تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: نظام الأعداد الحقيقية

سوزان فائق

يوضح الفيديو نظام الأعداد الحقيقية، ومفهوم الأعداد النسبية، وغير النسبية، وخصائص الأعداد الحقيقية، وكيفية المقارنة بينها، وتمثيلها على خط الأعداد.

١٤:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم عن نظام الأعداد الحقيقية، إيه هي الأعداد الحقيقية، وإيه هو العدد النسبي والعدد غير النسبي، إيه خواص الأعداد الحقيقية، وإزاي بنحدد أنواعها، وإزاي نقرّبها أو نقارن ما بينها.

نظام الأعداد الحقيقية هو عبارة عن الأعداد النسبية والأعداد الغير النسبية. يعني إيه عدد نسبي؟ ويعني إيه عدد غير نسبي؟ الجذر التربيعي لستاشر ألف وميتين بيساوي مية سبعة وعشرين، وبعدين علامة عشرية، وشوية أرقام بعد العلامة العشرية غير متكررة، فبنقول إن الجذر التربيعي لستاشر ألف وميتين ده عدد غير نسبي؛ لأنه لا يتكرر ولا ينتهي، وكمان لا يمكن كتابته على صورة كسر؛ يعني ما ينفعش نحطه على صورة بسط ومقام. لكن الجذر التربيعي للأربعة بيساوي اتنين، ده عدد نسبي، ويمكن وضعه على صورة كسر؛ يعني على شكل بسط ومقام.

يبقى الأعداد النسبية هي الأعداد التي لا يمكن وضعها في صورة نسبة على الشكل أ على ب؛ حيث أ و ب أعداد صحيحة والـ ب لا تساوي صفر. من الأعداد النسبية الأعداد اللي بتتكرر بعد العلامة العشرية، أو الأعداد المنتهية.

نشوف أمثلة، حدد ما إذا كانت الأعداد الآتية نسبية أم غير نسبية: العدد الأولاني العلامة العشرية بعدها خمسة وعشرين خمسة وعشرين خمسة وعشرين إلى لا نهاية، الجذر التربيعي لستة وتلاتين، وسالب الجذر التربيعي للسبعة.

هنشوف أول عدد، بما إن العدد بيتكرر هو نفسه بعد العلامة العشرية، يبقى نقدر نحطه في صورة كسر خمسة وعشرين على تسعة وتسعين؛ وبالتالي هيبقى عدد نسبي. تاني عدد الجذر التربيعي لستة وتلاتين بيساوي ستة، ده عدد يمكن وضعه في صورة كسر، اللي هو ستة على واحد، يبقى عدد نسبي. العدد الأخير سالب الجذر التربيعي لسبعة يساوي تقريبًا يساوي سالب اتنين، والعلامة العشرية وبعدين بعديها أرقام ستة أربعة خمسة سبعة خمسة واحد تلاتة وهتكمل إلى لا نهاية، لا يتكرر ولا ينتهي؛ يبقى عدد غير نسبي.

كده عرفنا إيه هي الأعداد النسبية وإيه هي الأعداد غير النسبية؛ غير النسبية اللي ما نقدرش نحطها على شكل كسر أو نسبة بسط ومقام، ودي الأعداد العشرية التي لا تتكرر والتي لا تنتهي؛ الأعداد النسبية يمكن وضعها في صورة بسط ومقام في صورة نسبة.

هنعرف إيه هي خصائص الأعداد الحقيقية. خصائص الأعداد الحقيقية هي: خاصية الإبدال، خاصية الدمج، خاصية التوزيع، المحايد الجمعي، والمحايد الضربي، المعكوس الجمعي، والمعكوس الضربي. معناهم إيه؟ إن أنا لو عندي الأعداد أ و ب و جـ أعداد حقيقية، فبنقدر نستخدم خاصية الإبدال، اللي هي لو في الجمع أ زائد ب هي هياها الـ ب زائد الـ أ، وفي الضرب الـ أ في الـ ب هي نفسها الـ ب في الـ أ؛ يعني لو في الجمع جمعت اتنين زائد تلاتة هتساوي خمسة هي هياها التلاتة زائد الاتنين كمان تساوي الخمسة. الـ أ في الـ ب يعني تلاتة في اتنين هتساوي ستة، والاتنين في تلاتة هي كمان بتساوي الستة.

خاصية الدمج يعني لو أنا جمعت الـ أ زائد الـ ب زائد الـ جـ، ودمجت الـ أ مع الـ ب جبت قيمتهم الأول، وبعدين جمعتهم على الـ جـ، فهي هياها لو جمعت الـ أ على، الـ ب زائد الـ ج، يعني أحسب الـ ب زائد الـ جـ الأول، وبعدين أجمعهم على الـ أ، كل ده نفس القيمة.

