فيديو الدرس: المتجهات بدلالة متجهات الوحدة الأساسية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نكتب المتجهات في الصورة الإحداثية، باستخدام متجهات الوحدة الأساسية.

نعلم أن هناك مركبتين للمتجه الثنائي الأبعاد، وهما مركبتا المحورين ﺱ وﺹ. وذلك مع كون المحور ﺱ أفقيًّا، والمحور ﺹ رأسيًّا. بمعلومية مركبتي المتجه الثنائي الأبعاد، يمكننا التعبير عنه في صورته الإحداثية. على سبيل المثال، إذا كانت المركبتان ﺱ وﺹ للمتجه الثنائي الأبعاد تساويان ﺃ، ﺏ على الترتيب، فإن الصورة الإحداثية تكون ﺃ، ﺏ. ويمكننا تمثيل هذا المتجه على المستوى الكارتيزي بسهم يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند النقطة ﺃ، ﺏ، كما هو موضح.

ولكن ثمة طريقة أخرى للتعبير عن المتجه الثنائي الأبعاد، وهي بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. هذه المتجهات متجهات وحدة يشار إليها بالرمزين ﺱ وﺹ، وتكون لهما مركبات غير سالبة وطول يساوي واحدًا؛ حيث ﺱ هو متجه الوحدة في الاتجاه الأفقي، وﺹ هو متجه الوحدة في الاتجاه الرأسي. للمتجه ﺱ مركبتان تساويان واحدًا وصفرًا، وللمتجه ﺹ مركبتان تساويان صفرًا وواحدًا.

نكتب ﺱ وﺹ في صورة ﺱ وﺹ لتمييزهما باعتبارهما متجهي وحدة أساسيين. ولكن قد يكتبا أيضًا وعليهما سهمان أو بالخط العريض. لاحظ أن متجهي الوحدة الأساسيين لهما مركبة واحدة لا تساوي صفرًا، وهي تساوي واحدًا لكلا المتجهين. من الصورة الإحداثية للمتجه ﺱ، يمكننا تمثيله بسهم يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند النقطة: واحد، صفر، التي تقع على الجزء الموجب من المحور ﺱ. وبالمثل، من الصورة الإحداثية للمتجه ﺹ، يمكننا تمثيله على المستوى الكارتيزي في صورة سهم رأسي طوله يساوي واحدًا، ويبدأ من نقطة الأصل. لذا، ﺱ وﺹ يوازيان المحورين ﺱ وﺹ، على الترتيب، ويشيران إلى الاتجاه الموجب من المحورين المناظرين.

لنلق نظرة على مثال يتناول كيفية التعبير عن متجه رأسي بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي صفرًا، اثنين، فاكتب المتجه ﺃ بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ.

لدينا متجه في الصورة الإحداثية، علينا التعبير عنه بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ. للقيام بذلك، نبدأ بتذكر أنه يمكننا تمثيل المتجه الذي له مركبتان ﺃ، ﺏ بسهم يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند النقطة التي إحداثياتها ﺃ، ﺏ. وبما أن الصورة الإحداثية للمتجه ﺃ هي: صفر، اثنان، فإننا نمثله بسهم من نقطة الأصل إلى النقطة: صفر، اثنين. إذن كيف نعبر عن ذلك بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ؟

حسنًا، تذكر الصورتين الإحداثيتين لـ ﺱ وﺹ. إن ﺱ يساوي واحدًا، صفرًا، وﺹ يساوي صفرًا، واحدًا. وهما ممثلتان على المستوى الكارتيزي، كما هو موضح. وعلى وجه التحديد، يمكننا ملاحظة أن المتجه ﺱ متجه أفقي طوله يساوي واحدًا، في حين أن المتجه ﺹ متجه رأسي طوله يساوي واحدًا أيضًا. وبما أن المتجه ﺃ رأسي تمامًا، والمركبة ﺱ تساوي صفرًا، فإنه للتعبير عن ﺃ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية، نحتاج فقط إلى استخدام المتجه ﺹ. بما أن المركبة ﺹ للمتجه ﺃ تساوي اثنين، فإنه يمكننا تحقيق ذلك بوضع نسختين من ﺹ إحداهما فوق الأخرى لتكوين المتجه ﺃ. هذا يشير إلى أن ﺃ يساوي ﺹ زائد ﺹ، وهو ما يساوي اثنين ﺹ. ومن ثم، المتجه ﺃ يساوي اثنين ﺹ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

