فيديو الدرس: الأحداث المكملة الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال الأحداث المكملة. سنبدأ باسترجاع بعض قواعد الاحتمالات التي يجب أن نكون على دراية سابقة بها، ثم سنعرف الحدث المكمل.

نحن نعلم أنه لأي حدث ﺃ، يجب أن يكون احتمال وقوعه، الذي يكتب على الصورة ﻝﺃ، أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي واحدًا. إذا كان الاحتمال يساوي صفرًا، فإن وقوع الحدث مستحيل، وإذا كان الاحتمال يساوي واحدًا، فإن وقوع الحدث مؤكد. يمكن كتابة الاحتمال في صورة كسر أو عدد عشري أو نسبة مئوية. إذا كان مكتوبًا في صورة نسبة مئوية، فإن احتمال ﺃ يكون أكبر من أو يساوي صفرًا بالمائة، وأقل من أو يساوي ١٠٠ بالمائة. كما نعلم أن مجموع احتمالات جميع النواتج الممكنة لحدث ما يساوي واحدًا.

على سبيل المثال، سنفترض أن لدينا أربع كرات حمراء وثلاث كرات زرقاء في حقيبة. احتمال اختيار كرة حمراء يساوي أربعة من سبعة، أو أربعة أسباع. البسط هو عدد النواتج الناجحة؛ وهو في هذه الحالة الكرات الحمراء الأربعة. والمقام هو عدد النواتج الممكنة؛ أي سبعة في هذه الحالة؛ حيث يوجد إجمالي سبع كرات في الحقيبة. أما احتمال اختيار كرة زرقاء فيساوي ثلاثة أسباع؛ حيث توجد ثلاث كرات زرقاء في الحقيبة. ولأن لدينا لونين فقط، فإن احتمال اختيار كرة حمراء زائد احتمال اختيار كرة زرقاء لا بد أن يساوي واحدًا. أربعة أسباع زائد ثلاثة أسباع يساوي سبعة أسباع؛ وهو ما يساوي واحدًا.

الحدث المكمل لحدث ما هو جميع النواتج الممكنة لعدم وقوع هذا الحدث. وهذا يقودنا إلى قاعدة ثالثة. احتمال الحدث المكمل للحدث ﺃ — أي عدم وقوع ﺃ، ويكتب: ﺃ شرطة — يعطى بهذه الصيغة؛ احتمال عدم وقوع ﺃ يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. ويكتب الحدث المكمل أحيانًا على الصورة: ﺃ بار. باستخدام المثال السابق، يمكننا الآن حساب احتمال عدم اختيار كرة حمراء؛ أي الحدث المكمل لاختيار كرة حمراء. هذا يساوي واحدًا ناقص أربعة أسباع؛ لأن أربعة أسباع هو احتمال اختيار كرة حمراء. واحد ناقص أربعة أسباع يساوي ثلاثة أسباع. إذن احتمال عدم اختيار كرة حمراء يساوي ثلاثة أسباع.

ونلاحظ أن هذا يساوي احتمال اختيار كرة زرقاء. وذلك لأنه لا يوجد إلا خياران ممكنان عند اختيار كرة من الحقيبة؛ إما أن تكون الكرة حمراء أو زرقاء. احتمال عدم اختيار كرة حمراء يساوي احتمال اختيار كرة زرقاء، والعكس صحيح. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي علينا فيها حساب احتمال وقوع حدث مكمل.

إذا كان احتمال وقوع حدث هو ١١ من ٣٠، أو ١١ على ٣٠، فما احتمال عدم وقوعه؟

نحن نعلم أن احتمال عدم وقوع حدث يعرف بأنه الحدث المكمل. ويشار إلى ذلك بـ ﺃ بار أو ﺃ شرطة؛ حيث احتمال ﺃ شرطة يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. في هذا السؤال، علمنا أن احتمال وقوع الحدث هو ١١ من ٣٠. إذا افترضنا أن هذا الحدث هو ﺃ، فإن احتمال ﺃ يساوي ١١ على ٣٠، أو ١١ من ٣٠. إذن، يمكننا حساب احتمال عدم وقوع الحدث بطرح هذا من واحد. الواحد الصحيح يعني ٣٠ من ٣٠، أو ٣٠ على ٣٠. وبما أن المقامين متساويان، فسنطرح البسطين بسهولة، وهو ما يعطينا ١٩ من ٣٠، أو ١٩ على ٣٠. وعليه، فإن احتمال عدم وقوع الحدث يساوي ١٩ من ٣٠.

يتضمن السؤال الآتي حساب الاحتمال باستخدام الأعداد العشرية والنسب المئوية.

إذا كان احتمال نجاح طالب في امتحان ٣٩ بالمائة، فما احتمال رسوبه؟

حسنًا، نظرًا لوجود احتمالين فقط في هذه الحالة؛ وهما نجاح الطالب أو رسوبه، فهذا يعني أنهما مكملان كل منهما للآخر. نحن نعلم أن احتمال أي حدث مكمل؛ أي ﺃ شرطة، يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. عند التعامل مع النسب المئوية، فإن العدد واحدًا هنا يساوي ١٠٠ بالمائة. وبما أن احتمال نجاح الطالب هو ٣٩ بالمائة، فإن احتمال رسوبه يساوي ١٠٠ بالمائة ناقص ٣٩ بالمائة. ويماثل هذا عدم اجتياز الطالب للاختبار، واحتمال ذلك هو ٦١ بالمائة.

