تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة على فترة معطاة الرياضيات

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ﺹ = ﺱ‏/‏٤ + ١‏/‏(ﺱ − ٤) على الفترة [١، ٣].

٠٩:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ﺹ تساوي ﺱ على أربعة زائد واحد على ﺱ ناقص أربعة على الفترة من واحد إلى ثلاثة متضمنة كليهما.

لدينا فترة مغلقة تتضمن طرفيها، واحدًا وثلاثة. ونريد إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة المعطاة على هذه الفترة. إذن لقيم ﺱ التي تقع بين واحد وثلاثة متضمنة كليهما، ما هي أكبر قيمة وأصغر قيمة يمكن أن تكون لـ ﺹ؟

لحل هذه المسألة، سنستخدم طريقة الفترة المغلقة التي تخبرنا بكيفية إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة متصلة ﺩ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. نحسب قيمة ﺩ عند قيمها الحرجة في الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ وأيضًا عند طرفيها ﺃ وﺏ. أكبر قيمة نحصل عليها بهذه الطريقة تكون القيمة العظمى المطلقة، وأصغر قيمة تكون القيمة الصغرى المطلقة.

قبل تطبيق هذه الطريقة، يجب أن نتحقق من أنها قابلة للتطبيق. توجد هذه الطريقة القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة متصلة. هل الدالة التي لدينا متصلة؟ بما إنها دالة كسرية، فإنها تكون متصلة حيثما كانت معرفة. لكنها تكون غير معرفة عندما تكون كثيرة الحدود هذه التي في المقام تساوي صفرًا. إذن، فهي غير معرفة عند ﺱ يساوي أربعة، وهي القيمة الوحيدة لـ ﺱ التي يكون عندها ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا. وبالتالي، فهي لا تكون متصلة عند ﺱ يساوي أربعة. حسنًا، ماذا نفعل؟

حسنًا، هذا لا يمثل مشكلة لهذه المسألة، لأن ما يهمنا هو الفترة المغلقة من واحد إلى ثلاثة. وﺱ يساوي أربعة لا يقع ضمن هذه الفترة. وبذلك، تكون الدالة متصلة على المجال الأصغر، أي الفترة المغلقة من واحد إلى ثلاثة. هذا يسمح لنا بتطبيق طريقة الفترة المغلقة. إذن، دعونا نطبقها.

علينا أولًا إيجاد قيم ﺩ عند قيمها الحرجة في الفترة المفتوحة لنفس الفترة التي تكون معرفة عليها. الدالة المعطاة هي ﺱ على أربعة زائد واحد على ﺱ ناقص أربعة. ونبحث عن القيم الحرجة في الفترة المفتوحة من واحد إلى ثلاثة. لكن ما القيم الحرجة لهذه الدالة في هذه الفترة؟ في الواقع، ما القيم الحرجة لفترة دالة ما؟، بصفة عامة.

القيمة ﺟ في مجال الدالة ﺩ تكون قيمة حرجة لـ ﺩ إذا كانت قيمة المشتقة ﺩ شرطة عند ﺟ تساوي صفرًا، أو إذا كانت قيمة ﺩ شرطة عند ﺟ غير معرفة. بعبارة أخرى، ﺟ لا يقع ضمن مجال ﺩ شرطة. نحن نبحث عن قيمة حرجة للدالة، وهذا يعتمد على مشتقة الدالة. فلنشتق إذن. يمكننا إجراء هذا حدًّا حدًّا.

إيجاد مشتقة ﺱ على أربعة أو ربع ﺱ هو عملية مباشرة. فهي تساوي ربعًا. المشتقة واحد على ﺱ ناقص أربعة أكثر تعقيدًا بعض الشيء. لذا دعونا نفكر فيها قليلًا. إذا جعلنا ﻉ يساوي ﺱ ناقص أربعة، فستكون مشتقة واحد على ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا تطبيق قاعدة السلسلة ﺩ على ﺩﺱ تساوي ﺩﻉ على ﺩﺱ في ﺩ على ﺩﻉ. لذا يمكننا الآن تناول ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩ على ﺩﻉ لواحد على ﻉ، كل على حدة. ما ناتج ﺩﻉ على ﺩﺱ؟ ‏ﻉ يساوي ﺱ ناقص أربعة حسب التعريف. وباشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﺱ، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا.

لننتقل إلى ﺩ على ﺩﻉ لواحد على ﻉ. يمكننا أن نكتب واحدًا على ﻉ على الصورة ﻉ أس سالب واحد. ثم يمكننا تطبيق حقيقة أن ﺩ على ﺩ لأي متغير أس ﻥ يساوي ﻥ في المتغير نفسه أس ﻥ ناقص واحد. بما أن ﻥ يساوي سالب واحد، فإن ﺩ على ﺩﻉ لـ ﻉ أس سالب واحد يساوي سالب واحد في ﻉ أس سالب اثنين. دعونا نفرغ بعض المساحة. يمكننا كتابة ﻉ أس سالب اثنين على الصورة واحد على ﻉ تربيع. هنا، استخدمنا حقيقة أن إضافة واحد في سالب واحد في قيمة ما تماثل طرح تلك القيمة.

الآن، نستخدم حقيقة أن ﻉ، المتغير المساعد، يساوي ﺱ ناقص أربعة للحصول على المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ. دعونا نمسح بعض خطوات الحل لإفراغ مساحة لإجراء المزيد. دعونا نتذكر سبب اشتقاقنا للدالة المعطاة. كان ذلك لإيجاد قيمها الحرجة، عندما تكون قيمة المشتقة تساوي صفرًا أو غير معرفة. لنبدأ بالحالة التي تكون فيها قيمة المشتقة غير معرفة.