في هذا المثال، عبرنا عن متجه رأسي ثنائي الأبعاد بدلالة متجه الوحدة الأساسي ﺹ. والآن لنر كيفية التعبير عن متجه ليس رأسيًّا ولا أفقيًّا بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

يوضح الشكل الآتي المتجه ﺃ في مستوى. عبر عن هذا المتجه بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ.

المطلوب منا هو التعبير عن المتجه الموضح في الرسم بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ. لذا، دعونا نتذكر التمثيلات البيانية لهذين المتجهين على المستوى الكارتيزي. المتجه ﺱ متجه أفقي والمتجه ﺹ متجه رأسي، وكلاهما يبدأ من نقطة الأصل، ويتجهان في الاتجاهين الموجبين للمحورين ﺱ وﺹ، على الترتيب، وطول كل منهما يساوي واحدًا.

الآن، للتعبير عن المتجه ﺃ بدلالة ﺱ وﺹ، علينا النظر إلى مركبتي المحورين ﺱ وﺹ، كل على حدة. لنبدأ بالمركبة ﺱ. من التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن مركبة المحور ﺱ تساوي سالب ثلاثة. باستخدام متجه الوحدة الأفقي ﺱ، الذي يتجه في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، نقلب متجه الوحدة حتى يصبح سالبًا؛ حيث يشير الآن إلى الاتجاه السالب للمحور ﺱ. وللوصول إلى ﺱ يساوي سالب ثلاثة، نضيف ثلاث نسخ من سالب ﺱ. هذا يشير إلى أن المركبة ﺱ للمتجه ﺃ بدلالة متجه الوحدة الأساسي ﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ.

بعد ذلك، نتناول المركبة ﺹ للمتجه ﺃ، ونرى أنها تساوي موجب اثنين. ويمكننا الحصول عليها بإضافة نسختين من المتجه ﺹ. ومن ثم، المركبة ﺹ للمتجه ﺃ بدلالة متجه الوحدة الأساسي ﺹ تساوي اثنين ﺹ.

بتجميع مركبتي المتجه معًا، وكذلك باتباع الاصطلاح لكتابة مركبة المحور ﺱ أولًا، نحصل على: ﺃ يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ.

يمكننا تطبيق الطريقة التي استخدمناها في هذا المثال على أي متجه له مركبات ذات قيمة صحيحة. هذا يؤدي إلى صيغة عامة للتعبير عن متجه له مركبتان ﺃ وﺏ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. وهي: ﺃ في ﺱ زائد ﺏ في ﺹ. لاحظ أن هذا التحويل يمكن استخدامه عكسيًّا. بدءًا من متجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية؛ حيث لدينا ﺃﺱ زائد ﺏﺹ، يمكننا تحويل ذلك إلى متجه له مركبتان ﺃ وﺏ.

لقد أوضحنا كيفية التحويل بين الصورة الإحداثية وصورة متجهات الوحدة لمركبات المتجهات ذات القيمة الصحيحة. ولكن في الواقع، ينطبق ذلك على أي مركبات ذات قيمة حقيقية. في المثال التالي، سنستخدم ذلك للتعبير عن متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

اكتب المتجه ﻉ يساوي سالب خمسة على اثنين، سالب ١٩ بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ.

