فيديو السؤال: تقدير احتمالات التوزيع الطبيعي الواردة في سياق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

متوسط وزن محصول التفاح يساوي 105 جرامات والانحراف المعياري يساوي ثلاثة جرامات. من المفترض أن التوزيع الطبيعي هو نموذج ملائم لهذه البيانات. ما الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة تم اختيارها عشوائيًّا من المحصول أقل من 105 جرامات؟

في التوزيع الطبيعي لدينا هذا المنحنى الذي يتخذ شكل جرس، والمتوسط هو 105، والانحراف المعياري هو ثلاثة. الانحراف يعني أن القيم تنحرف عن المتوسط 105 بمقدار ثلاثة جرامات، أي إنه انحراف بمقدار ثلاثة جرامات إما أعلى 105 عند 108، أو أسفل 105 عند 102.

يمكننا أن ننحرف بمقدار ثلاثة جرامات أخرى إلى اليمين عند 111 — أي أن نبتعد بمقدار انحرافين معياريين عن المتوسط — وننحرف بنفس المقدار إلى اليسار. وهذا يعني أن نبتعد بمقدار انحرافين معياريين عن المتوسط عند 99. كما يمكننا أيضًا أن نبتعد عن المتوسط بمقدار ثلاثة انحرافات معيارية إلى اليمين عند 114، أو إلى اليسار عند 94.

تكمن أهمية ذلك في أن نعرف النسب المئوية التي تقع ضمن هذه الانحرافات، أي الانحرافات المعيارية. تقع 68 بالمائة تقريبًا من البيانات ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط. وبتقسيم هذه النسبة إلى نصفين، نجد أن 34 بالمائة تمثل انحرافًا معياريًّا لأعلى، و34 بالمائة تمثل انحرافًا معياريًّا لأسفل، بينما تقع 95 بالمائة تقريبًا من جميع البيانات ضمن انحرافين معياريين عن المتوسط.

إذن، إذا طرحنا 68 من 95، فهذا يعني أنه يمكننا تقسيم 27 بالمائة بالتساوي بين هذين العمودين؛ وعندما نفعل ذلك، نجد أن كل عمود منهما سيحصل على 13.5 بالمائة.

تقع 99.7 بالمائة من جميع البيانات ضمن ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط. إذا طرحنا 95 من 99.7، نحصل على 4.7. وإذا قسمنا هذه النسبة إلى نصفين، نجد أن كل عمود من هذين العمودين سيحصل على 2.35 بالمائة من جميع البيانات.

بتضمين الانحراف المعياري الرابع والأخير، نحصل على 100 بالمائة من البيانات. إذا طرحنا 99.7 من 100، نحصل على 0.3. وإذا قسمنا هذه النسبة إلى نصفين، نجد أن كل عمود من هذين العمودين الأخيرين سيحصل على 0.15 بالمائة من جميع البيانات.

يطلب منا السؤال إيجاد الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة تم اختيارها عشوائيًّا من المحصول أقل من 105 جرامات، وهذا يعني جميع النسب التي تقع جهة اليسار. ولحساب احتمال أن يكون الوزن أقل من 105 جرامات، نجمع 0.15 بالمائة و2.35 بالمائة و13.5 بالمائة و34 بالمائة، وهو ما يساوي 50 بالمائة.

حسنًا، هل كان علينا اتباع كل هذه الخطوات لمعرفة أن أوزان نصف التفاحات ستكون أقل من المتوسط؟ ربما لا، وذلك لأننا نعلم أن هذا هو التوزيع الطبيعي، لكن من الجيد دائمًا أن نتحقق من ذلك باتباع خطوات الحل خطوة بخطوة.

إذن، مرة أخرى، الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة تم اختيارها عشوائيًّا من المحصول أقل من 105 جرامات هو 50 بالمائة.