فيديو السؤال: إيجاد أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث باستخدام نظرية منصف الزاوية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في الشكل، القطعة المستقيمة ﺃد تنصف الزاوية ﺏﺃﺟ، وﺏد يساوي ثمانية، ودﺟ يساوي ١١، ومحيط المثلث ﺃﺏﺟ يساوي ٥٧. أوجد طولي القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺃﺟ.

أولًا، هيا نوضح المعطيات الواردة على الشكل. بما أن القطعة المستقيمة ﺃد تنصف الزاوية ﺏﺃﺟ، فإن الزاوية ﺟﺃد تساوي الزاوية ﺏﺃد. ‏ﺏد يساوي ثمانية. ودﺟ يساوي ١١. محيط هذا المثلث يساوي ٥٧. وهذا يعني أن مجموع أطوال أضلاع المثلث يساوي ٥٧، وهو ما يساوي ثمانية زائد ١١ زائد ﺃﺟ زائد ﺃﺏ.

قد يبدو لنا الآن أنه ليست لدينا معطيات كافية لحل هذه المسألة. لكننا نعرف نظرية منصف الزاوية، التي تنص على أن منصف زاوية في مثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين متناسبتين مع الضلعين المجاورين الآخرين. من الزاوية ﺟﺃد، لدينا الضلع المقابل والضلع المجاور. من الزاوية ﺏﺃد، لدينا الضلعان المقابل والمجاور. ويجب أن تكون النسبة بين طولي كل ضلعين — الضلع المقابل على الضلع المجاور — تساوي كل منهما الأخرى. نسبة طولي الضلعين ﺟد إلى ﺃﺟ ستساوي ﺏد على ﺃﺏ. ونعلم أن ﺟد يساوي ١١ وأن ﺏد يساوي ثمانية. ولكن هذه العلاقة وحدها ليست كافية لمساعدتنا في حل المسألة. سنحتاج إلى هاتين المعادلتين، أي معادلة المحيط والمعادلة الناتجة عن العلاقة بين أطوال الأضلاع، لحل المسألة.

أول ما علينا فعله هو محاولة جعل ﺃﺟ أو ﺃﺏ في طرف بمفرده. يمكننا ضرب ﺃﺏ في ١١ وﺃﺟ في ثمانية. يمكننا أن نسمي هذه العملية بالضرب التبادلي. ومن ثم، يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على ١١. في الطرف الأيمن، يلغي كل منهما الآخر. بعد ذلك، يمكننا القول إن ﺃﺏ يساوي ثمانية على ١١ في ﺃﺟ. ويمكننا أن نستخدم هذا الاستنتاج ونعوض به في معادلة المحيط. المحيط يساوي ٥٧ وثمانية زائد ١١ يساوي ١٩. ومن ثم، يمكننا القول إن ٥٧ يساوي ١٩ زائد ﺃﺟ زائد ﺃﺏ. ويمكننا بعد ذلك طرح ١٩ من كلا الطرفين، وهكذا يصبح لدينا ٣٨ يساوي ﺃﺟ زائد ﺃﺏ.

والآن، نحن مستعدون لاستخدام المعلومات التي حصلنا عليها. لدينا قيمة ﺃﺏ. لذا، نعوض بذلك. ‏ﺃﺏ يساوي ثمانية على ١١ﺃﺟ. وبذلك، يمكننا القول إن ٣٨ يساوي ﺃﺟ زائد ثمانية على ١١ﺃﺟ. وبما أن لدينا ﺃﺟ واحد، فيمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة ١١ على ١١ﺃﺟ. يمكننا جمع حدي ﺃﺟ لنحصل على ١٩ على ١١ﺃﺟ. لجعل ﺃﺟ في طرف بمفرده، نضرب في مقلوب ١٩ على ١١، وهو ١١ على ١٩، بكلا طرفي المعادلة. ‏١١ على ١٩ في ٣٨ يساوي ٢٢، و١٩ على ١١ في ١١ على ١٩ يساوي واحدًا، وهو ما يعني أننا سنحصل على واحد ﺃﺟ أو ﺃﺟ فقط. وبذلك، يمكننا القول إن ﺃﺟ يساوي ٢٢. إذا كان ٣٨ يساوي ﺃﺟ زائد ﺃﺏ وﺃﺟ يساوي ٢٢، فيمكننا طرح ٢٢ من كلا الطرفين. ‏٣٨ ناقص ٢٢ يساوي ١٦. إذن، ﺃﺏ يساوي ١٦.

لنعد إلى النسبة التي حددناها في البداية. وجدنا أن ﺃﺟ يساوي ٢٢ وﺃﺏ يساوي ١٦. ‏١١ على ٢٢ يساوي واحدًا على اثنين. وثمانية على ١٦ يساوي أيضًا واحدًا على اثنين. هذا يعني أن منصف الزاوية قسم القطعتين المستقيمتين بنسبة واحد إلى اثنين لطول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. يمكننا إجراء تحقق أخير عن طريق التأكد مما إذا كان ٥٧ يساوي ثمانية زائد ١١ زائد ٢٢ زائد ١٦، وهذا صحيح بالفعل.

وعليه، فإن الإجابة النهائية هي: طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ١٦، وطول القطعة المستقيمة ﺃﺟ يساوي ٢٢.