فيديو: تحويلات التمثيل البياني للدوال الأسية

رسم ويليام ثلاث دوال أسية بالصيغة ‪𝑦 = 𝑎𝑒^𝑏𝑥‬‏ أو ‪𝑦 = 𝑎𝑒^((1/𝑏)𝑥)‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏ يعبران عن عددين صحيحين موجبين. معادلة المنحنى الأحمر ‪𝑦 = 𝑒^𝑥‬‏. باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية، حدد معادلة المنحنى الأزرق. باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية، حدد معادلة المنحنى الأخضر.

٠٤:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

رسم ويليام ثلاث دوال أسية بالصيغة 𝑦 يساوي 𝑎 في 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑏𝑥 أو 𝑦 يساوي 𝑎 في 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية واحد على 𝑏𝑥، حيث 𝑎 و𝑏 يعبران عن عددين صحيحين موجبين. معادلة المنحنى الأحمر 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥. باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية، حدد معادلة المنحنى الأزرق.

لنسم المنحنى الأحمر 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥. مهمتنا هي تحديد معادلة المنحنى الأزرق. ومطلوب منا فعل ذلك باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية. السؤال الأول الذي نسأله لأنفسنا لإيجاد معادلة المنحنى الأزرق هو ما التحويل الذي ينقل المنحنى الأحمر إلى المنحنى الأزرق.

ربما تكون فكرة جيدة أن توقف الفيديو مؤقتًا وتفكر في الأنواع المختلفة التي تعرفها من تحويلات التمثيلات البيانية. قد نستغرق بعض الوقت لإقناع أنفسنا أن التحويل الذي نبحث عنه ليس انتقالًا ولا دورانًا ولا انعكاسًا، بل تمدد أو تمديد. وتحديدًا، هو تمدد من المحور 𝑦.

تتحول نقطة على المنحنى الأحمر الأصلي باتجاه المحور 𝑦 فتقل المسافة من المحور 𝑦 إلى النصف. ومن ثم، يصبح لهذه النقطة الجديدة الإحداثيات 𝑥 على اثنين، 𝑦. لنسم الدالة الممثلة بالمنحنى الأزرق، الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. قيمة 𝑓 للمتغير 𝑥 على اثنين هي الإحداثي 𝑦 للنقطة باللون البنفسجي الوردي التي رسمناها.

إذن هذا هو الإحداثي 𝑦. والإحداثي 𝑦 هذا هو نفسه الإحداثي 𝑦 للنقطة الأخرى، النقطة البرتقالية، على المنحنى الأحمر، وهي 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥. وبهذا تكون الدالة 𝑓 لـ 𝑥 على اثنين تساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥. تعريف هذه الدالة غريب إلى حد ما؛ لأن لدينا المدخل 𝑥 على اثنين بدلًا من 𝑥. لكن ما زال ذلك يعطينا قاعدة الدالة.

نأخذ المدخل 𝑥 على اثنين ونضاعفه لنحصل على 𝑥. ثم نرفع 𝑒 للقوة الأسية لهذا بعد مضاعفة المدخل. يمكننا إعادة صياغة ذلك بطريقة مألوفة أكثر بحيث يكون المدخل هو 𝑥. نضاعفه لنحصل على اثنين 𝑥 ثم نرفع 𝑒 لتلك القوة الأسية. إذن، الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية اثنين 𝑥.

يعني هذا أن معادلة المنحنى الأزرق، وهي في النهاية ما نبحث عنه، 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية اثنين 𝑥. تلخيصًا لما سبق، رأينا أن تحويل التمثيل البياني الذي نبحث عنه كان تمددًا من المحور 𝑦 بالمعامل واحد على اثنين.

وهو ما نقل التمثيل البياني لـ 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 إلى التمثيل البياني لـ 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية اثنين 𝑥. وهذه حالة خاصة من القاعدة العامة التي تنص على أن التمدد من المحور 𝑦 بمعامل ثابت اختياري 𝑘 ينقل التمثيل البياني لـ 𝑦 يساوي الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 إلى 𝑦 يساوي الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 على 𝑘.

في المسألة هنا، 𝑘 يساوي واحد على اثنين، والدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 كانت 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥. ولذلك، كان للتمثيل البياني المحول المعادلة 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 على نصف أو 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية اثنين 𝑥. لم ننته بعد. هناك جزء آخر في المسألة.

باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية، حدد معادلة المنحنى الأخضر. الفرق الوحيد عن الجزء السابق هو أننا سنوجد معادلة المنحنى الأخضر وليس المنحنى الأزرق. وكما فعلنا من قبل، ربما يكون من المفيد أن توقف الفيديو مؤقتًا وتفكر في التحويل الذي ينقل المنحنى الأحمر إلى المنحنى الأخضر.

تنبيه! تركت القاعدة العامة للتمدد من المحور 𝑦 على الشاشة. وهذا لأن التحويل هو أيضًا تمدد من المحور 𝑦. هذا التمدد له معامل مختلف، قيمة مختلفة لـ 𝑘، النقطة 𝑥، 𝑦 على المنحنى الأحمر انتقلت إلى النقطة بالإحداثيات اثنين 𝑥، 𝑦، والتي نعرف منها أن 𝑘 يساوي اثنين.

يمكننا أن نتبع العملية التي استخدمناها في الجزء الأول. ولكن الآن بما أنه لدينا هذه القاعدة العامة، يمكننا استخدامها أيضًا. المعادلة التي نبحث عنها هي 𝑦 يساوي الدالة 𝑓 لـ 𝑥 على 𝑘. الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 هي الدالة المناظرة للمنحنى الأحمر غير المحول، وهو ما لا يزال 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥.

وقد رأيت بالفعل أنه في هذا الجزء من المسألة قيمة 𝑘 هي اثنان. بوضعهما معًا، نحصل على 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑥 على اثنين أو 𝑒 مرفوعًا للقوة الأسية واحد على اثنين 𝑥.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.