نسخة الفيديو النصية
يوضح التمثيل البياني الآتي للسرعة المتجهة مقابل الزمن التغير في السرعة المتجهة لشخص يمشي خلال الفترة الزمنية من 𝑡 يساوي صفر ثانية إلى 𝑡 يساوي ست ثوان. نقطة بداية حركة الشخص هي موضعه عند 𝑡 يساوي صفر ثانية. ما إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور ثانيتين؟
بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن السرعة المتجهة ممثلة على المحور الرأسي والزمن ممثل على المحور الأفقي. في البداية، يبدأ الشخص المشي بسرعة متجهة ثابتة، ثم يتباطأ حتى تصل سرعته المتجهة إلى الصفر، ثم تزداد سرعته المتجهة، وتصبح سالبة؛ أي إنه بدأ يمشي في الاتجاه المعاكس، ثم يواصل الحركة بسرعة متجهة ثابتة. إذا عرفنا السرعة المتجهة الموجبة بأنها تكون في اتجاه يمين الشاشة، فسيمكننا أن نتخيل شخصًا يمشي في اتجاه اليمين ثم يتباطأ حتى يتوقف، ثم يزيد من سرعته المتجهة مرة أخرى ثم يواصل حركته بسرعة متجهة ثابتة في الاتجاه المعاكس. وإذا رسمنا ذلك على تمثيل بياني للإزاحة مقابل الزمن، فسيكون لدينا إزاحة تزداد في البداية بمعدل ثابت، ثم ينعكس اتجاهها، وتتناقص في النهاية بمعدل ثابت. إذن، كيف يمكننا إيجاد الإزاحة من التمثيل البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن؟
تذكر أن الإزاحة تساوي المساحة تحت منحنى السرعة المتجهة مقابل الزمن. ونعني بقولنا «المساحة تحت»؛ أي المساحة المحصورة بين المنحنى والمحور الأفقي. والآن، تذكر أن الإزاحة كمية متجهة؛ ما يعني أن لها مقدارًا واتجاهًا. ولذا، فإن هذه المساحة المظللة أعلى المحور تشير إلى إزاحة موجبة، في حين تشير هذه المساحة أسفل المحور إلى إزاحة سالبة.
لنتناول الآن إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور ثانيتين. لإيجاد تلك الإزاحة، علينا حساب مساحة هذه المنطقة المظللة. إن مساحة المستطيل تساوي ببساطة القيمة الأفقية؛ أي اثنين، مضروبة في القيمة الرأسية؛ أي ثلاثة. وهذا يعطينا ستة. وبالنسبة للوحدات، نأخذ وحدة المحور الرأسي، وهي المتر لكل ثانية، ونضربها في وحدة المحور الأفقي؛ أي الثانية. تحذف وحدة الثانية، وتتبقى لدينا إزاحة تساوي ستة أمتار بعد مرور ثانيتين.
والآن، علينا تفريغ بعض المساحة على الشاشة، لكننا سنستخدم هذه القيمة مرة أخرى. ولذا، لنرسم جدولًا صغيرًا يوضح الزمن بالثانية والإزاحة المقطوعة بالأمتار بعد مرور هذا الزمن. ويمكننا كتابة أنه بعد مرور ثانيتين، لدينا إزاحة تساوي ستة أمتار.
يسأل الجزء التالي من السؤال، ما إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور ثلاث ثوان؟ لقد حسبنا المساحة تحت المنحنى بعد مرور ثانيتين بالفعل. إذن، علينا فقط جمع هذه المساحة الإضافية بين ثانيتين وثلاث ثوان. والآن، بالنسبة للمثلث الذي طول قاعدته 𝑏 وارتفاعه ℎ، فإن مساحته تساوي نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. إذن، الإزاحة من ثانيتين إلى ثلاث ثوان تساوي نصفًا مضروبًا في طول قاعدة المثلث، الذي يساوي واحدًا، مضروبًا في ارتفاع المثلث، الذي يساوي ثلاثة. ونصف مضروبًا في واحد مضروبًا في ثلاثة يساوي 1.5.
علينا الآن جمع هذا الناتج مع الإزاحة بعد مرور ثانيتين، التي أوجدناها سابقًا. وهي تساوي ستة. وهذا يعطينا إزاحة كلية بعد مرور ثلاث ثوان تساوي 7.5. ومرة أخرى، بوحدة المتر. إذن، إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور ثلاث ثوان تساوي 7.5 أمتار. والآن، لنضف ذلك إلى الجدول. عند ثلاث ثوان، تكون الإزاحة 7.5 أمتار.
بعد ذلك، مطلوب منا إيجاد إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور أربع ثوان. ومرة أخرى، لقد حسبنا المساحة حتى ثلاث ثوان بالفعل. لذا، كل ما علينا فعله هو جمع هذه المساحة الإضافية بين ثلاث وأربع ثوان. لدينا هنا مثلث يساوي مساحة المثلث السابق. لكنه يقع هذه المرة أسفل المحور الأفقي. ومن ثم فعلينا وضع إشارة سالبة في هذه الحالة. لدينا سالب نصف مضروبًا في طول قاعدة المثلث، الذي يساوي واحدًا، مضروبًا في الارتفاع، الذي يساوي ثلاثة. وهذا يعطينا سالب 1.5.
والآن، علينا جمع هذه القيمة مع القيمة التي أوجدناها سابقًا للإزاحة حتى زمن مقداره ثلاث ثوان، أي 7.5. لدينا سالب 1.5 زائد 7.5، وهو ما يساوي ستة. ومرة أخرى، بوحدة المتر. إذن، إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور أربع ثوان تساوي ستة أمتار.
في الجزء الأخير من السؤال، علينا إيجاد إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور خمس ثوان. وكل ما علينا فعله هنا هو جمع هذه المساحة الإضافية للمستطيل المظلل بين أربع وخمس ثوان. إنه يقع أيضًا أسفل المحور الأفقي. لذا علينا وضع إشارة سالبة. لدينا سالب عرض المستطيل، الذي يساوي واحدًا، مضروبًا في الارتفاع؛ أي ثلاثة، وهو ما يعطينا إزاحة تساوي سالب ثلاثة. وسنجمعها مع قيمة الإزاحة التي أوجدناها سابقًا بعد مرور أربع ثوان، والتي تساوي ستة أمتار.
وعليه، فإن الإزاحة الكلية بعد مرور خمس ثوان هي سالب ثلاثة زائد ستة، وهو ما يساوي ثلاثة أمتار. إذن، إزاحة الشخص من نقطة البداية بعد مرور خمس ثوان تساوي ثلاثة أمتار.
