القانون العام.