لدينا متجه معطى في الصورة الإحداثية، ونريد التعبير عن ذلك بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ. للقيام بذلك، نتذكر أن المتجه الثنائي الأبعاد الذي له مركبتان ﺃ، ﺏ يمكن كتابته بدلالة متجهات الوحدة الأساسية على الصورة: ﺃ في ﺱ زائد ﺏ في ﺹ. وبما أن المتجه ﻉ المعطى له مركبتان؛ ﺃ تساوي سالب خمسة على اثنين، وﺏ تساوي سالب ١٩، فإنه يمكننا كتابة ﻉ على الصورة: سالب خمسة على اثنين ﺱ زائد سالب ١٩ﺹ. ومن ثم، بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ، المتجه ﻉ يساوي سالب خمسة على اثنين ﺱ ناقص ١٩ﺹ.

في هذا المثال، كتبنا متجهًا ثنائي الأبعاد معطى في الصورة الإحداثية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. لنفكر الآن في كيفية تحقيق ذلك عندما يكون المتجه محددًا بنقطتي البداية والنهاية على المستوى الكارتيزي. إحدى طرق كتابة هذا المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية هي إيجاد الصورة الإحداثية لهذا المتجه أولًا ثم تحويل الصورة. لكن ليس من الضروري استخدام الصورة الإحداثية لتحقيق ذلك. بدلًا من هذا، يمكننا تحديد المركبتين الأفقية والرأسية لهذا المتجه، حتى نتمكن من كتابته على صورة مجموع المتجهين الأفقي والرأسي. لنر كيفية القيام بذلك في المثال التالي.

يمثل الشكل الآتي متجهًا في مستوى. اكتب المتجه بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ.

المطلوب منا هو كتابة المتجه الموضح في التمثيل البياني بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ. تذكر أن متجهي الوحدة هذين معرفان بدلالة ﺱ يساوي المتجه الذي مركبتاه: واحد، صفر، وﺹ هو المتجه الذي مركبتاه: صفر، واحد. بعبارة أخرى، هذان متجها وحدة يشيران إلى الاتجاهين الموجبين الأفقي والرأسي للمحورين ﺱ وﺹ، على الترتيب. وهذان متجها الوحدة الأساسيان.

لاحظ أنه ليس من الضروري أن تبدأ متجهات الوحدة عند نقطة الأصل. إنها تصف التحرك مسافة تساوي واحدًا في الاتجاه الأفقي أو الرأسي من نقطة البداية المعطاة. ومن ثم، علينا التعبير عن المتجه المعطى في صورة مجموع المتجهين الأفقي والرأسي. دعونا أولًا نحدد هذين المتجهين الأفقي والرأسي على التمثيل البياني.

أولًا، نقطة البداية هي النقطة: اثنان، سالب اثنين. وبداية من هنا، يمكننا أن نرى أن المتجه الأفقي يمتد بمقدار وحدتين على الشبكة في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. ومن ثم فإن المركبة الأفقية للمتجه تساوي موجب اثنين، ويمكن كتابة هذا المتجه بدلالة المركبتين: اثنين، صفر. ويمكن كتابة ذلك على الصورة: اثنان في المتجه واحد، صفر؛ وهو ما يساوي اثنين في متجه الوحدة الأساسي ﺱ. وبالمثل، يمتد المتجه الرأسي بمقدار ١٠ وحدات على الشبكة، ويشير إلى الاتجاه الموجب للمحور ﺹ من نقطة البداية لدينا؛ حيث تساوي المركبة الرأسية له موجب ١٠. وهذا يشير إلى أن المتجه الرأسي يساوي ١٠ في متجه الوحدة الأساسي ﺹ. جمع هذين المتجهين سينتج عنه المتجه المعطى. وعليه فإن المتجه المعطى يساوي اثنين ﺱ زائد ١٠ﺹ.

في هذا المثال، عبرنا بدلالة متجهات الوحدة الأساسية عن متجه ممثل بيانيًّا على شبكة تربيعية. وهذه طريقة صحيحة تمامًا. ولكن لاستخدامها، علينا تمثيل النقطتين بيانيًّا على المستوى الإحداثي. ومن ثم، من المفيد أن نعرف صيغة تحقيق ذلك عندما تكون لدينا إحداثيات نقطتي البداية والنهاية للمتجه فقط.

