نسخة الفيديو النصية
أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة على ﺱ تكعيب زائد ثلاثة.
في هذا السؤال، علينا اشتقاق دالة كسرية؛ لذا يجب أن نستخدم قاعدة القسمة للاشتقاق، التي تتيح لنا كتابة مشتقة خارج قسمة الدالتين ﺩ ﺱ على ﺭ ﺱ بدلالة ﺩ ﺱ وﺭ ﺱ ومشتقتيهما.
هيا نساو بين ﺩ ﺱ على ﺭ ﺱ وبين التعبير الذي علينا اشتقاقه لإيجاد كل من ﺩ ﺱ وﺭ ﺱ. لدينا ﺩ ﺱ في البسط، وتساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة، ولدينا ﺭ ﺱ في المقام، وتساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة. لتطبيق قاعدة القسمة، علينا أيضًا إيجاد مشتقة ﺩ ﺱ ومشتقة ﺭ ﺱ. مشتقة ﺱ تربيع زائد ثلاثة تساوي اثنين ﺱ، ويمكننا الحصول عليها باستخدام حقيقة أن مشتقة قوة ﺱ؛ أي ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد، ومشتقة الدالة الثابتة ﺙ بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا.
بتطبيق هاتين القاعدتين مرة أخرى، نجد أن مشتقة ﺭ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي ثلاثة ﺱ تربيع. أصبح لدينا الآن جميع المعطيات اللازمة لتطبيق قاعدة القسمة. في الطرف الأيمن، نعوض بـ ﺱ تربيع زائد ثلاثة عن ﺩ ﺱ، ونعوض بـ ﺱ تكعيب زائد ثلاثة عن ﺭ ﺱ. بالاستمرار في التعويض، نجد أن الحد الأول في البسط يصبح ﺱ تكعيب زائد ثلاثة في اثنين ﺱ. ثم نطرح منه ﺱ تربيع زائد ثلاثة في ثلاثة ﺱ تربيع، ونقسم ذلك على ﺱ تكعيب زائد ثلاثة تربيع.
بعد ذلك، سنبدأ بفك الأقواس في البسط وتبسيطها. بفك الأقواس، نحصل على اثنين ﺱ أس أربعة زائد ستة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ أس أربعة ناقص تسعة ﺱ تربيع. ونلاحظ أن هناك حدين متشابهين يمكننا تجميعهما للحصول على الإجابة النهائية، وهي سالب ﺱ أس أربعة ناقص تسعة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ الكل على ﺱ تكعيب زائد ثلاثة تربيع.