يمكننا أيضًا كتابة هذه الإجابة في صورة كسر أو عدد عشري. بما أن النسب المئوية هي أجزاء من ١٠٠، يمكن كتابة هذا في صورة الكسر ٦١ من ١٠٠، أو ٦١ على ١٠٠. وفي صورة عدد عشري، هذا يساوي ٠٫٦١؛ وذلك لأن الخط الموجود في الكسر يعني القسمة، و٦١ مقسومًا على ١٠٠ يساوي ٠٫٦١. إذن احتمال رسوب الطالب في الامتحان هو٦١ بالمائة، أو ٦١ من ١٠٠، أو ٠٫٦١.

ثمة طريقة بديلة هنا؛ وهي تحويل ٣٩ بالمائة إلى الكسر ٣٩ على ١٠٠، أو إلى العدد العشري ٠٫٣٩ أولًا. وبعد ذلك، يمكننا طرح أي منهما من واحد لحساب الحدث المكمل، والذي يساوي ٦١ على ١٠٠، أو ٠٫٦١.

السؤالان الآتيان عبارة عن مسألتين في سياقات أكثر تعقيدًا.

صندوق به ٥٦ كرة. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا خمسة أسباع. كم كرة غير حمراء في الصندوق؟

حدث اختيار كرة حمراء وحدث اختيار كرة غير حمراء حدثان مكملان. احتمال وقوع الحدث المكمل ﺃ؛ أي ﺃ شرطة، يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. وعلمنا من المعطيات أن احتمال اختيار كرة حمراء؛ أي ﻝﺡ، يساوي خمسة أسباع. وهذا يعني أن احتمال اختيار كرة غير حمراء يساوي واحدًا ناقص خمسة أسباع. هذا يساوي سبعين. ذلك لأن مجموع احتمالي وقوع حدث والحدث المكمل له يجب أن يساوي واحدًا دائمًا.

يخبرنا السؤال أيضًا أن لدينا ٥٦ كرة في الصندوق. وسبعان من هذه الكرات، التي عددها ٥٦، ليست حمراء؛ لذا علينا أن نحسب سبعي العدد ٥٦. بما أن كلمة «في» في الرياضيات تعني الضرب، إذن علينا ضرب سبعين في ٥٦. ‏٥٦ هو نفسه ٥٦ على واحد. يمكننا بعد ذلك إجراء الحذف أو التبسيط التبادلي بقسمة ٥٦ وسبعة على سبعة. هذا سيعطينا اثنين على واحد مضروبًا في ثمانية على واحد؛ وهو ما يساوي ١٦ على واحد. لقد ضربنا البسطين معًا والمقامين معًا. وبما أن هذا يساوي ١٦، نستنتج أن هناك ١٦ كرة من ٥٦ كرة في الصندوق ليست كرات حمراء.

ثمة طريقة بديلة يمكن استخدامها؛ وهي حساب عدد الكرات الحمراء أولًا. يمكننا فعل ذلك بإيجاد خمسة أسباع العدد ٥٦. هذا يساوي ٤٠، إذن لدينا ٤٠ كرة حمراء في الصندوق. هذا يعني أن بقية الكرات ليست حمراء بالتأكيد. ‏٥٦ ناقص ٤٠ يساوي ١٦. وهذا يثبت مرة أخرى أن لدينا ١٦ كرة غير حمراء في الصندوق.

فصل فيه ٤٥ طالبًا. احتمال الاختيار العشوائي لطالب عمره أقل من أو يساوي ١٠ سنوات هو ثلثان. كم طالبًا في الفصل عمره ١١ سنة أو أكبر؟

في هذا السؤال، هناك احتمالان عند اختيار طالب. قد يكون عمر الطالب ١٠ سنوات أو أقل، وقد يكون عمره ١١ سنة أو أكبر. ويعرف الاحتمالان بالحدثين المكملين. نحن نعلم أن احتمال وقوع أي حدث مكمل؛ ﺃ شرطة، يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ؛ أي وقوع الحدث نفسه. يخبرنا السؤال أن احتمال اختيار طالب عمره ١٠ سنوات أو أقل يساوي ثلثين. وهذا يعني أن احتمال اختيار طالب عمره ليس ١٠ سنوات أو أقل هو ثلث؛ لأن واحدًا ناقص ثلثين يساوي ثلثًا. وهذا يماثل قول إن احتمال اختيار طالب عمره ١١ سنة أو أكبر يساوي ثلثًا. إذن ثلث عدد الطلاب، وهو٤٥ طالبًا، أعمارهم ١١ سنة أو أكبر.