وكمان في الضرب الـ أ في الـ ب لو ضربتهم الأول، وبعدين ضربتهم في الـ جـ، هي هياها لو ضربت الـ أ في، الـ ب في الـ جـ، أو إن أنا أضرب الـ أ في الـ ب في الـ جـ على طول، هم نفس القيم.

في الجمع يعني لو جمعت اتنين زائد تلاتة زائد خمسة، أخدت الاتنين والتلاتة مع بعض بقوا خمسة، يبقى خمسة زائد خمسة بعشرة، أو إن أنا خليت الاتنين زائد، التلاتة زائد الخمسة، التلاتة زائد خمسة تمنية زائد الاتنين بالعشرة بنفس القيمة، ونفس الكلام ده في الضرب.

خاصية التوزيع بإمكانية إن أنا أوزع الضرب على الجمع؛ يعني الـ أ في، الـ ب زائد الـ جـ بتبقى تساوي الـ أ في الـ ب هنضربهم في بعض، و الـ أ في الـ جـ هنضربهم في البعض، ونجمعهم بعد كده؛ يعني وزعت الضرب على الجمع؛ يعني لو عايزين نحسب اتنين في، تلاتة زائد الخمسة؛ الاتنين في التلاتة زائد خمسة اللي هي تمنية؛ يعني تمنية في اتنين بستاشر. هي كأن بالظبط إن أنا هقول الاتنين في التلاتة، زائد الاتنين في الخمسة؛ الاتنين في التلاتة بستة، والاتنين في الخمسة بعشرة، يبقى ستة زائد العشرة هتساوي الستاشر، نفس القيمة الأولانية.

المحايد الجمعي اللي هو الصفر، يعني لما أجمع الـ أ زائد الصفر، هتبقى أ. المحايد الضربي هو الواحد، لما هضرب الـ أ في الواحد، هتبقى أ. يعني أي عدد مجموع على الصفر هيبقى نفس العدد، وأي عدد هيتضرب في الواحد هيبقى نفس العدد.

المعكوس الجمعي إن كل عدد حقيقي له معكوس؛ يعني الـ أ لها سالب الـ أ، لما بنجمعهم على بعض بيساوي الصفر؛ يعني الأربعة معكوسها الجمعي سالب أربعة، لما هنجمعهم على بعض هيبقى بـ صفر.

المعكوس الضربي إن كل عدد حقيقي له معكوس ضربي؛ يعني الـ أ على الـ ب لها معكوس ضربي، الـ ب على الـ أ، لو ضربناهم في بعض هيطلع يساوي واحد، بشرط إن الـ أ والـ ب لا يساويان الصفر؛ يعني الاتنين على التلاتة معكوسها الضربي هو التلاتة على الاتنين، لو ضربناهم في بعض هيطلع واحد.

دي خصائص الأعداد الحقيقية اللي إحنا بنستخدمها وإحنا بنحسب العمليات الجبرية.

ناخذ أمثلة على الأعداد الحقيقية، في المثال بيقول قرّب الجذر التربيعي للستة وسالب الجذر التربيعي لتلاتة إلى أقرب رقم عشري، ثم ارسم الجذر التربيعي للستة وسالب جذر التلاتة على خط الأعداد.

الجذر التربيعي للستة باستخدام الآلة الحاسبة يساوي تقريبًا الاتنين، وبعدين العلامة العشرية أربعة أربعة تسعة أربعة تمنية تسعة سبعة أربعة تلاتة إلى لا نهاية؛ يعني تقريبًا اتنين وأربعة من عشرة. سالب الجذر التربيعي للتلاتة هيساوي تقريبًا سالب واحد، والعلامة العشرية سبعة تلاتة اتنين صفر خمسة صفر تمنية صفر سبعة خمسة إلى لا نهاية؛ يعني تقريبًا سالب واحد وسبعة من عشرة.

هنرسمهم على خط الأعداد، الجذر التربيعي للستة اللي هو اتنين وأربعة من عشرة، تقريبًا هيبقى ما بين الاتنين والتلاتة كده، وأقرب للاتنين؛ لأن اتنين وأربعة من عشرة؛ يبقى جذر للتربيع للستة هتبقى هنا السالب الجذر التربيعي للتلاتة هي سالب واحد وسبعة من عشرة؛ يعني هنبعد عن السالب واحد بمقدار سبعة من عشرة؛ يعني هتبقى قريبة لـ السالب اتنين هنا، اللي هي سالب جذر التربيعي لتلاتة. دايمًا الأعداد السالبة بتبقى على يسار الصفر، والأعداد الموجبة بتبقى على يمين الصفر.

