فيديو السؤال: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية في صورة معادلة مصفوفية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

عبر عن المعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٢، وثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة في صورة معادلة مصفوفية.

في هذا السؤال، لدينا نظام يتضمن معادلتين خطيتين. وقد نكون معتادين على الأسئلة التي تطلب منا حل هذا النظام، أي التي تطلب منا إيجاد قيمة كل من المتغيرين ﺱ وﺹ. وأول ما يجب ملاحظته في هذا السؤال هو أنه لم يطلب منا حل هذا النظام على الإطلاق. وإنما علينا بدلًا من ذلك إعادة كتابة كلتا هاتين المعادلتين في صورة معادلة مصفوفية. ولنفعل ذلك، يمكننا استخدام القاعدة التالية. افترض المعادلتين: ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ يساوي ﻙ واحد، وﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ يساوي ﻙ اثنين؛ حيث ﺃ واحد وﺏ واحد وﺃ اثنين وﺏ اثنين وﻙ واحد وﻙ اثنين جميعها حدود ثابتة.

نلاحظ أن المعادلتين المعطاتين في السؤال تتطابقان تمامًا مع الصورة الموضحة هنا. وقد تكون على دراية بأن هذه الصورة تسمى الصورة القياسية للمعادلة الخطية. ويمكن التعبير عن هذا النظام في صورة المعادلة المصفوفية التالية. في الطرف الأيمن، لدينا المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ﺃ واحد، ﺏ واحد ، ﺃ اثنين، ﺏ اثنين مضروبة في المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد ﺱ، ﺹ. وهذا يساوي المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد ﻙ واحد، ﻙ اثنين في الطرف الأيسر. وتجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أن هذه القاعدة تنطبق في كلا الاتجاهين. وعليه، لو كانت لدينا المعادلة المصفوفية الموضحة بالأسفل، لكان سيمكننا تحويلها إلى المعادلتين الآنيتين الموضحتين بالأعلى. ولحل هذا السؤال، يمكننا ببساطة التعويض بقيم النظام لدينا في القاعدة المعطاة.

ولتبسيط الأمور على أنفسنا، هيا نكتب هذه القيم، بداية من المعاملات في كل متغير من المتغيرات لدينا. سنعتبر أن ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٢ هي المعادلة رقم واحد. وهذا يعني أن ﺃ واحد وﺏ واحد هما المعاملان ثلاثة واثنان، على الترتيب. حسنًا، الآن نعتبر أن ثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة هي المعادلة رقم اثنين. وهذا يعني أن المعاملين ﺃ اثنين وﺏ اثنين هما ثلاثة وواحد، على الترتيب. ونلاحظ أنه بالنسبة إلى قيمة ﺏ اثنين، عادة لا تظهر المعاملات ذات القيمة واحد عند تطبيقها على المتغيرات، لكننا نعلم أن هذه هي القيمة التي يأخذها.

وتجدر الإشارة هنا إلى أنه في المعادلة المصفوفية، تحتوي المصفوفة الأولى من الرتبة اثنان في اثنين على جميع المعاملات الأربعة الموجودة في نظام المعادلات لدينا. ولهذا السبب، نطلق عليها مصفوفة المعاملات في المعادلة المصفوفية. وبالمثل، تحتوي المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد هذه على كلا المتغيرين في النظام لدينا، ومن ثم سنسميها مصفوفة المتغيرات. والمصفوفة الأخيرة من الرتبة اثنان في واحد تحتوي على كل من الحدين الثابتين في الطرف الأيسر من المعادلتين لدينا. ولهذا السبب نسميها مصفوفة الثوابت. في هذه الحالة، الثابت ﻙ واحد هو الطرف الأيسر من المعادلة رقم واحد، وقيمته ١٢. وأخيرًا، الثابت ﻙ اثنين هو الطرف الأيسر من المعادلة رقم اثنين، وقيمته سبعة.

وباستخدام هذه المعلومات، أصبحنا جاهزين لتكوين المعادلة المصفوفية. سنعوض أولًا بقيم ﺃ واحد وﺏ واحد وﺃ اثنين وﺏ اثنين في مصفوفة المعاملات، وهذا يعطينا المصفوفة ثلاثة، اثنين، ثلاثة، واحد. ونلاحظ بعد ذلك أن مصفوفة المتغيرات صحيحة، وليس علينا إجراء أي تعويضات لأن ﺱ وﺹ يطابقان المتغيرات في المعادلتين لدينا. وتجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة تنطبق أيضًا على أي متغيرين آخرين ما دام الترتيب محفوظًا. وأخيرًا، نعوض بقيمتي ﻙ واحد وﻙ اثنين في مصفوفة الثوابت لدينا. وهذا يعطينا المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد ١٢، سبعة. وبهذه الخطوة الأخيرة، نكون قد انتهينا من حل السؤال. لقد عبرنا عن المعادلتين الآنيتين المعطاتين في السؤال في صورة معادلة مصفوفية.

ونؤكد مرة أخيرة أننا لم نحل هذا النظام أو نوجد قيمة أي متغير بعينه. ما فعلناه هو تمثيل المعادلتين المعطاتين في السؤال باستخدام صور رياضية مختلفة. وإذا أردت التحقق من ذلك بنفسك، فيمكنك إجراء عملية ضرب المصفوفات بضرب مصفوفة المعاملات في مصفوفة المتغيرات في الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية لدينا. ولن نوضح ذلك في هذا الفيديو، ولكن ربما يكون تمرينًا جيدًا لك.