نسخة الفيديو النصية
في المتتابعة الهندسية ستة، ٢٤، ٩٦، وهكذا، ما ترتيب الحد الذي قيمته ١٥٧٢٨٦٤؟
لعلنا نتذكر أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة بها نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية. علينا هنا إيجاد ترتيب أو موضع الحد الذي قيمته ١٥٧٢٨٦٤. ولمساعدتنا في ذلك، يمكننا إيجاد الحد النوني لهذه المتتابعة الهندسية. علينا أن نتذكر صيغة ذلك؛ وهي: ﺡﻥ يساوي ﺃ في ر أس ﻥ ناقص واحد. تكتب أحيانًا قيمة ﺃ على الصورة: ﺡ واحد. وهذا يمثل الحد الأول في المتتابعة. وقيمة ر هي النسبة بين الحدود.
إذا كانت لدينا أول ثلاثة حدود في المتتابعة، فإنه يمكننا إيجاد كل من النسبة ر وقيمة الحد الأول. لإيجاد النسبة، يمكننا قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه مباشرة. إذن باستخدام الحدين الأول والثاني، نجد أننا إذا قسمنا ٢٤ على ستة، فسنحصل على القيمة أربعة. بعبارة أخرى، ستة مضروبًا في أربعة يساوي ٢٤. ينطبق الأمر نفسه إذا استخدمنا الحدين الثاني والثالث. ويمكننا ملاحظة أن النسبة بين الحدين هي أربعة.
بذلك، نعلم أن ر يساوي أربعة. وفيما يتعلق بالحد الأول، نحن نعلم من المعطيات أن الحد الأول هو ستة. وهذا يعني أن ﺃ يساوي ستة. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمتي ﺃ ور في صيغة الحد العام هذه، مع تذكر أن ر هي النسبة الثابتة. هذا يعطينا: ﺡﻥ يساوي ستة في أربعة أس ﻥ ناقص واحد. وعندما يكون لدينا حد عام أو حد نوني لمتتابعة، فإنه يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة أي حد في هذه المتتابعة. ولكن، في هذا السؤال، معطى لنا قيمة الحد. لذا يمكننا القول إن هذه هي قيمة ﺡﻥ. يمكننا بعد ذلك استخدام صيغة الحد العام لإيجاد قيمة ﻥ التي تعطينا هذه القيمة.
إذن، يمكننا التعويض بهذه القيمة عن ﺡﻥ في صيغة الحد العام. بقسمة الطرفين على ستة، نحصل على: ٢٦٢١٤٤ يساوي أربعة أس ﻥ ناقص واحد. توجد عدة طرق مختلفة يمكننا من خلالها الحل لإيجاد قيمة أس العدد أربعة هذا. وتتمثل إحدى هذه الطرق في استخدام طريقة التجربة والتحسين حتى نتمكن من إيجاد القيمة التي تعطينا ٢٦٢١٤٤. سننتقل بعد ذلك إلى إيجاد قيمة ﻥ.
هناك طريقة أخرى وهي أخذ لوغاريتم كل من الطرفين لمساعدتنا في إيجاد قيمة الأس. ولا يهم الأساس الذي نستخدمه في اللوغاريتم. يمكننا إذن استخدام قوانين اللوغاريتمات لمساعدتنا. نحن نعلم أن لوغاريتم ﺱ أس ﻥ للأساس ﺃ يساوي ﻥ في لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ. وبذلك، يمكننا كتابة الطرف الأيسر من هذه المعادلة على الصورة: ﻥ ناقص واحد في لوغاريتم أربعة للأساس ١٠. بعد ذلك نقسم الطرفين على لوغاريتم أربعة للأساس ١٠. ويمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة لوغاريتم ٢٦٢١٤٤ للأساس ١٠ مقسومًا على لوغاريتم أربعة للأساس ١٠، وهو ما يعطينا: ﻥ ناقص واحد يساوي تسعة.
وعليه، نجد أن ﻥ يساوي ١٠. وهذا يعني أن ترتيب الحد يجب أن يكون ١٠. إنه الحد العاشر في المتتابعة، الذي تكون قيمته ١٥٧٢٨٦٤. يمكننا التحقق من إجابتنا عن طريق التعويض بـ ﻥ يساوي ١٠ في صيغة الحد العام. وعند تبسيط الأس، نحصل على: أربعة أس تسعة، وأربعة أس تسعة يساوي ٢٦٢١٤٤. بضرب هذا في ستة، نحصل على القيمة ١٥٧٢٨٦٤، وهي القيمة المعطاة في السؤال، مما يؤكد إجابتنا بأن هذا هو الحد العاشر في المتتابعة.
