نسخة الفيديو النصية
ﻫ ناقص ﻡﻝ ثلاثة يساوي ٣٥٩٠٤، وﻫ زائد ﻡ يساوي ٦٠. أوجد قيمة كل من ﻡ وﻫ.
نحن نبحث عن المجهولين ﻡ وﻫ. لذا، سيكون علينا أن نستخدم معادلتين. لدينا معادلتان معطاتان في رأس السؤال. إحداهما، وهي ﻫ زائد ﻡ يساوي ٦٠، هي علاقة مباشرة بين ﻫ وﻡ. إذن، الخطوة الأولى ستكون إعادة صياغة ﻫ ناقص ﻡﻝ ثلاثة يساوي ٣٥٩٠٤ إلى صورة تكون أسهل في التعامل معها. إذا كان ﻥ ور عددين صحيحين غير سالبين حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن الرمز ﻥﻝر يعني عدد التباديل لـ ر من العناصر المختلفة المأخوذة من مجموعة العناصر المختلفة ﻥ، ويمكن حساب ذلك على صورة مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ر.
مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من واحد إلى ﻥ بما في ذلك هذان العددان. ومن ثم، فإن ذلك يحقق العلاقة التكرارية مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. بالإضافة إلى ذلك، فإننا نعرف مضروب صفر بأنه يساوي واحدًا. لاحظ أنه يمكننا استخدام التعبير الذي يدل على مضروب أي عدد لفك التعبير الدال على ﻥﻝر. وبالتحديد، يمكننا إعادة كتابة ﻥﻝر على صورة ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ر. لكن يمكننا فك هذا أكثر من ذلك لأننا، باستخدام هذا التعريف، نجد أن مضروب ﻥ ناقص واحد يساوي ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين.
وباستخدام التعريف مرة أخرى، يمكننا التعويض عن مضروب ﻥ ناقص اثنين بـ ﻥ ناقص اثنين في مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. إذا كررنا هذه العملية بإجمالي عدد من المرات ر، فسنجد أن البسط يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين في ﻥ ناقص ثلاثة، وهكذا وصولًا إلى ﻥ ناقص ر زائد واحد في مضروب ﻥ ناقص ر. لكن العامل مضروب ﻥ ناقص ر في البسط مقسومًا على العامل مضروب ﻥ ناقص ر في المقام يساوي واحدًا. ومن ثم، يختصر كل هذا إلى حاصل ضرب عدد ر من الأعداد الصحيحة المتتالية، أي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى ﻥ ناقص ر زائد واحد.
نستخدم عادة صيغة المضروب لأنها تكون مختصرة بدرجة أكبر كثيرًا. مع ذلك، عند محاولة حل المعادلات، علينا، كقاعدة عامة، فك هذه المضروبات. إذن نعلم أنه يمكننا فك ﻥﻝر مباشرة؛ لأن هذا العدد ر من الحدود مفيد جدًّا. وعلى وجه التحديد، ر في المعادلة المعطاة يساوي ثلاثة. لذا، نحتاج فقط إلى الحدود الثلاثة ﻫ ناقص ﻡ، وﻫ ناقص ﻡ ناقص واحد، وﻫ ناقص ﻡ ناقص اثنين. إذن، علينا الآن حل ﻫ ناقص ﻡ في ﻫ ناقص ﻡ ناقص واحد في ﻫ ناقص ﻡ ناقص اثنين يساوي ٣٥٩٠٤. جدير بالذكر أن الوصول إلى هذه المعادلة كان سيصبح أصعب بكثير لو كنا أجرينا عملية إيجاد قيمة المضروبات بأكملها.
لكي نستخدم هذه المعادلة لمساعدتنا في إيجاد ﻡ وﻫ، سنحاول الحل لإيجاد قيمة الحد ﻫ ناقص ﻡ باستخدام طريقة معدلة للتجربة والخطأ. وعلى وجه التحديد، نعرف أن الحدود الثلاثة في الطرف الأيسر هي أعداد صحيحة متتالية كلها أكبر من واحد. يمكننا الآن أن نختار ببساطة قيمًا عشوائية لـ ﻫ ناقص ﻡ ونكتب حاصل الضرب على الآلة الحاسبة حتى نتوصل إلى الإجابة الصحيحة. في الواقع، إذا تصرفنا بمهارة بشأن القيم التي نختارها، يمكننا أن نضمن أننا سنتوصل إلى الإجابة الصحيحة في فترة زمنية قصيرة إلى حد ما.