يمكننا حساب ذلك بضرب ثلث في ٤٥. وضرب أي عدد في ثلث يماثل قسمة هذا العدد على ثلاثة. نحن نعلم أن أربعة مقسومًا على ثلاثة يساوي واحدًا ويتبقى واحد. ‏١٥ مقسومًا على ثلاثة يساوي خمسة. بما أن ٤٥ مقسومًا على ثلاثة يساوي ١٥، فإن ثلثًا مضروبًا في ٤٥ يساوي ١٥ أيضًا. إذن هناك ١٥ طالبًا في الفصل أعمارهم ١١ سنة أو أكبر. توجد طريقة بديلة للحل؛ وهي حساب ثلثي العدد ٤٥ أولًا. هذا هو عدد الطلاب الذين تبلغ أعمارهم ١٠ سنوات أو أقل. وبما أن ثلثًا مضروبًا في ٤٥ يساوي ١٥، فإن ثلثين مضروبًا في ٤٥ يساوي ٣٠. إذن يوجد في الفصل ٣٠ طالبًا أعمارهم ١٠ سنوات أو أقل.

بما أن هناك ٣٠ طالبًا تبلغ أعمارهم ١٠ سنوات أو أقل، يمكننا طرح ذلك من ٤٥ لحساب عدد الطلاب الذين تبلغ أعمارهم ١١ سنة أو أكبر. مرة أخرى، هذا يعطينا ١٥ طالبًا.

يتضمن السؤال الأخير في هذا الفيديو استخدام جدول تكراري مزدوج.

يمثل الجدول الآتي البيانات المجمعة عن ٢٠٠ شخص من المشاركين في مؤتمر من جنسيات مختلفة. أوجد احتمال أن يكون المشارك الذي اختير عشوائيًّا لا يتحدث الإنجليزية.

توضح صفوف الجدول إذا ما كان المشارك رجلًا أو امرأة. بينما توضح الأعمدة اللغة التي يتحدثونها؛ سواء أكانت العربية أم الإنجليزية أم الفرنسية. وعلمنا من السؤال أن إجمالي عدد الحاضرين ٢٠٠ شخص. إذا افترضنا أن ﻥ حدث؛ حيث يكون المشارك في المؤتمر متحدثًا بالإنجليزية، فيمكننا حساب احتمال وقوع الحدث ﻥ. وهو عدد الحاضرين الذين يتحدثون الإنجليزية من إجمالي عدد الحاضرين.

يوجد ٣٥ رجلًا و٣٠ امرأة يتحدثون الإنجليزية؛ أي إجمالي ٦٥ شخصًا. إذن احتمال أن يكون المشارك المختار عشوائيًّا متحدثًا بالإنجليزية هو٦٥ من ٢٠٠، أو ٦٥ على ٢٠٠. لكن ما يهمنا هو احتمال ألا يكون المشارك متحدثًا بالإنجليزية. وهذا يعرف بالحدث المكمل. نحن نعلم أن احتمال وقوع أي حدث مكمل؛ أي ﺃ شرطة، يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. في هذا السؤال، احتمال ﻥ شرطة؛ أي ألا يكون المشارك متحدثًا بالإنجليزية، يساوي واحدًا ناقص ٦٥ من ٢٠٠. وهذا يساوي ١٣٥ من ٢٠٠.

يمكننا تبسيط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على خمسة. ‏١٣٥ على خمسة يساوي ٢٧، و٢٠٠ على خمسة يساوي ٤٠. إذن احتمال أن يكون المشارك الذي اختير عشوائيًّا لا يتحدث الإنجليزية يساوي ٢٧ من ٤٠ أو ٢٧ على ٤٠. يمكننا أيضًا كتابة هذه الإجابة في صورة عدد عشري بالتفكير أولًا في الكسر ١٣٥ من ٢٠٠. بقسمة المقام على اثنين، نحصل على ١٠٠. وبقسمة البسط على اثنين، نحصل على ٦٧٫٥؛ حيث إن نصف العدد ١٠٠ يساوي ٥٠، ونصف العدد ٣٥ يساوي ١٧٫٥. وبقسمة ٦٧٫٥ على ١٠٠، نحصل على ٠٫٦٧٥. إذن احتمال أن يكون المشارك الذي اختير عشوائيًّا لا يتحدث الإنجليزية، في صورة عدد عشري، هو٠٫٦٧٥. يمكننا أيضًا كتابة ذلك في صورة نسبة مئوية بالضرب في ١٠٠، وهذا يعطينا ٦٧٫٥ بالمائة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لأي حدث ﺃ، إذا كان ﻝﺃ هو احتمال وقوع الحدث ﺃ، فستطبق القواعد الآتية. عند كتابة الاحتمال في صورة كسر أو عدد عشري، يجب أن يكون ﻝﺃ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي واحدًا. وفي صورة نسبة مئوية، لا بد أن يقع بين صفر و١٠٠ بالمائة. مجموع احتمالات جميع النتائج يجب أن يساوي واحدًا. احتمال الحدث المكمل ﺃ، ويسمى ﺃ شرطة، يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. والحدث المكمل يعني احتمال عدم وقوع الحدث. من المهم أيضًا ملاحظة أن الحدث المكمل لحدث ما يكتب أحيانًا على الصورة ﺃ شرطة.