فيديو السؤال: اشتقاق الدوال المثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كانت ﺹ تساوي‎ ستة جا ثلاثة ﺱ.

نحن إذن بصدد اشتقاق ستة جا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولإيجاد هذه المشتقة، علينا الاستفادة من حقيقة أن مشتقة جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جتا ﺱ. هذا في حالة أن ﺱ بالتقدير الدائري. باستخدام حقيقة أن مشتقة عدد في دالة تساوي ذلك العدد في مشتقة الدالة، يمكننا رؤية أن ﺩ على ﺩﺱ ستة جا ﺱ تساوي ستة جتا ﺱ. لكننا نبحث عن مشتقة ستة جا ثلاثة ﺱ. فكيف نوجدها؟ حسنًا، علينا أن نستخدم قاعدة السلسلة.

ولتسهيل تطبيق قاعدة السلسلة، سنعرف متغيرًا جديدًا هو ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ. وبما أن ﺹ يساوي ستة جا ثلاثة ﺱ كما هو موضح في معطيات المسألة، فإن ﺹ يساوي ستة جا ﻉ. والآن، ما فائدة ذلك؟ حسنًا، قاعدة السلسلة تقول لنا إن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ.

دعونا نطبق ذلك. علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻉ. ولذا سنستخدم التعبير عن ﺹ بدلالة ﻉ:‏ ‏ﺹ يساوي ستة جا ﻉ. ومثلما كانت المشتقة ستة جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ستة جتا ﺱ، فإن المشتقة ستة جا ﻉ بالنسبة إلى ﻉ تساوي ستة جتا ﻉ.

والآن، كل ما علينا هو إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ. وبما أن ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ تساوي ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة ﺱ، وهو ما يساوي ثلاثة. وعليه، فإن ﺩ على ﺩﺱ يساوي ستة جتا ﻉ مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي ‎١٨ جتا ﻉ. لكننا لا نريد أن تكون ﺩﺹ على ﺩﺱ مكتوبة بدلالة متغير آخر رمزه ﻉ. بل نريدها مكتوبة بدلالة ﺱ إن أمكن. وباستخدام حقيقة أن ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ‎١٨ جتا ثلاثة ﺱ. وهذا هو الناتج النهائي.

فإذا عرفنا أن مشتقة جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي جتا ﺱ، فيمكننا إذن إيجاد مشتقات العديد من المقادير المتضمنة جا ﺱ باستخدام قاعدة السلسلة.