نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة حل المعادلة ﻉ تكعيب يساوي أربعة في جذر اثنين ناقص جذر اثنين ﺕ في مجموعة الأعداد المركبة، واكتبها على صورة أسية.
عندما نمثل عددًا على الصورة الأسية، نكتبه على الصورة ﻉ يساوي ﻝ في ﻫ أس ﺕ𝜃؛ حيث ﻝ هو مقياس العدد المركب، و𝜃 هي سعته. ويمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور؛ لإيجاد حلول المعادلة.
لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا أن نكتب المعادلة ﻉ تكعيب يساوي أربعة في جذر اثنين ناقص جذر اثنين ﺕ على الصورة الأسية. بتوزيع الأقواس، نجد أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة على صورة أربعة جذر اثنين ناقص أربعة جذر اثنين ﺕ. وبعد ذلك، يمكننا تمثيل هذا العدد المركب على مخطط أرجاند بالنقطة ذات الإحداثيات الديكارتية: أربعة جذر اثنين، وسالب أربعة جذر اثنين.
مقياس العدد المركب، ونشير إليه بـ ﻝ، هو طول القطعة المستقيمة التي تصل بين هذه النقطة ونقطة الأصل. ومن ثم، يمكننا استخدام صيغة المسافة أو ببساطة صيغة إيجاد المقياس. وينتج لنا منها أن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لأربعة جذر اثنين تربيع زائد سالب أربعة جذر اثنين تربيع. أربعة جذر اثنين تربيع يساوي ١٦ في اثنين، وهو ما يساوي ٣٢. إذن، المقياس يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٢ زائد ٣٢، وذلك بالطبع يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٤، وهو ثمانية. وبذلك، نعرف أن مقياس العدد المركب الذي لدينا يساوي ثمانية. لكن ماذا عن سعته؟
السعة هي قياس الزاوية التي تكونها القطعة المستقيمة مع محور الأعداد الحقيقية الموجبة، ولكن مع القياس عكس اتجاه عقارب الساعة. وبدلًا من ذلك، يمكننا تعريف 𝜃 بدلالة السعة الأساسية، أي في الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب 𝜋 إلى 𝜋، بالوضع في الاعتبار أن القياس في اتجاه عقارب الساعة يعطي الناتج بالسالب، ثم إيجاد قياس هذه الزاوية هنا. ويمكننا استخدام نسبة ظل الزاوية للقيام بذلك.
نعلم أن قياس القطعة المستقيمة المقابلة لـ 𝜃 يساوي أربعة جذر اثنين وحدة، وقياس القطعة المستقيمة المجاورة لها هو أيضًا أربعة جذر اثنين وحدة. نلاحظ أن طولي هاتين القطعتين المستقيمتين متساويان، إذن لدينا مثلث متساوي الساقين. على وجه التحديد، مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية. ونعرف أن قياس كل من زاويتي المثلث المتساوي الساقين القائم الزاوية هو ٤٥ درجة، أو 𝜋 على أربعة راديان.
وبما أننا نتحرك في اتجاه عقارب الساعة، ستكون السعة سالب 𝜋 على أربعة راديان. والآن، يمكننا كتابة العدد المركب أربعة جذر اثنين ناقص جذر اثنين ﺕ على الصورة: ثمانية ﻫ أس سالب 𝜋 على أربعة ﺕ. وهذا بدوره سيساعدنا كثيرًا، حيث يمكننا الآن استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور؛ لإيجاد مجموعة حل المعادلة.
تنص نظرية ديموافر لإيجاد الجذور على أنه لأي عدد مركب على الصورة ﻝﻫ أس ﺕ𝜃، فإن الجذور ﻥ على الصورة الأسية هي: ﻝ أس واحد على ﻥ في ﻫ أس 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥﺕ، لقيم ﻙ من صفر إلى ﻥ ناقص واحد. والآن، يمكننا حل المعادلة ﻉ تكعيب يساوي ثمانية ﻫ أس سالب 𝜋 على أربعة ﺕ. ومن ثم، سنجعل ﻥ يساوي ثلاثة. ونريد بالأساس إيجاد الجذر التكعيبي لهذه المعادلة.
بتطبيق نظرية ديموافر، نجد أن الصيغة العامة للجذور هي: ثمانية أس ثلث في ﻫ أس سالب 𝜋 على أربعة زائد اثنين 𝜋ﻙ على ثلاثة ﺕ. وبما أن ﻙ يقبل القيم من صفر إلى ﻥ ناقص واحد، فإن ﻙ لا بد أن يأخذ القيم من صفر إلى ثلاثة ناقص واحد، أي إلى اثنين.
في الواقع، ثمانية أس ثلث يساوي الجذر التكعيبي لثمانية. وهو ما يساوي اثنين. وهذه هي الصيغة العامة لجذور المعادلة. سنعوض الآن بـ ﻙ يساوي صفرًا، وﻙ يساوي واحدًا، وﻙ يساوي اثنين. عند ﻙ يساوي صفرًا، يكون الجذر هو اثنان ﻫ أس سالب 𝜋 على أربعة زائد صفر على ثلاثة ﺕ. لكن سالب 𝜋 على أربعة زائد صفر على ثلاثة يساوي سالب 𝜋 على أربعة على ثلاثة، وهو ما يساوي سالب 𝜋 على ١٢. إذن، الجذر الأول للمعادلة هو اثنان ﻫ أس سالب 𝜋 على ١٢ﺕ.
بعد ذلك، نعوض عن ﻙ بواحد. ونحصل على اثنين ﻫ أس سالب 𝜋 على أربعة زائد اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ. يصبح بسط هذا المقدار سبعة 𝜋 على أربعة. وسبعة 𝜋 على أربعة مقسومًا على ثلاثة يمكن كتابته في صورة سبعة 𝜋 على ١٢. وعليه، الجذر الثاني هو اثنان ﻫ أس سبعة 𝜋 على ١٢ﺕ.
وأخيرًا، نعوض عن ﻙ باثنين. وعندما نفعل ذلك، فإن الجزء اثنين 𝜋ﻙ يصبح اثنين 𝜋 في اثنين، أي أربعة 𝜋. إذن، لدينا اثنان ﻫ أس سالب 𝜋 على أربعة زائد أربعة 𝜋 على ثلاثة ﺕ. ثم نبسط البسط إلى ١٥𝜋 على أربعة. ١٥ على أربعة مقسومًا على ثلاثة يصبح ١٥𝜋 على ١٢، أو خمسة 𝜋 على أربعة.
من الشائع جدًا تمثيل السعة بدلالة السعة الأساسية؛ حيث تأخذ السعة الأساسية قيمًا من الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب 𝜋 إلى 𝜋. ولتحقيق ذلك، نجمع أو نطرح مضاعفات اثنين 𝜋 من السعة المعطاة. سنطرح اثنين 𝜋 من خمسة 𝜋 على أربعة. ويعطينا هذا سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة. وبهذا يمكننا القول إن الجذر الأخير لدينا هو اثنان ﻫ أس سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة ﺕ.
مطلوب منا في هذا السؤال تحديد مجموعة حل المعادلة. لذا، سنعبر عن الإجابة بطريقة مختلفة قليلًا. مجموعة حل المعادلة ﻉ تكعيب يساوي أربعة في جذر اثنين ناقص جذر اثنين ﺕ هي المجموعة التي تحتوي على العناصر: اثنين ﻫ أس سالب 𝜋 على ١٢ﺕ، واثنين ﻫ أس سبعة 𝜋 على ١٢ﺕ، واثنين ﻫ أس سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة ﺕ.