هناخد مثال كمان إزاي نقارن ما بين الأعداد الحقيقية. في المثال قارن ما بين الأعداد الآتية باستخدام أكبر من، أصغر من، يساوي. أول عددين الجذر التربيعي للسبعة واتنين وتُلتين. هنقرّب الجذر التربيعي للسبعة ونشوف قيمتها التقريبية هتبقى كام، هتبقى اتنين، وبعدين العلامة العشرية ستة أربعة خمسة سبعة خمسة واحد تلاتة واحد واحد إلى لا نهاية. العدد التاني اتنين وتُلتين هيساوي اتنين، وبعدين العلامة العشرية ستة ستة ستة ستة إلى لا نهاية. علشان نقارن ما بينهم هنبتدي بأول رقم في أقصى اليسار اللي هو الاتنين والاتنين، هنلاقيهم متساويين. هنشوف اللي بعده، هيبقى الستة والستة، هنلاقيهم متساويين. بعد كده الستة والأربعة، هنلاقي إن هنا الستة أكبر من الأربعة يبقى العدد اتنين وتُلتين أكبر من الجذر التربيعي للسبعة. يبقى الجذر التربيعي للسبعة أصغر من اتنين وتُلتين.

هنشوف العددين التانيين، واحد ونص وفيه علامة تكرار فوق الخمسة، يبقى ده عدد متكرر، والعدد التاني الجذر التربيعي لاتنين وخمسة وعشرين من مية، هنِوجد قيمهم ونقارن، هنا الواحد ونص فوقيها العلامة التكرارية دي معناها إن هي بتساوي واحد وخمسة خمسة خمسة خمسة خمسة إلى لا نهاية. الجذر التربيعي لاتنين وخمسة وعشرين من مية بيساوي واحد ونص. علشان نقارن ما بينهم هنحط الواحد والنص كده، وبعد كده هنكمل بأصفار عشان نقارن؛ هنا الواحد يساوي الواحد، وبعد كده الخمسة بتساوي الخمسة، وهنا دي خمسة ودي صفر، يبقى دي أكبر من دي؛ يبقى معنى كده إن الواحد ونص اللي بيتكرر ده أكبر من الجذر التربيعي لاتنين وخمسة وعشرين من مية، يبقى الواحد ونص اللي بتتكرر معانا أكبر من جذر التربيعي لاتنين وخمسة وعشرين من مية.

هناخد مثال تطبيقي على الأعداد الحقيقية. كم يزيد محيط مربع مساحته ميتين وخمسين متر مربع، عن مربع مساحته مية خمسة وعشرين متر مربع؟ علشان نعرف نقارن ما بين المحيطين ونعرف مين أزيد من مين، لازم يكون عندنا طول الضلع. وإحنا هنا عندنا مساحة المربع الأول ميتين وخمسين متر مربع، ومساحة المربع التاني مية خمسة وعشرين متر مربع. هنِوجد طول ضلع كل مربع فيهم، الأول هيبقى الجذر التربيعي للميتين وخمسين؛ لأن المساحة هي طول الضلع في نفسه. عشان نِوجد طول الضلع، يبقى هنِوجد الجذر التربيعي للمساحة، طول الضلع مربع رقم اتنين هيساوي الجذر التربيعي للمية خمسة وعشرين. هنِوجد محيط كل مربع فيهم، المحيط هو طول الضلع في أربعة؛ يعني محيط المربع الأول هيبقى أربعة في الجذر التربيعي للميتين وخمسين، محيط المربع التاني هيبقى أربعة في الجذر التربيعي للمية خمسة وعشرين.

باستخدام الآلة الحاسبة تقريبًا المربع الأول محيطه تلاتة وستين وخمسة وعشرين من مية متر، والمربع التاني تقريبًا أربعة وأربعين واتنين وسبعين من مية متر. مقدار الزيادة هيبقى محيط المربع واحد ناقص محيط المربع اتنين، يبقى هتساوي تقريبًا تمنتاشر وتلاتة وخمسين من مية متر؛ يبقى يزيد محيط المربع واحد عن المربع رقم اتنين بمقدار تمنتاشر وتلاتة وخمسين من مية تقريبًا.

اتكلمنا في الفيديو ده عن نظام الأعداد الحقيقية، وعرفنا يعني إيه عدد حقيقي اللي هم الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية، وعرفنا الفرق ما بينهم، وعرفنا إزاي نقرب الأعداد الحقيقية، وإزاي نقارن ما بينها، وإيه هي خصائص الأعداد الحقيقية؛ اللي هم كانوا الإبدال، والدمج، والتوزيع، والمحايد الجمعي، والمحايد الضربي، والمعكوس الجمعي، والمعكوس الضربي.