تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: كثيرة الحدود بمتغير واحد

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية تحديد كثيرة الحدود بمتغير واحد، والصورة (الصيغة) القياسية لها، وكيفية تحديد درجتها، والمعامل الرئيسي لها، من خلال أمثلة توضيحية.

٠٩:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن كثيرة الحدود بمتغيِّر واحد.

في الفيديو ده، هنعرف إزاي نحدِّد كثيرة الحدود بمتغيِّر واحد. وكمان هنعرف الصورة أو الصيغة القياسية ليها. وهنعرف كمان درجتها، والمعامل الرئيسي ليها. وهنشوف أمثلة عليها. كثيرة الحدود بمتغيِّر واحد بتكون عبارة عن مقدار جبري على الصورة: أ ن في س أُس ن. زائد أ، ن ناقص واحد، في س أُس، ن ناقص واحد. زائد، نقط. زائد أ اتنين في س تربيع. زائد أ واحد في س. زائد أ صفر. بحيث أ صفر، وَ أ واحد، وَ أ اتنين، وَ أ، ن ناقص واحد، وَ أ ن عبارة عن أعداد حقيقية. وكمان أ ن ده ما بيساويش الصفر. والـ ن دي عبارة عن عدد صحيح وغير سالب.

كمان كثيرة الحدود بمتغيِّر واحد بيكون ليها صورة معيَّنة أو شكل معيّن بنسمِّيه الصيغة القياسية. وده بيكون لمّا تبقى كثيرة الحدود مكتوبة بشكل يكون فيه أُسُس المتغيِّر في حدودها مترتِّبة ترتيب تنازلي. فمثلًا بالنسبة للصورة اللي عندنا، هنلاقي إن أُس الـ س هو ن، وبيقلّ في الحدود اللي بعد كده. ده معناه إن أُسُس المتغيِّر س في الحدود اللي عندنا مترتِّبة ترتيب تنازلي. وبالتالي هتبقى الصورة اللي عندنا دي عبارة عن صيغة قياسية.

أمّا بالنسبة لدرجة كثيرة الحدود، فهيكون عبارة عن أُس المتغيِّر صاحب أكبر أُس فيها. معنى كده نقدر نقول: إن الصورة اللي عندنا دي درجتها هتبقى ن. كمان بالنسبة لكثيرة الحدود بمتغيِّر واحد، بيكون فيه حاجة اسمها المعامل الرئيسي ليها. وده بيكون معامل الحدّ الأول في كثيرة الحدود المكتوبة في الصيغة القياسية. وإحنا عرفنا إن الصيغة القياسية بتكون مكتوبة بحيث تكون أُسُس المتغيِّر في الحدود مترتّبة ترتيب تنازلي. ده معناه إن الحدّ الأول ده هيكون فيه المتغيِّر صاحب أكبر أُس. يعني المعامل الرئيسي هيكون معامل الحدّ اللي بيكون فيه المتغيِّر صاحب أكبر أُس.

هنبدأ نشوف كثيرات حدود مختلِفة في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. أول حاجة كثيرة الحدود الثابتة، واللي بتكون عبارة عن عدد ثابت ما فيش معاه متغيِّر، زيّ مثلًا اتناشر. ولأن المتغيِّر مش موجود، ده معناه إن أُس المتغيِّر هيكون صفر. وبالتالي هتبقى الدرجة بتاعة كثيرة الحدود الثابتة هي صفر.أمّا المعامل الرئيسي فهيكون اتناشر.

بعد كده كثيرة الحدود الخطّية. واللي بيكون أكبر أُس للمتغيِّر اللي موجود هو واحد، زيّ مثلًا أربعة س ناقص تسعة. ولأن أكبر أُس للمتغيِّر اللي موجود هو واحد، ده معناه إن الدرجة بتاعة كثيرة الحدود الخطّية هيكون واحد. يعني درجة كثيرة الحدود أربعة س ناقص تسعة هيبقى واحد. كمان كثيرة الحدود دي مكتوبة بالصيغة القياسية. فده معناه إن المعامل الرئيسي هيبقى معامل الحدّ الأول فيها، واللي هو أربعة.

بعد كده كثيرة الحدود التربيعية. ودي بيكون فيها أكبر أُس للمتغيِّر الموجود هو اتنين. فعلى سبيل المثال: خمسة س تربيع، ناقص ستة س، ناقص تسعة هي عبارة عن كثيرة حدود تربيعية. وده لأن أكبر أُس للمتغيِّر س هو اتنين. وده معناه إن درجة كثيرة الحدود التربيعية هيبقى اتنين. كمان كثيرة الحدود خمسة س تربيع، ناقص ستة س، ناقص تسعة مكتوبة بالصيغة القياسية. ده معناه إن المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود دي هيبقى خمسة.

بعد كده كثيرة الحدود التكعيبية. ودي بيكون فيها أكبر أُس للمتغيِّر الموجود هو تلاتة. فعلى سبيل المثال: كثيرة الحدود: تمنية س تكعيب، زائد اتناشر س تربيع، ناقص تلاتة س، زائد واحد هي عبارة عن كثيرة حدود تكعيبية. وده لأن أكبر أُس للمتغيِّر س هو تلاتة. يعني نقدر نقول: إن درجة كثيرة الحدود التكعيبية هتبقى تلاتة. أمّا بالنسبة للمعامل الرئيسي، فهيكون تمنية. وده لأن كثيرة الحدود: تمنية س تكعيب، زائد اتناشر س تربيع، ناقص تلاتة س، زائد واحد مكتوبة بالصيغة القياسية.

