فيديو السؤال: إيجاد حجم المخروط بمعلومية ارتفاعه والارتفاع الجانبي الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد حجم المخروط الدائري القائم بدلالة 𝜋.

لإيجاد حجم مخروط، نستخدم صيغة حجم الهرم لأن المخروط هو في الواقع هرم قاعدته دائرية. وتنص هذه الصيغة على أن الحجم يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع. وبما أن القاعدة هنا دائرة، يمكن أن نستخدم ‏𝜋‏نق تربيع بدلًا من ﻡ. إذن حجم المخروط يساوي ثلثًا في 𝜋 في نق تربيع، حيث نق هو نصف قطر الدائرة، في ارتفاع المخروط.

وبالنظر إلى الشكل، نرى أن الارتفاع يساوي ٤٨ سنتيمترًا، لكننا لا نعلم نصف القطر. إلا أنه بإمكاننا إيجاد نصف القطر من خلال هذا المثلث القائم. وذلك باستخدام نظرية فيثاغورس.

قبل أن نستخدم النظرية، لنر ما نعرفه عن هذا المثلث القائم. ارتفاع هذا المثلث هو نفس ارتفاع الهرم. بالتالي، فهو يساوي ٤٨ سنتيمترًا. وطول أطول ضلع في هذا المثلث القائم يساوي ٦٠ سنتيمترًا، وذلك يرجع إلى خاصية من خصائص المخروط. وهي أنه إذا كان الارتفاع الجانبي لأحد الجانبين يساوي ٦٠ سنتيمترًا، فإنه سيساوي ٦٠ أيضًا في الجانب الآخر.

والآن يمكننا أن نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف قطر الدائرة. تنص نظرية فيثاغورس على أن: مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر يساوي مربع طول الضلع الأطول. فلنعوض بهذه القيم. ونستخدم ﺱ لنشير إلى نصف القطر بدلًا من استخدام علامة الاستفهام.

‏‏ﺱ تربيع زائد ٤٨ تربيع يساوي ٦٠ تربيع. نكتب بعد ذلك ﺱ تربيع كما هي. و٤٨ تربيع يساوي ٢٣٠٤. و٦٠ تربيع يساوي ٣٦٠٠. والآن لنطرح ٢٣٠٤ من طرفي المعادلة. نصل بذلك إلى أن ﺱ تربيع يساوي ١٢٩٦. والخطوة الأخيرة هي إيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. نصل بذلك إلى أن ﺱ يساوي ٣٦، وهو نصف قطر الدائرة.

وبعد أن عرفنا أن نصف قطر الدائرة يساوي ٣٦ سنتيمترًا، والارتفاع يساوي ٤٨ سنتيمترًا، يمكننا أن نعوض بهاتين القيمتين في صيغة حجم المخروط. بذلك يكون الحجم يساوي ثلثًا في 𝜋 في ٣٦ سنتيمترًا، والذي يجب أن نحسب مربعه، في ٤٨ سنتيمترًا. فلنتابع الحل ونحسب مربع ٣٦ سنتيمترًا. ‏‏٣٦ سنتيمترًا تربيع يساوي ١٢٩٦ سنتيمترًا مربعًا.

لاحظ أنه كان من الممكن أن نجعل الحل أقصر؛ لأنه عندما كنا نحسب نصف قطر الدائرة، كان من الممكن أن نوجد مربع نصف القطر، وهو ١٢٩٦، ونعوض به في هذه الصيغة. لكن لنستمر في الحل الذي بدأنا به ونضرب كل هذه الأعداد معًا. لاحظ أنه مطلوب في السؤال أن نوجد الحل بدلالة 𝜋. معنى ذلك أننا لن نضرب في 𝜋. بل سنحتفظ به كما هو في الإجابة في صورة 𝜋.

فلنتابع الحل ونضرب العددين الكبيرين معًا، ثم نضرب حاصل ضربهما في ثلث. وبذلك نحصل على ٦٢٢٠٨ سنتيمترات مكعبة. هذا لأننا ضربنا وحدة السنتيمتر المربع في السنتيمتر. ففي حالة الضرب، نجمع الأسس، كما يجب أن يكون الحجم بوحدة السنتيمتر المكعب. وبالتالي، ما توصلنا إليه جيد جدًا. والآن سنضرب ٦٢٢٠٨ في ثلث.

وبترك الحل بدلالة 𝜋، نحصل على ٢٠٧٣٦‏𝜋‏ سنتيمترًا مكعبًا.