نسخة الفيديو النصية
أوجد ثلاثة أعداد متتالية في متتابعة هندسية، إذا كان مجموع هذه الأعداد سبعة، وحاصل ضرب مربعاتها ٦٤.
في البداية، علينا أن نعرف ما هي المتتابعة الهندسية. إنها متتابعة نوجد كل حد فيها، بعد الحد الأول، بضرب الحد السابق في أساس المتتابعة الهندسية (النسبة المشتركة). إذا افترضنا أن الحد الأول هو ﺃ وأساس المتتابعة هو ﺭ، يمكننا كتابة ثلاثة حدود متتالية فيها؛ حيث يكون الحد الأول ﺃ. والحد الثاني سيكون الحد الأول مضروبًا في أساس المتتابعة؛ أي ﺃ في ﺭ. والحد الثالث سيكون الحد الثاني مضروبًا في أساس المتتابعة. وهذا هو ﺃﺭ في ﺭ. ويمكن تبسيط ذلك ليصبح ﺃﺭ تربيع.
يمكننا استخدام هذه القيم الثلاثة في كتابة معادلتين للمجموع وحاصل الضرب المعطيين. بما أننا نعرف أن مجموع هذه القيم الثلاثة يساوي سبعة، يمكننا القول إن ﺃ زائد ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع يساوي سبعة. حسنًا، كل حد من هذه الحدود يتضمن العامل ﺃ. وبأخذ هذا العامل المشترك، يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير على الصورة ﺃ في واحد زائد ﺭ زائد ﺭ تربيع يساوي سبعة. وبما أن لدينا مقدارًا تربيعيًّا بين القوسين، قد يكون من المفيد إعادة ترتيب هذا المقدار بحيث يبدأ بالحد ﺭ تربيع وينتهي بالحد الثابت. لن يغير هذا من قيمة ما بين القوسين. لكن هذا يجعله على صورة أكثر شيوعًا فحسب. وهذا هو كل ما يمكننا فعله الآن في معادلة المجموع.
بالنسبة إلى حاصل الضرب، فهو ليس حاصل ضرب هذه القيم الثلاثة فقط. بل إنه حاصل ضرب مربعاتها، ويساوي ٦٤. هذا يعني أن ﺃ تربيع في ﺃﺭ تربيع في ﺃﺭ تربيع تربيع يساوي ٦٤. علينا توزيع التربيع هنا، وهذا يعطينا ﺃ تربيع في ﺃ تربيع ﺭ تربيع في ﺃ تربيع ﺭ أس أربعة، وكل ذلك يساوي ٦٤. حسنًا، نحن نعلم أنه عند ضرب القوى التي لها الأساس نفسه، فإننا نجمع قيم هذه الأسس. وهذا يعني أننا سنجمع اثنين زائد اثنين زائد اثنين. ونحصل من هذا على ﺃ أس ستة. ويمكننا ضرب ﺭ تربيع في ﺭ أس أربعة بجمع اثنين زائد أربعة. ونحصل من هذا على ﺭ أس ستة.
إذا كان ﺃ أس ستة في ﺭ أس ستة يساوي ٦٤، يمكننا القول إن ﺃﺭ أس ستة يساوي ٦٤. ومن ثم، يمكننا أخذ الجذر السادس لطرفي المعادلة. يمكننا أيضًا ملاحظة أن أخذ الجذر السادس يكافئ رفع ﺃﺭ أس ستة إلى الأس سدس. في بعض الآلات الحاسبة، يكون عليك كتابة ٦٤ ثم قيمة الأس سدس. الجذر السادس لـ ﺃﺭ أس ستة هو ﺃﺭ. والجذر السادس للعدد ٦٤ هو اثنان. إذا كان ﺃﺭ يساوي اثنين، فهذا يعني أننا أوجدنا الحد الثاني.
ما يمكننا فعله الآن هو حل المعادلة ﺃﺭ يساوي اثنين للحل لإيجاد قيمة المتغير ﺃ أو المتغير ﺭ. وبعد أن نفعل ذلك، سنعوض بالقيم لدينا في المعادلة الأولى. لكن كيف نحدد ما إذا كنا نريد إيجاد قيمة المتغير ﺃ أم المتغير ﺭ؟ حسنًا، إذا نظرنا إلى المعادلة الأولى، فسنجد أن المتغير ﺃ بمفرده. أما المتغير ﺭ، فهو مربع ومضاف أيضًا. إذن، لا بد أن العمليات الحسابية ستكون أبسط قليلًا إذا عوضنا بقيمة ﺃ بدلًا من التعويض بقيمة ﺭ. لكن هذا لا يعني أنه لا يمكننا الحل لإيجاد قيمة ﺭ والتعويض بها وإيجاد الناتج. بل يعني أن العمليات الجبرية التي سنجريها قد تكون أصعب قليلًا.
