تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: النسب المثلثية على دائرة الوحدة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم حقيقة أن الربع الذي تقع فيه الزاوية يحدد إشارات الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزاوية، وكيف نحل المعادلات المثلثية. سنبدأ بتناول دائرة الوحدة.

١٠:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم حقيقة أن الربع الذي تقع فيه الزاوية يحدد إشارات الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزاوية، وكيف نحل المعادلات المثلثية. سنبدأ بتناول دائرة الوحدة.

دائرة الوحدة دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا، ومركزها يقع عند نقطة أصل المستوى الإحداثي. لأي نقطة ﺱ، ﺹ على دائرة الوحدة، يمكن رسم مثلث قائم الزاوية كما هو موضح في الشكل. يكون وتر هذا المثلث القائم الزاوية الزاوية 𝜃 مع الجزء الموجب من المحور ﺱ. باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، يمكننا تعريف الدوال المثلثية بدلالة دائرة الوحدة. تذكر أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

بما أن طول الضلع المقابل ﺹ، وطول الضلع المجاور ﺱ، وطول الوتر يساوي واحدًا، فإننا نحصل على المعادلات الآتية. ‏ﺹ يساوي جا 𝜃، وﺱ يساوي جتا 𝜃، وﺹ على ﺱ يساوي ظا 𝜃. نلاحظ أن ظا 𝜃 غير معرف عند ﺱ يساوي صفرًا. ونلاحظ أيضًا أنه على الرغم من أننا استنتجنا هذه التعريفات لأي زاوية 𝜃 في الربع الأول، فإنها تنطبق على أي زاوية في أي ربع. تلخيصًا لما سبق، يعرف الإحداثيان ﺱ وﺹ لنقطة على دائرة الوحدة معطاة بدلالة الزاوية 𝜃 بأنهما ﺱ يساوي جتا 𝜃، وﺹ يساوي جا 𝜃.

في المثال الأول، سنوضح كيف يمكننا استخدام هذه التعريفات للدوال المثلثية في دائرة الوحدة لإيجاد قيم دقيقة، بمعلومية معطيات عن الضلع النهائي للزاوية.

أوجد جا 𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، ويمر ضلعها النهائي بالنقطة ثلاثة أخماس، سالب أربعة أخماس.

نقول إن الزاوية في وضعها القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل، وكان ضلعها الابتدائي يقع على الجزء الموجب من المحور ﺱ. تقاس الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة من ضلعها الابتدائي إلى ضلعها النهائي. ومن ثم، تكون الزاوية 𝜃 كما هو موضح. نرسم مثلثًا قائم الزاوية طولا ضلعيه يساويان ثلاثة أخماس وحدة وأربعة أخماس وحدة.

يمكننا الآن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب قيمة البعد الناقص في المثلث. ثلاثة أخماس تربيع زائد أربعة أخماس تربيع يساوي ﺟ تربيع. يبسط الطرف الأيمن إلى تسعة على ٢٥ زائد ١٦ على ٢٥. إذن، ﺟ تربيع يساوي ٢٥ على ٢٥، وهو ما يساوي واحدًا. وبحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، وبما أن ﺟ يجب أن يكون موجبًا، فإن ﺟ يساوي واحدًا. هذا يعني أن النقطة ثلاثة أخماس، سالب أربعة أخماس تقع على دائرة الوحدة.

وهنا نتذكر أن الإحداثيين ﺱ وﺹ لنقطة على دائرة الوحدة معطاة بدلالة الزاوية 𝜃 يعرفان بأنهما ﺱ يساوي جتا 𝜃، وﺹ يساوي جا 𝜃. ومن ثم، فإن جا 𝜃 يساوي قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة، وهو ما يساوي سالب أربعة أخماس. إذن، الإجابة الصحيحة هي جا 𝜃 يساوي سالب أربعة أخماس.

بالإضافة إلى الدوال المثلثية القياسية، من الممكن أيضًا تعريف مقلوب الدوال المثلثية. مقلوب العدد ﺱ هو واحد على ﺱ. بالنسبة للزاوية 𝜃؛ حيث 𝜃 عدد حقيقي، يكون مقلوب الدوال المثلثية على النحو الآتي. قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃؛ حيث جا 𝜃 وجتا 𝜃 وظا 𝜃 لا تساوي صفرًا.

وبما أنه يمكننا كتابة الدوال المثلثية القياسية بدلالة دائرة الوحدة، فإنه يمكننا أيضًا كتابة دوال المقلوب بدلالة دائرة الوحدة. لذا، دعونا نتناول مرة أخرى النقطة ﺱ، ﺹ على دائرة الوحدة، وزاويتها 𝜃 بالنسبة إلى الجزء الموجب من المحور ﺱ؛ حيث ﺱ يساوي جتا 𝜃 وﺹ يساوي جا 𝜃. وهكذا، يمكن كتابة مقلوب الدوال المثلثية على النحو الآتي. قتا 𝜃 يساوي واحدًا على ﺹ، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على ﺱ، وظتا 𝜃 يساوي ﺱ على ﺹ؛ حيث لا يمكن أن تساوي المقامات صفرًا.

سنستعرض مثالًا يمكننا فيه استخدام دائرة الوحدة لإيجاد القيمة الدقيقة لدالة القاطع.

