نسخة الفيديو النصية
تقع نقطتان على الأرض على استقامة واحدة على أحد جانبي سارية علم طولها ٢٩ مترًا. قياسا زاويتي الارتفاع من النقطتين إلى قمة سارية العلم يساويان ٤٥ درجة و١٨ دقيقة، و٣٤ درجة و١٨ دقيقة. أوجد المسافة بين النقطتين، مقربًا إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
دعونا نبدأ بتمثيل معطيات هذه المسألة بالرسم. لدينا سارية علم طولها ٢٩ مترًا. توجد نقطتان على الأرض تقعان على استقامة واحدة على أحد جانبي سارية العلم. يعني هذا أن النقطتين تقعان على نفس الخط المستقيم. قياسا زاويتي الارتفاع من النقطتين إلى قمة سارية العلم يساويان ٤٥ درجة و١٨ دقيقة و٣٤ درجة و١٨ دقيقة. زوايا الارتفاع هي زوايا تقاس من المستوى الأفقي إلى خط الرؤية عندما ننظر لأعلى باتجاه شيء ما. إذن، في هذه المسألة، ننظر لأعلى من الأرض إلى قمة سارية العلم.
قد نحتاج أيضًا إلى تحويل قياسي هاتين الزاويتين من الدرجات والدقائق إلى الدرجات فقط. لعلنا نتذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة الواحدة، لذا ١٨ دقيقة تساوي ١٨ على ستين درجة. إذن، قياس الزاوية ٤٥ درجة و١٨ دقيقة يساوي ٤٥ و١٨ على ستين، درجة، وهو ما يساوي ٤٥٫٣ درجة. للسبب نفسه، قياس الزاوية ٣٤ درجة و١٨ دقيقة يساوي ٣٤٫٣ درجة.
يمكننا إذن إضافة قياسي هاتين الزاويتين إلى الشكل. علينا هنا أن ننتبه؛ لأننا نبدأ من المستوى الأفقي وننظر لأعلى في اتجاه سارية العلم عند قياس الزاوية.
نريد إيجاد المسافة بين النقطتين المشار إليهما بالحرفين ﺃ، ﺏ، وسنسمي هذه المسافة ﺹ متر. ﺹ هو الفرق بين طول ﺃﺟ، أي المسافة بين أسفل سارية العلم والنقطة الأبعد عنها؛ وطول ﺏﺟ، أي المسافة بين أسفل سارية العلم والنقطة الأقرب إليها.
يمكننا إيجاد قيمة كل مسافة من هاتين المسافتين باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. لننظر أولًا إلى المثلث القائم الزاوية ﺏﺟﺩ، الذي نعرف فيه طول الضلع ﺟﺩ وقياس الزاوية ﺟﺏﺩ. بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٤٥٫٣ درجة، فإن الضلع الذي طوله ٢٩ مترًا هو الضلع المقابل، وﺏﺟ هو الضلع المجاور، وﺏﺩ هو الوتر. نحن نعرف طول الضلع المقابل، ونريد حساب طول الضلع المجاور. بتذكر النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية، نجد أنه علينا استخدام نسبة الظل.
لأي زاوية 𝜃 في مثلث قائم زاوية، ظل الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. إذن، لدينا ظا ٤٥٫٣ درجة يساوي ٢٩ على ﺏﺟ. بضرب طرفي هذه المعادلة في طول الضلع المجهول ﺏﺟ، نحصل على ﺏﺟ في ظا ٤٥٫٣ درجة يساوي ٢٩. ولإيجاد طول ﺏﺟ، نقسم طرفي المعادلة على ظا ٤٥٫٣ درجة، ما يعطينا ﺏﺟ يساوي ٢٩ على ظا ٤٥٫٣ درجة. بحساب قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، التي يجب أن تكون مضبوطة على وضع الدرجات، نجد أن طول الضلع ﺏﺟ يساوي ٢٨٫٦٩٧ مترًا مع توالي الأرقام.
أصبحنا نعرف الآن طول ﺏﺟ. وهو المسافة بين أسفل سارية العلم وأقرب نقطة. وعلينا الآن حساب طول ﺃﺟ، وهو المسافة بين أسفل سارية العلم وأبعد نقطة. لكي نفعل ذلك، ننظر إلى المثلث القائم الزاوية ﺃﺟﺩ.
بالنسبة إلى الزاوية المعلومة في هذا المثلث التي قياسها ٣٤٫٣ درجة، يكون الضلع ﺟﺩ هو الضلع المقابل، والضلع ﺃﺟ هو الضلع المجاور، والضلع ﺃﺩ هو الوتر. وكما فعلنا من قبل، الضلع الذي نعرف طوله هو الضلع المقابل، والضلع الذي نريد حساب طوله هو الضلع المجاور. إذن، نستخدم نسبة الظل. ظا ٣٤٫٣ درجة يساوي ٢٩ على ﺃﺟ. طريقة حساب طول ﺃﺟ هي نفسها الطريقة التي اتبعناها عند حساب طول ﺏﺟ. أولًا، نضرب في ﺃﺟ. بعد ذلك نقسم على ظا ٣٤٫٣ درجة لنحصل على ﺃﺟ يساوي ٢٩ على ظا ٣٤٫٣ درجة، وهو ما يساوي ٤٢٫٥١٢ مترًا مع توالي الأرقام.
نعرف الآن قيمتي المسافتين بين أسفل سارية العلم وكل نقطة. إذن لا يتبقى لنا سوى إيجاد المسافة بين النقطتين بطرح طول ﺏﺟ من طول ﺃﺟ. لدينا ٤٢٫٥١٢ وهكذا مع توالي الأرقام ناقص ٢٨٫٦٩٧ وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما يساوي ١٣٫٨١ وهكذا مع توالي الأرقام. يطلب منا السؤال تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية. إذن، نقرب إلى ١٣٫٨، وبذلك نكون قد أوجدنا أن المسافة بين النقطتين لأقرب منزلة عشرية هي ١٣٫٨ مترًا.
تجدر الإشارة إلى أن هناك طريقة أخرى كان بإمكاننا استخدامها لحل هذا السؤال. بالنظر إلى المثلث ﺏﺟﺩ أولًا، نجد أنه كان بإمكاننا استخدام نسبة الجيب لحساب طول الضلع ﺏﺩ، وهو الوتر. وبما أن هذا الضلع مشترك مع المثلث ﺃﺏﺩ، فإننا نعرف الآن طول أحد الأضلاع في هذا المثلث. يمكننا أيضًا حساب قياس الزاوية ﺃﺏﺩ بتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس هذه الزاوية هو ١٨٠ درجة ناقص ٤٥٫٣ درجة.
يمكننا بعد ذلك حساب قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث، أي الزاوية ﺏﺩﺃ، بتذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذن، يمكننا طرح قياسي الزاويتين الأخريين من ١٨٠ درجة. وبما أننا نعرف الآن قياسات الزوايا الثلاث في هذا المثلث وطول أحد الأضلاع، يمكننا تطبيق قانون الجيب لحساب طول ﺃﺏ. إذا استخدمنا هذه الطريقة، سنحصل بالطبع على النتيجة نفسها، وهي أن المسافة بين النقطتين لأقرب منزلة عشرية تساوي ١٣٫٨ مترًا.
