فيديو السؤال: تحويلات التمثيل البياني للدوال الأسية

نسخة الفيديو النصية

رسم شريف ثلاث دوال أسية بالصيغة ﺹ يساوي ﺃ في ﻫ أس ﺏﺱ أو ﺹ يساوي ﺃ في ﻫ أس واحد على ﺏ‏ﺱ، حيث ﺃ وﺏ يعبران عن عددين صحيحين موجبين. معادلة المنحنى الأحمر ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ. باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية، حدد معادلة المنحنى الأزرق.

لنسم المنحنى الأحمر ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ. مهمتنا هي تحديد معادلة المنحنى الأزرق. ومطلوب منا فعل ذلك باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية. السؤال الأول الذي نسأله لأنفسنا لإيجاد معادلة المنحنى الأزرق هو ما التحويل الذي ينقل المنحنى الأحمر إلى المنحنى الأزرق.

ربما تكون فكرة جيدة أن توقف الفيديو مؤقتًا وتفكر في الأنواع المختلفة التي تعرفها من تحويلات التمثيلات البيانية. قد نستغرق بعض الوقت لإقناع أنفسنا أن التحويل الذي نبحث عنه ليس انتقالًا ولا دورانًا ولا انعكاسًا، بل تمدد أو استطالة. وتحديدًا، هو تمدد من المحور ﺹ.

تتحول نقطة على المنحنى الأحمر الأصلي باتجاه المحور ﺹ فتقل المسافة من المحور ﺹ إلى النصف. ومن ثم، يصبح لهذه النقطة الجديدة الإحداثيات ﺱ على اثنين، ﺹ. لنسم الدالة الممثلة بالمنحنى الأزرق، الدالة ﺩﺱ. قيمة ﺩﺱ على اثنين هي الإحداثي ﺹ للنقطة باللون البنفسجي الوردي التي رسمناها.

إذن هذا هو الإحداثي ﺹ. والإحداثي ﺹ هذا هو نفسه الإحداثي ﺹ للنقطة الأخرى، النقطة البرتقالية، على المنحنى الأحمر، وهي ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ. وبهذا تكون الدالة ﺩﺱ على اثنين تساوي ﻫ أس ﺱ. تعريف هذه الدالة غريب إلى حد ما؛ لأن لدينا المدخل ﺱ على اثنين بدلًا من ﺱ. لكن ما زال ذلك يعطينا قاعدة الدالة.

نأخذ المدخل ﺱ على اثنين ونضاعفه لنحصل على ﺱ. ثم نرفع ﻫ للقوة التي هي المدخل المضاعف. يمكننا إعادة صياغة ذلك بطريقة مألوفة أكثر بحيث يكون المدخل هو ﺱ. نضاعفه لنحصل على اثنين ﺱ ثم نرفع ﻫ لتلك القوة. إذن، الدالة ﺩﺱ تساوي ﻫ أس اثنين ﺱ.

يعني هذا أن معادلة المنحنى الأزرق، وهي في النهاية ما نبحث عنه، ﺹ يساوي ﻫ أس اثنين ﺱ. تلخيصًا لما سبق، رأينا أن تحويل التمثيل البياني الذي نبحث عنه كان تمددًا من المحور ﺹ بالمعامل واحد على اثنين.

وهو ما نقل التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ إلى التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﻫ أس اثنين ﺱ. وهذه حالة خاصة من القاعدة العامة التي تنص على أن التمدد من المحور ﺹ بمعامل ثابت اختياري ﻙ ينقل التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي الدالة ﺩﺱ إلى ﺹ يساوي الدالة ﺩﺱ على ﻙ.

في المسألة هنا، ﻙ يساوي واحد على اثنين، والدالة ﺩﺱ كانت ﻫ أس ﺱ. ولذلك، كان للتمثيل البياني المحول المعادلة ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ على نصف أو ﺹ يساوي ﻫ أس اثنين ﺱ. لم ننته بعد. هناك جزء آخر في المسألة.

باستخدام خواص تحويلات التمثيلات البيانية، حدد معادلة المنحنى الأخضر. الفرق الوحيد عن الجزء السابق هو أننا سنوجد معادلة المنحنى الأخضر وليس المنحنى الأزرق. وكما فعلنا من قبل، ربما يكون من المفيد أن توقف الفيديو مؤقتًا وتفكر في التحويل الذي ينقل المنحنى الأحمر إلى المنحنى الأخضر.

تنبيه! تركت القاعدة العامة للتمدد من المحور ﺹ على الشاشة. وهذا لأن التحويل هو أيضًا تمدد من المحور ﺹ. هذا التمدد له معامل مختلف، قيمة مختلفة لـ ﻙ، النقطة ﺱ، ﺹ على المنحنى الأحمر انتقلت إلى النقطة بالإحداثيات اثنين ﺱ، ﺹ، والتي نعرف منها أن ﻙ يساوي اثنين.

يمكننا أن نتبع العملية التي استخدمناها في الجزء الأول. ولكن الآن بما أنه لدينا هذه القاعدة العامة، يمكننا استخدامها أيضًا. المعادلة التي نبحث عنها هي ﺹ يساوي الدالة ﺩﺱ على ﻙ. الدالة ﺩﺱ هي الدالة المناظرة للمنحنى الأحمر غير المحول، وهو ما لا يزال ﻫ أس ﺱ.

وقد رأيت بالفعل أنه في هذا الجزء من المسألة قيمة ﻙ هي اثنان. بوضعهما معًا، نحصل على ﺹ يساوي ﻫ أس ﺱ على اثنين أو ﻫ أس واحد على اثنين ﺱ.