نظرًا للمقام ﺱ ناقص أربعة تربيع، يمكننا أن نلاحظ أن قيمة المشتقة غير معرفة عند ﺱ يساوي أربعة. لكن هذا لا يهم؛ لأن العدد أربعة ليس ضمن مجال الدالة الأصلية. وبالتأكيد لا يقع في الفترة المفتوحة من واحد إلى ثلاثة. في الواقع، تكون المشتقة معرفة في نطاق هذه الفترة المفتوحة. ومن ثم، تظهر القيم الحرجة الوحيدة عندما تساوي قيمة المشتقة صفرًا. لنر متى يحدث ذلك عن طريق حل ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا.

نحل هذا من خلال كتابة المشتقة على صورة كسر واحد. من السهل كتابة الكسرين اللذين لدينا بمقام مشترك، ثم ندمجهما معًا. إذن، هذا الكسر سيساوي صفرًا عندما يساوي البسط صفرًا، بافتراض أن المقام لا يساوي صفرًا أيضًا في الوقت نفسه. نفك البسط ونبسطه، لنحصل على ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ زائد ١٢، وهو ما يمكننا تحليله بمجرد النظر.

والآن بعد أن حللنا البسط، يمكننا ملاحظة أن قيمة المشتقة تساوي صفرًا عندما يكون ﺱ يساوي ستة أو ﺱ يساوي اثنين. إذن، هاتان هما القيمتان الحرجتان. لكن تذكر أننا لا نهتم إلا بالقيم الحرجة التي تقع في الفترة المفتوحة من واحد إلى ثلاثة. ستة ليس في تلك الفترة. وعليه، فإن القيمة الحرجة الوحيدة التي تقع في الفترة المفتوحة من واحد إلى ثلاثة هي اثنان. تصبح الخطوة الأولى للحل هي إيجاد قيمة ﺱ على أربعة زائد واحد على ﺱ ناقص اثنين عند اثنين. دعونا نفرغ بعض المساحة حتى يمكننا فعل ذلك.

لإيجاد قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي اثنين، نعوض عن ﺱ باثنين. إذن ﺹ يساوي اثنين على أربعة زائد واحد على اثنين ناقص أربعة. ونبسط ذلك إلى صفر. لقد أكملنا الخطوة الأولى من طريقة الفترة المغلقة. فقد أوجدنا قيمة الدالة عند قيمها الحرجة في الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ. علينا أيضًا إيجاد قيمة الدالة ﺩ عند طرفي الفترة المغلقة ﺃ وﺏ.

‏ﺃ وﺏ هما واحد وثلاثة، على الترتيب. لنوجد قيمة الدالة إذن، ونبدأ بـ ﺱ يساوي واحدًا. وبالتالي، ﺹ يساوي واحدًا على أربعة زائد واحد على واحد ناقص أربعة، وهو ما يساوي سالب واحد على ١٢. ماذا عن الطرف الآخر للفترة عندما ﺱ يساوي ثلاثة؟ في هذه الحالة، ﺹ يساوي ثلاثة على أربعة زائد واحد على ثلاثة ناقص أربعة، وهو ما يبسط إلى سالب ربع. ماذا نفعل الآن؟ حسنًا، ننظر إلى طريقة الفترة المغلقة. وهي تنص على أن أكبر قيمة يتم الحصول عليها تكون القيمة العظمى المطلقة، وأصغر قيمة يتم الحصول عليها تكون القيمة الصغرى المطلقة. أكبر قيمة بين هذه القيم الثلاث — صفر وسالب واحد على ١٢ وسالب ربع — هي صفر. وأصغر قيمة حصلنا عليها هي سالب ربع.

ما الذي نستنتجه إذن؟ القيمة العظمى المطلقة للدالة ﺹ يساوي ﺱ على أربعة زائد واحد على ﺱ ناقص أربعة على الفترة المغلقة من واحد إلى ثلاثة تساوي صفرًا. والقيمة الصغرى المطلقة للدالة على هذه الفترة تساوي سالب ربع. كان هذا تطبيقًا مباشرًا نسبيًّا لطريقة الفترة المغلقة. على الرغم من أن الدالة المعطاة لم تكن متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية، فإنها كانت متصلة على الفترة التي كانت تعنينا، أي الفترة المغلقة من واحد إلى ثلاثة. ومن ثم، تسنى لنا تطبيق هذه الطريقة.

لقد أوجدنا القيم الحرجة للدالة عن طريق الاشتقاق وإيجاد القيم التي جعلت قيمة المشتقة تساوي صفرًا. لم تكن هناك أعداد في الفترة التي تكون فيها المشتقة غير معرفة. لقد وجدنا أن إحدى القيمتين الحرجتين فقط، أي اثنين، تقع في الفترة المفتوحة من واحد إلى ثلاثة. وأوجدنا قيمة الدالة عند هذه القيمة الحرجة، وكذلك عند طرفي الفترة المغلقة التي تم تعريف الدالة عليها، وهما واحد وثلاثة.

تخبرنا طريقة الفترة المغلقة أن أكبر قيمة حصلنا عليها، أي صفرًا، هي القيمة العظمى المطلقة للدالة على الفترة؛ وأن أصغر قيمة، أي سالب ربع، هي القيمة الصغرى المطلقة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.