ولأننا نعلم أن ﺃ في ﺭ يساوي اثنين، علينا إيجاد معادلة على الصورة ﺃ يساوي قيمة ما. بقسمة طرفي هذه المعادلة على ﺭ، نجد أن ﺃ يساوي اثنين على ﺭ. سنعود الآن إلى المعادلة الأولى ﺃ في ﺭ تربيع زائد ﺭ زائد واحد يساوي سبعة. وسنعوض فيها عن ﺃ باثنين على ﺭ. ولأن لدينا ﺭ في المقام بالطرف الأيمن من المعادلة، يمكننا التخلص منه بضرب طرفي المعادلة في ﺭ على واحد. في الطرف الأيمن، يحذف ﺭ في البسط مع ﺭ في المقام. ويصبح لدينا اثنان في ﺭ تربيع زائد ﺭ زائد واحد. وفي الطرف الأيسر، لدينا سبعة في ﺭ على واحد، وهذا يساوي سبعة ﺭ.
سنوزع الضرب في اثنين على هذه الحدود الثلاثة. وبذلك يصبح لدينا اثنان ﺭ تربيع زائد اثنين ﺭ زائد اثنين يساوي سبعة ﺭ. لإيجاد قيمة ﺭ، علينا أن نجعل هذه المعادلة بأكملها تساوي صفرًا. ويمكننا فعل ذلك بطرح سبعة ﺭ من كلا الطرفين. وهو ما يعطينا اثنين ﺭ تربيع ناقص خمسة ﺭ زائد اثنين يساوي صفرًا. والآن، علينا التحليل لإيجاد قيمتي ﺭ. الاثنان عدد أولي. إذن، فإننا نعلم أن أحد القوسين سيحتوي على اثنين ﺭ، والآخر سيحتوي على ﺭ. قيمة الثابت لدينا هي اثنان أيضًا، وهو ما يعني أننا نتعامل مع اثنين في واحد أو سالب اثنين في سالب واحد.
وبما أن الحد الأوسط لدينا هو سالب خمسة، نستنتج أن القيمتين لدينا سالبتان. اثنان ﺭ في سالب اثنين يساوي سالب أربعة ﺭ، وسالب واحد في ﺭ يساوي سالب واحد ﺭ. وسالب واحد زائد سالب أربعة يساوي سالب خمسة. إذن، عاملا هذا المقدار التربيعي هما اثنان ﺭ ناقص واحد وﺭ ناقص اثنين. سنساوي كل منهما بالصفر. وللحل لإيجاد قيمة ﺭ، يمكننا إضافة اثنين إلى طرفي هذه المعادلة. وبهذا نجد أن ﺭ يساوي اثنين. حسنًا، لدينا حالة فيها ﺭ يساوي اثنين. بالنسبة إلى المعادلة الثانية، فإننا سنضيف واحدًا إلى كلا الطرفين فيصبح لدينا اثنان ﺭ يساوي واحدًا. بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على اثنين لنحصل على ﺭ يساوي نصفًا.
لدينا الآن حالتان. إحداهما فيها ﺭ يساوي اثنين، والأخرى فيها ﺭ يساوي نصفًا. لإيجاد القيمتين الأخريين، سنعود إلى المعادلة ﺃ في ﺭ يساوي اثنين. نحن نعرف أن ﺃ في ﺭ يساوي اثنين. علينا إذن التفكير في قيمة ﺃ إذا كان ﺭ يساوي اثنين، وإذا كان ﺭ يساوي نصفًا. إذا كان ﺭ يساوي اثنين، فإن ﺃ يساوي واحدًا. وإذا كان ﺭ يساوي نصفًا، فإن ﺃ يساوي أربعة. في الحالة الأولى، نعرف أن واحدًا في اثنين يساوي اثنين، وأن اثنين في اثنين يساوي أربعة. وفي الحالة الثانية، لدينا أربعة في نصف يساوي اثنين، واثنان في نصف يساوي واحدًا.
إذا أعدنا النظر إلى السؤال، فسنجد أنه يطلب منا إيجاد ثلاثة أعداد متتالية في متتابعة هندسية. وفي كلتا الحالتين، ستكون الأعداد الثلاثة المتتالية هي واحدًا واثنين وأربعة، أو أربعة واثنين وواحدًا. قبل أن ننهي حل السؤال، علينا التأكد من أن هذه القيم الثلاثة تحقق الشرطين المعطيين.
الشرط الأول هو أن مجموع هذه القيم الثلاثة يساوي سبعة. واحد زائد اثنين زائد أربعة يساوي سبعة، وكذلك أربعة زائد اثنين زائد واحد. والشرط الثاني هو أن حاصل ضرب مربعات هذه القيم يساوي ٦٤. هل واحد تربيع في اثنين تربيع في أربعة تربيع يساوي ٦٤ ؟ هذا يعطينا واحدًا في أربعة في ١٦، وهو ما يساوي ٦٤ بالفعل. ولأنه يمكننا إجراء الضرب بأي ترتيب، فإن حاصل ضرب أربعة تربيع في اثنين تربيع في واحد تربيع يساوي ٦٤ أيضًا. وهذا يعني أننا أوجدنا مجموعة الأعداد الثلاثة المتتالية التي تحقق هذين الشرطين.