ومع ذلك، توجد طريقة أكثر مباشرة بكثير للاقتراب من الإجابة الصحيحة. نضرب الأعداد الصحيحة الثلاثة بعضها في بعض لنحصل على حاصل ضرب ما. لكن هذا يعني أنه إذا أخذنا الجذر التكعيبي لحاصل الضرب، فسيكون الناتج قريبًا جدًّا من القيمة المتوسطة للأعداد الصحيحة الثلاثة. في الواقع، هذا ينطبق بغض النظر عن عدد الأعداد الصحيحة التي نضربها. على سبيل المثال، الجذر العاشر لحاصل ضرب ١٠ أعداد صحيحة متتالية يكون قريبًا جدًّا من القيمة المتوسطة لتلك الأعداد الصحيحة التي عددها ١٠. إذا كتبنا الجذر التكعيبي لـ ٣٥٩٠٤ على الآلة الحاسبة، فسنجد أنه قريب جدًّا من ٣٢٫٩٩. العدد ٣٢٫٩٩ قريب جدًّا من العدد الصحيح ٣٣. لكن هذا يعني أن ٣٣ هو تخمين جيد جدًّا لـ ﻫ ناقص ﻡ ناقص واحد، أي القيمة المتوسطة للأعداد الصحيحة الثلاثة.
لاحظ أن ﻫ ناقص ﻡ ناقص واحد هو أيضًا العدد الأوسط في المتوالية لأنه لأي مجموعة من الأعداد الصحيحة المتتالية، الوسيط هو نفسه الوسط الحسابي. على أي حال، إذا كان ﻫ ناقص ﻡ ناقص واحد يساوي ٣٣، فإن ﻫ ناقص ﻡ ناقص اثنين يساوي ٣٢ وﻫ ناقص ﻡ يساوي ٣٤. وفي الحقيقة، إذا ضربنا ٣٤ في ٣٣ في ٣٢، نجد أن حاصل الضرب هذا يساوي ٣٥٩٠٤ بالضبط. إذن، ﻫ ناقص ﻡ يساوي ٣٤. توصلنا الآن إلى ما نريد إيجاده. ﻫ زائد ﻡ يساوي ٦٠ هي علاقة خطية بسيطة بين ﻫ وﻡ وكذلك ﻫ ناقص ﻡ يساوي ٣٤. ومن ثم، علينا الآن استخدام هاتين المعادلتين لإيجاد المجهولين.
إذا بدأنا بـ ﻫ زائد ﻡ يساوي ٦٠ وأضفنا ﻫ ناقص ﻡ يساوي ٣٤، فسنحصل على ﻫ زائد ﻫ يساوي اثنين ﻫ، وﻡ ناقص ﻡ يساوي صفرًا، و٦٠ زائد ٣٤ يساوي ٩٤. نقسم الآن كلا الطرفين على اثنين لنجد أن ﻫ يساوي ٤٧. لدينا الآن بالفعل ثلاث طرق لتحديد قيمة ﻡ. يمكننا التعويض بـ ٤٧ في ﻫ زائد ﻡ يساوي ٦٠، أو في ﻫ ناقص ﻡ يساوي ٣٤. أو يمكننا طرح هاتين المعادلتين للحصول على تعبير يدل على اثنين ﻡ كمتغير مستقل عن قيمة ﻫ. وللتوضيح فحسب، سنستخدم الطريقة الأخيرة ونطرح ﻫ ناقص ﻡ يساوي ٣٤ من ﻫ زائد ﻡ يساوي ٦٠.
ﻫ ناقص ﻫ يساوي صفرًا. ﻡ ناقص سالب ﻡ يساوي ﻡ زائد ﻡ، وهو ما يساوي اثنين ﻡ. و٦٠ ناقص ٣٤ يساوي ٢٦. إذن، بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن ﻡ يساوي ١٣. لاحظ أننا أوجدنا هذه القيمة لـ ﻡ دون الاستفادة من حقيقة أننا علمنا بالفعل أن ﻫ يساوي ٤٧، ما يعني أنه كان بإمكاننا استخدام هذه الطريقة الأولى لإيجاد أن ﻡ يساوي ١٣، ثم نوجد قيمة ﻫ بعد ذلك. بغض النظر عن الترتيب الذي نختاره عند إجراء العمليات الحسابية، سنجد أن ﻫ يساوي ٤٧ وﻡ يساوي ١٣.