بعد كده كثيرة الحدود في صيغتها أو صورتها العامَّة. وهي: أ ن في س أُس ن. زائد أ، ن ناقص واحد، في س أُس، ن ناقص واحد. زائد، نقط. زائد أ واحد في س. زائد أ صفر. بالنسبة لدرجتها، فهتبقى ن. وده لأن أكبر أُس للمتغيِّر س اللي موجود هو ن. أمّا بالنسبة للمعامل الرئيسي، فهيبقى أ ن. وده لأن الصورة دي هي الصيغة القياسية.

كده إحنا عرفنا كثيرة الحدود الثابتة، وكمان الخطّية، والتربيعية، والتكعيبية، وكمان عرفنا الصيغة العامَّة لكثيرة الحدود. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. نعرف بيه إزاي نحدِّد إذا كانت كثيرة الحدود اللي عندنا بمتغيِّر واحد ولّا لأة. وإذا كانت بمتغيِّر واحد، هنشوف إزاي نحدِّد درجتها والمعامل الرئيسي ليها.

في المثال اللي عندنا: عايزين نحدِّد الدرجة والمعامل الرئيسي لكل كثيرة حدود بمتغيِّر واحد. ولو ما كانتش كثيرة حدود بمتغيِّر واحد، فعايزين نذكر السبب.

هنبدأ أول حاجة بالمقدار أ. هنلاقيه عبارة عن كثيرة حدود. وكمان مش موجود إلا متغيِّر واحد بس؛ هو المتغيِّر س. معنى كده إن المقدار أ ده هو عبارة عن كثيرة حدود بمتغيِّر واحد. بعد كده هنشوف درجتها والمعامل الرئيسي ليها. هنلاقي إن أكبر أُس للمتغيِّر س هو خمسة. وبالتالي هتبقى درجتها خمسة. أمّا بالنسبة للمعامل الرئيسي، فهنلاقي إن كثيرة الحدود اللي عندنا دي مكتوبة بالصيغة القياسية. وده معناه إن المعامل الرئيسي هيكون معامل الحدّ الأول، يعني هيبقى تمنية. بكده هيبقى المقدار أ عبارة عن كثيرة حدود بمتغيِّر واحد. درجتها هي خمسة، والمعامل الرئيسي ليها هو تمنية.

بعد كده هنشوف المقدار ب. فهنلاقيه عبارة عن كثيرة حدود، لكن هنلاقي إن فيه متغيِّرين هم س وَ ص. وبالتالي هيبقى المقدار ده مش كثيرة حدود بمتغيِّر واحد.

بعد كده المقدار ﺟ، واللي هو: تلاتة س أُس أربعة، زائد ستة س تكعيب، ناقص أربعة س أُس تمنية، زائد اتنين س. هنلاقيه عبارة عن كثيرة حدود. وكمان مش هنلاقي إلا متغيِّر واحد بس، وهو س. يعني هيبقى المقدار ﺟ عبارة عن كثيرة حدود بمتغيِّر واحد. بعد كده هنحدِّد درجتها والمعامل الرئيسي ليها. فبالنسبة لأكبر أُس للمتغيِّر س فهنلاقيه تمنية. وبالتالي هتبقى درجتها هي تمنية.

أمّا بالنسبة للمعامل الرئيسي، فهنلاقي إن كثيرة الحدود اللي عندنا مش مكتوبة بالصيغة القياسية. وده لأن أُسُس المتغيِّر س في الحدود مش مترتِّبة ترتيب تنازلي. وبكده يا إمّا هنعيد كتابة كثيرة الحدود اللي عندنا، بحيث إن إحنا نكتبها بالصيغة القياسية. يا إمّا هنشوف الحدّ اللي هيكون فيه المتغيِّر س صاحب أكبر أُس. فهيبقى المعامل الرئيسي هو معامل الحدّ ده. فإحنا هنشوف الحدّ اللي هيكون فيه س صاحب أكبر أُس، هنلاقيه هو سالب أربعة س أُس تمنية. فهيبقى المعامل الرئيسي هو معامل الحدّ ده. يعني المعامل الرئيسي هيبقى سالب أربعة.

بكده هيبقى المقدار: تلاتة س أُس أربعة، زائد ستة س تكعيب، ناقص أربعة س أُس تمنية، زائد اتنين س. هيبقى عبارة عن كثيرة حدود بمتغيِّر واحد، درجتها هي تمنية، أمّا المعامل الرئيسي ليها، فهو سالب أربعة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إيه هي الصورة أو الصيغة العامَّة لكثيرة الحدود بمتغيِّر واحد. وكمان عرفنا إنها لمّا تبقى مكتوبة بحيث تكون أُسُس المتغيِّر في الحدود مترتِّبة ترتيب تنازلي، هتبقى الصورة دي هي الصيغة القياسية. وكمان عرفنا إزاي نقدر نحدِّد درجة كثيرة الحدود، واللي هتكون عبارة عن أُس المتغيِّر صاحب أكبر أُس فيها. وكمان عرفنا المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود. وعرفنا إنه هو عبارة عن معامل الحدّ الأول في كثيرة الحدود، اللي هتكون مكتوبة بالصيغة القياسية. أو هو معامل الحدّ اللي هيكون فيه المتغيِّر صاحب أكبر أُس. وكمان عرفنا كثيرة الحدود الثابتة، والخطّية، والتربيعية، والتكعيبية.