نسخة الفيديو النصية
جسم يزن ٦٠ نيوتن يرتكز على مستوى خشن مائل. أثرت قوة، ﻕ، على الجسم؛ حيث كان خط عملها لأعلى خط أكبر ميل للمستوى. عندما كانت القوة ﻕ تساوي ٦٧ نيوتن، كان الجسم على وشك التحرك لأعلى المستوى، وعندما كانت ﻕ تساوي ٣٦ نيوتن، كان الجسم على وشك التحرك لأسفل. أوجد قياس زاوية ميل المستوى على الأفقي وقرب إجابتك لأقرب دقيقة إذا لزم الأمر.
حسنًا، لدينا هنا الكثير من المعطيات، وسنبدأ برسم شكل توضيحي. لدينا جسم يرتكز على مستوى مائل. نحن لا نعرف قياس الزاوية التي يميل بها هذا المستوى على الأفقي. دعونا نطلق على هذه الزاوية 𝜃 أو 𝜃 درجة. لكننا علمنا من المعطيات أن وزن الجسم هو ٦٠ نيوتن. بعبارة أخرى، القوة التي يؤثر بها الجسم على المستوى في الاتجاه لأسفل تساوي ٦٠ نيوتن. ونحن نعلم بالطبع أن هذا يعني أن هناك قوة رد فعل للمستوى على الجسم، وأنها تؤثر عموديًّا على المستوى.
لدينا بعد ذلك هذه القوة ﻕ التي تؤثر على الجسم؛ حيث يكون خط عملها لأعلى خط أكبر ميل للمستوى. بعبارة أخرى، إنها تؤثر في اتجاه مواز للمستوى. حسنًا، لدينا هنا معطيان بشأن مقدار هذه القوة. عندما تكون ﻕ تساوي ٦٧ نيوتن، يكون الجسم على وشك التحرك لأعلى المستوى. وهذا يعني أمرين. يكون الجسم في حالة اتزان نهائي؛ أي أن المجموع الاتجاهي لهذه القوى يساوي صفرًا. لكن بما أن الجسم على وشك التحرك لأعلى المستوى، فهذا يعني أن الاحتكاك يؤثر في الاتجاه المعاكس؛ أي يؤثر لأسفل المستوى. لذا، دعونا نسم هذه الحالة (أ). سنبدأ بتحليل القوى الموازية للمستوى، ونحن نعلم بالطبع أن المجموع الاتجاهي لهذه القوى يساوي صفرًا.
هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن القوى التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى ولأعلى المستوى لا بد أن تساوي القوى التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى ولأسفل المستوى. لدينا القوة ﻕ، التي تساوي ٦٧ نيوتن، تؤثر لأعلى المستوى. وهذا يساوي قوة الاحتكاك، التي تؤثر في الاتجاه المعاكس، زائد مركبة الوزن التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى. إذا رسمنا مثلثًا صغيرًا قائم الزاوية كما هو موضح، فسنلاحظ أنه يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد قيمة ﺱ. ﺱ هو طول الضلع المقابل في هذا المثلث. وطول الوتر، يساوي ٦٠ نيوتن. يمكننا إذن استخدام نسبة الجيب؛ حيث يكون جا 𝜃 يساوي ﺱ على ٦٠، ثم نضرب الطرفين في ٦٠. إذن، نجد أن ﺱ يساوي ٦٠ جا 𝜃.
سنكرر هذه الخطوة مع القيمة الأخرى لـ ﻕ. هذه المرة، القوة تساوي ٣٦ نيوتن، والجسم عندئذ يكون على وشك التحرك لأسفل المستوى. هذا يعني أن الاحتكاك سيؤثر في الاتجاه المعاكس؛ أي سيؤثر في الاتجاه لأعلى المستوى. إذن، مرة أخرى، سنحلل القوى الموازية للمستوى. لدينا قوة مقدارها ٣٦ نيوتن تؤثر في الاتجاه لأعلى المستوى زائد قوة الاحتكاك. ومجموع ذلك يساوي مركبة الوزن الذي يؤثر في اتجاه مواز للمستوى؛ أي ٦٠ جا 𝜃 مرة أخرى.
ما يمكننا فعله هنا هو محاولة إيجاد قيمة الاحتكاك. للقيام بذلك، علينا تحليل القوى العمودية على المستوى، ثم استخدام حقيقة أن الاحتكاك يساوي ﺭﺱﻡ. هذا يعني معامل الاحتكاك مضروبًا في ﺭ؛ أي قوة رد الفعل. لكن في الواقع، إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن لدينا زوجًا من المعادلات الآنية في الاحتكاك و𝜃. إذا استطعنا حذف الاحتكاك من هاتين المعادلتين الآنيتين، فسنتمكن من إيجاد قيمة 𝜃.
دعونا نعد ترتيب المعادلة الأولى بطرح ٦٠ جا 𝜃 من الطرفين. بعد ذلك، نعوض بمقدار الاحتكاك في المعادلة الثانية. وبذلك، يصبح لدينا ٣٦ زائد ٦٧ ناقص ٦٠ جا 𝜃 يساوي ٦٠ جا 𝜃. يمكننا التبسيط بجمع ٣٦ و٦٧، ثم إضافة ٦٠ جا 𝜃 إلى طرفي المعادلة. وبذلك، يصبح لدينا ١٠٣ يساوي ١٢٠ جا 𝜃. ثم نقسم الطرفين على ١٢٠. ومن ثم، نجد أن جا 𝜃 يساوي ١٠٣ مقسومًا على ١٢٠. دعونا نوجد الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃. هذا يعطينا ٥٩٫١٢ مع توالي الأرقام.
حسنًا، مطلوب منا في السؤال إيجاد قياس زاوية ميل المستوى مع تقريب الإجابة لأقرب دقيقة، إذا لزم الأمر. والآن باستخدام دالة التحويل على الآلة الحاسبة، نحصل على ٥٩ درجة وسبع دقائق و ٤٧٫٨ ثانية مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب دقيقة، نجد أن قياسها يساوي ٥٧ درجة وثماني دقائق.
