نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل تربيع الكل مقسوم على أربعة ﺱ ناقص ثمانية.
في هذا السؤال مطلوب منا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لدالة ما. وإذا وزعنا التربيع على القوسين في البسط، فسنجد أن هذه دالة كسرية. إنها خارج قسمة كثيرتي حدود. ونحن نعلم أنه يمكننا محاولة إيجاد قيمة ذلك بالتعويض المباشر. من الجيد دائمًا استخدام التعويض المباشر عندما يكون ذلك ممكنًا. حسنًا، سنعوض عن ﺱ باثنين في الدالة، ليصبح لدينا اثنان تربيع ناقص أربعة الكل تربيع الكل مقسوم على أربعة في اثنين ناقص ثمانية.
لكن إذا أوجدنا قيمتي المقدارين في البسط والمقام، فسنحصل على صفر مقسومًا على صفر. وهذا يعرف بأنه صيغة غير معينة. هذا يعني أنه لا يمكننا تحديد قيمة النهاية باستخدام هذه الطريقة، لذا علينا استخدام بعض العمليات لإعادة كتابة النهاية على صورة يمكننا إيجاد قيمة النهاية من خلالها. وإحدى طرق إجراء ذلك للدوال الكسرية هي استخدام ما نعرفه عن نظرية العوامل. بالتعويض عن ﺱ باثنين في كثيرة الحدود في البسط، نحصل على صفر. وعليه، ووفقًا لنظرية العوامل، ﺱ ناقص اثنين هو أحد عوامل كثيرة الحدود في البسط. وينطبق الأمر نفسه على المقام. لذا دعونا نجرب تحليل بسط الدالة ومقامها داخل النهاية.
من السهل تحليل المقام. يمكننا إخراج العامل المشترك أربعة. وإجراء ذلك يعني أنه يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل تربيع الكل مقسوم على أربعة في ﺱ ناقص اثنين. نريد الآن تحليل البسط. ولإجراء ذلك، علينا ملاحظة أن لدينا داخل القوسين فرقًا بين مربعين. حسنًا، نحن نعلم أن الفرق بين المربعين ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع يساوي ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ زائد ﺏ. ويمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق على البسط. سنجعل ﺃ يساوي ﺱ وﺏ يساوي اثنين. لذا، بتحليل البسط باستخدام الفرق بين مربعين، نجد أن لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد اثنين الكل تربيع الكل مقسوم على أربعة في ﺱ ناقص اثنين.
لكن ما زلنا لا نستطيع إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. نلاحظ أننا عند التعويض المباشر نحصل على العامل صفر في كل من البسط والمقام. ومن ثم، سنحتاج إلى إجراء المزيد من العمليات الحسابية. والآن سنوزع التربيع على أقواس البسط. وبذلك، نحصل على ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع مضروبًا في ﺱ زائد اثنين الكل تربيع. والآن نحن على وشك إيجاد قيمة هذا باستخدام التعويض المباشر. ما نريد فعله هو حذف العامل المشترك ﺱ ناقص اثنين من كل من البسط والمقام. إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على مقدار لا يتضمن العامل ﺱ ناقص اثنين في المقام، ويمكننا بعدها إيجاد قيمة هذا باستخدام التعويض المباشر.
ومع ذلك، يجدر بنا التأكيد مجددًا على السبب وراء إمكانية فعل ذلك. عندما نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين، فإننا نركز على ما يحدث عندما يقترب ﺱ أكثر وأكثر من اثنين. ولا يهم ما يحدث عند ﺱ يساوي اثنين. ومن ثم، يمكننا افتراض أن ﺱ ناقص اثنين لا يساوي صفرًا. وهذا لن يغير من قيمة النهاية في شيء. وعليه، فإن النهاية المعطاة لنا في السؤال هي نفسها النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد اثنين الكل تربيع الكل مقسوم على أربعة. وهذه هي النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لدالة كسرية. بعبارة أخرى، إنها النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لكثيرة حدود تكعيبية، لذا يمكننا إيجاد قيمتها الآن باستخدام التعويض المباشر.
إذن، سنعوض عن ﺱ باثنين. هذا يعطينا اثنين ناقص اثنين في اثنين زائد اثنين الكل تربيع الكل مقسوم على أربعة. ويمكننا هنا ملاحظة أن لدينا في البسط العامل اثنين ناقص اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. لكن المقام لدينا يساوي أربعة. ومن ثم، قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا. وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، باستخدام العمليات الجبرية والتعويض المباشر، تمكنا من إيجاد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل تربيع الكل مقسوم على أربعة ﺱ ناقص ثمانية، تساوي صفرًا.