أوجد قا 𝜃، علمًا بأن 𝜃 في وضعها القياسي، وضلعها النهائي يمر بالنقطة أربعة أخماس، ثلاثة أخماس.

نقول إن الزاوية في وضعها القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل، وكان الضلع الابتدائي يقع على الجزء الموجب من المحور ﺱ. تقاس الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة من الضلع الابتدائي إلى الضلع النهائي. ومن ثم، تكون الزاوية 𝜃 كما هو موضح.

لحساب قيمة قا 𝜃، سنبدأ بتحديد إذا ما كانت النقطة التي إحداثياتها أربعة أخماس، ثلاثة أخماس تقع على دائرة الوحدة. للقيام بذلك، يمكننا التفكير في مثلث قائم الزاوية طولا ضلعيه يساويان أربعة أخماس وحدة وثلاثة أخماس وحدة كما هو موضح. يمكننا بعد ذلك حساب طول الوتر، ﺟ، باستخدام نظرية فيثاغورس.

لدينا أربعة أخماس تربيع زائد ثلاثة أخماس تربيع يساوي ﺟ تربيع. يمكن تبسيط ذلك إلى ١٦ على ٢٥ زائد تسعة على ٢٥ يساوي ﺟ تربيع. إذن ﺟ تربيع يساوي ٢٥ على ٢٥، وهو ما يساوي واحدًا. وبحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، وبما أن ﺟ يجب أن يكون موجبًا، فإن ﺟ يساوي واحدًا. وبذلك نكون قد أوضحنا أن النقطة أربعة أخماس، ثلاثة أخماس تقع على دائرة الوحدة.

يعرف الإحداثيان ﺱ وﺹ لنقطة على دائرة الوحدة معطاة بدلالة الزاوية 𝜃 بأنهما ﺱ يساوي جتا 𝜃، وﺹ يساوي جا 𝜃. لعلنا نتذكر أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. ومن ثم، قا 𝜃 يساوي واحدًا على ﺱ. بالتعويض بالإحداثي ﺱ، نحصل على قا 𝜃 يساوي واحدًا مقسومًا على أربعة أخماس، وهو ما يساوي خمسة على أربعة، أو خمسة أرباع. إذا كانت 𝜃 في الوضع القياسي والضلع النهائي للزاوية يمر بالنقطة أربعة أخماس، ثلاثة أخماس؛ فإن قا 𝜃 يساوي خمسة أرباع.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا سنشرح فيه كيفية استخدام دائرة الوحدة لإيجاد قيمة دالة مثلثية بسيطة.

الضلع النهائي للزاوية ﺃﻭﺏ في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة ﻭ عند النقطة ﺏ التي إحداثياتها ثلاثة على جذر ١٠، ﺹ؛ حيث ﺹ أكبر من صفر. أوجد قيمة جا ﺃﻭﺏ.

نقول إن الزاوية في الوضع القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل وكان الضلع الابتدائي يقع على الجزء الموجب من المحور ﺱ. بما أن الزاوية ﺃﻭﺏ في الوضع القياسي، والنقطة ﺏ لا تقع على المحور ﺱ؛ فإنه يجب أن تقع النقطة ﺃ على الجزء الموجب من المحور ﺱ. يمكننا إذن رسم الزاوية ﺃﻭﺏ تساوي 𝜃 على دائرة الوحدة. بما أن الإحداثيين ﺱ وﺹ موجبان، فإن النقطة ﺏ تقع في الربع الأول.

نعلم أن الإحداثيين ﺱ وﺹ لنقطة على دائرة الوحدة معطاة بدلالة الزاوية 𝜃 يعرفان بأنهما ﺱ يساوي جتا 𝜃، وﺹ يساوي جا 𝜃. إذن، قيمة جا ﺃﻭﺏ تساوي قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة ﺏ.

إذا رسمنا المثلث ﺃﻭﺏ مثلثًا قائم الزاوية، فإنه يمكننا إيجاد قيمة ﺹ باستخدام نظرية فيثاغورس. لدينا ﺹ تربيع زائد ثلاثة على جذر ١٠ تربيع يساوي واحدًا تربيع. بتبسيط ذلك، تصبح المعادلة: ﺹ تربيع زائد تسعة على ١٠ يساوي واحدًا. بطرح تسعة أعشار من كلا الطرفين، نحصل على: ﺹ تربيع يساوي عشرًا. وبحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، وبما أن ﺹ أكبر من صفر، نحصل على: ﺹ يساوي واحدًا على جذر ١٠ وحدة. إذن قيمة جا ﺃﻭﺏ هي واحد على جذر ١٠.

سنختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

دائرة الوحدة دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا، ومركزها نقطة أصل المستوى الإحداثي. يعرف الإحداثيان ﺱ، ﺹ لنقطة على دائرة الوحدة معطاة بدلالة الزاوية 𝜃 بأنهما ﺱ يساوي جتا 𝜃، وﺹ يساوي جا 𝜃. يمكن أيضًا تعريف نسبة الظل لنقاط على دائرة الوحدة ﺱ، ﺹ؛ حيث ﺱ لا يساوي صفرًا، ومن ثم فإن ظل الزاوية 𝜃 يساوي ﺹ على ﺱ. يعرف مقلوب الدوال المثلثية على النحو الآتي. قتا 𝜃 يساوي واحدًا على ﺹ، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على ﺱ، وظتا 𝜃 يساوي ﺱ على ﺹ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.