فيديو السؤال: الدمج بين جمع المتجهات والضرب في عدد ثابت الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪𝐚‬‏ يساوي المتجه واحدًا، خمسة، و‪𝐛‬‏ يساوي المتجه سالب سبعة، ثلاثة، فما مركبات اثنين ‪𝐚‬‏ زائد اثنين ‪𝐛‬‏، واثنين مضروبًا في ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏؟

حسنًا، المتجهان المذكوران في السؤال هما ‪𝐚‬‏، ويساوي واحدًا، خمسة، و‪𝐛‬‏، ويساوي سالب سبعة، ثلاثة. لدينا هنا مطلوبان علينا إيجادهما؛ اثنان ‪𝐚‬‏ زائد اثنين ‪𝐛‬‏، واثنان مضروبًا في ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏. سنبدأ بإيجاد المطلوب الأول.

لإجراء عملية الجمع هذه، علينا إيجاد اثنين ‪𝐚‬‏ واثنين ‪𝐛‬‏. وسيتطلب ذلك ضرب المتجهات في عدد ثابت، لذلك دعونا نسترجع كيفية فعل ذلك. إذا ضربنا المتجه ‪𝑐‬‏، ‪𝑑‬‏ في الكمية القياسية ‪𝑘‬‏، فسنحصل على المتجه ‪𝑘𝑐‬‏، ‪𝑘𝑑‬‏. بعبارة أخرى، نضرب كل مركبة من مركبات المتجه في الكمية القياسية. لدينا هنا المتجه ‪𝐚‬‏ يساوي واحدًا، خمسة، ونريد إيجاد اثنين ‪𝐚‬‏. إذن، ليس علينا سوى أن نضرب كل مركبة في اثنين. وبذلك، نجد أن اثنين ‪𝐚‬‏ يساوي اثنين، 10. وبالمثل، بما أن ‪𝐛‬‏ يساوي سالب سبعة، ثلاثة، فإننا نجد أن اثنين ‪𝐛‬‏ يساوي سالب 14، ستة.

لقد أوجدنا اثنين ‪𝐚‬‏ واثنين ‪𝐛‬‏، وكل ما علينا فعله الآن هو جمعهما معًا. دعونا نذكر أنفسنا سريعًا بكيفية جمع متجهين معًا. إذا جمعنا المتجه ‪𝑐‬‏، ‪𝑑‬‏، والمتجه ‪𝑚‬‏، ‪𝑛‬‏، فسنحصل على المتجه ‪𝑐‬‏ زائد ‪𝑚‬‏، ‪𝑑‬‏ زائد ‪𝑛‬‏. إننا نجمع المركبات المتناظرة في المتجهين. يمكننا تطبيق ذلك على المتجهين اثنين ‪𝐚‬‏ واثنين ‪𝐛‬‏. إذن، نجد أن اثنين ‪𝐚‬‏ زائد اثنين ‪𝐛‬‏ يساوي اثنين، 10 زائد سالب 14، ستة. والآن، نجمع المركبات المتناظرة لهذين المتجهين. ويصبح لدينا بذلك اثنان زائد سالب 14، 10 زائد ستة. بتبسيط ذلك، نحصل على سالب 12، 16. إذن، حل الجزء الأول من هذا السؤال هو أن اثنين ‪𝐚‬‏ زائد اثنين ‪𝐛‬‏ يساوي المتجه سالب 12، 16.

يمكننا بعد ذلك إيجاد اثنين مضروبًا في ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏. حسنًا، توجد طريقتان يمكننا استخدامهما لإيجاد ذلك. في الطريقة الأولى، سنبدأ بإيجاد ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏ من خلال جمع المتجهات. لدينا ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏ يساوي واحدًا، خمسة زائد سالب سبعة، ثلاثة. نجمع المركبات المتناظرة للمتجهين، ثم نبسط الناتج. ومن ثم، يصبح لدينا ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏ يساوي سالب ستة، ثمانية. لإيجاد اثنين ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏، علينا ضرب هذا المتجه في الكمية القياسية اثنين. باستخدام عملية ضرب المتجهات في عدد ثابت، نضرب كل مركبة في الثابت. وبذلك، نصل إلى حل الجزء الثاني من السؤال؛ وهو أن اثنين مضروبًا في ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏ يساوي سالب 12، 16.

لكن هناك طريقة أخرى كان بإمكاننا استخدامها للتوصل إلى هذا الحل. تتضمن هذه الطريقة استخدام خاصية توزيع الضرب في عدد ثابت على جمع المتجهات. وتنص هذه الخاصية على أن حاصل ضرب عدد ثابت في مجموع متجهات يساوي مجموع حواصل ضرب هذا العدد الثابت في المتجهات. بعبارة أخرى، ‪𝑘‬‏ مضروبًا في ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏ يساوي ‪𝑘‬‏ في ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝑘‬‏ في ‪𝐛‬‏. يمكننا تطبيق ذلك على اثنين مضروبًا في ‪𝐚‬‏ زائد ‪𝐛‬‏. وهذا يعطينا اثنين ‪𝐚‬‏ زائد اثنين ‪𝐛‬‏، وهو ما أوجدناه في الجزء الأول من السؤال. إذن، لقد توصلنا إلى الحل نفسه بهذه الطريقة؛ وهو سالب 12، 16.