دعونا نتناول متجهًا من نقطة البداية ﺃ التي إحداثياتها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، إلى نقطة النهاية ﺏ التي إحداثياتها: ﺱ اثنان، ﺹ اثنان. في هذه الحالة، تكون مركبة المحور ﺱ للمتجه ﺃﺏ تساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، ومركبة المحور ﺹ تساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد. يمكننا بعد ذلك كتابة المتجه ﺃﺏ من نقطة البداية ﺃ إلى نقطة النهاية ﺏ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية على الصورة: ﺱ اثنان ناقص ﺱ واحد ﺱ زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد ﺹ.

من الجدير بالملاحظة هنا أنه من الضروري أن نوضح أي النقطتين هي نقطة البداية وأيهما هي نقطة النهاية للمتجه. هنا، نقطة البداية ﺃ، ونقطة النهاية ﺏ. ومع ذلك، إذا بدأنا من ﺏ وتحركنا في الاتجاه المعاكس من ﺏ إلى ﺃ، تكون للمتجه ﺏﺃ مركبتان؛ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين، وﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين، وهما ليستا مماثلتين لمركبتي المتجه ﺃﺏ في الاتجاه المعاكس.

في المثال الأخير، سنطبق هذه الصيغة لكتابة متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ.

إذا كانت لـ ﺃ إحداثيات تساوي اثنين، ثلاثة، ولـ ﺏ إحداثيات تساوي خمسة، تسعة، فعبر عن المتجه ﺃﺏ بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ.

في هذا المثال، لدينا نقطتا البداية والنهاية لمتجه ثنائي الأبعاد، وعلينا التعبير عن هذا المتجه بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين ﺱ وﺹ. للقيام بذلك، تذكر أن المتجه ﺃﺏ الذي نقطة بدايته ﺃ تساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ونقطة نهايته ﺏ تساوي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ يمكن كتابته بدلالة متجهات الوحدة الأساسية على الصورة: ﺃﺏ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد في ﺱ زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد في ﺹ.

لدينا النقطتان ﺃ وﺏ. وبما أن النقطة ﺃ هي نقطة البداية، والنقطة ﺏ هي نقطة النهاية؛ فإن ﺱ واحد يساوي اثنين، وﺱ اثنين يساوي خمسة؛ ﺹ واحد يساوي ثلاثة، وﺹ اثنين يساوي تسعة. باستخدام الصيغة، نحصل على: ﺃﺏ يساوي خمسة ناقص اثنين في ﺱ زائد تسعة ناقص ثلاثة في ﺹ، وهذا يساوي ثلاثة ﺱ زائد ستة ﺹ. ومن ثم، بدلالة متجهات الوحدة الأساسية، المتجه الذي نقطة بدايته ﺃ تساوي اثنين، ثلاثة، ونقطة نهايته ﺏ تساوي خمسة، تسعة؛ هو: ﺃﺏ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ستة ﺹ.

دعونا نختم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها. متجها الوحدة الأساسيان ﺱ وﺹ هما متجها الوحدة الأفقي والرأسي، وطول كل متجه من هذين المتجهين يساوي واحدًا، ويشيران في الاتجاهين الموجبين للمحورين ﺱ وﺹ، على الترتيب. الصورة الإحداثية لـ ﺱ هي المتجه: واحد، صفر، والصورة الإحداثية لـ ﺹ هي المتجه: صفر، واحد. يمكن كتابة المتجه في الصورة الإحداثية ﺃ، ﺏ بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ على الصورة: ﺃ في ﺱ زائد ﺏ في ﺹ. وبالمثل، إذا كان لدينا متجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية، فإنه يمكننا كتابة ذلك على الصورة الإحداثية ﺃ، ﺏ. وفي النهاية، المتجه ﺃﺏ الذي نقطة بدايته ﺃ تساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ونقطة نهايته ﺏ تساوي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ يمكن كتابته بدلالة متجهات الوحدة الأساسية على الصورة: ﺃﺏ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد في ﺱ زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد في ﺹ.