نسخة الفيديو النصية
أوجد مشتقة الدالة د ﺱ يساوي ستة ﺱ تكعيب ناقص سبعة ﺱ تربيع باستخدام تعريف المشتقة، ثم اذكر مجال الدالة ومجال مشتقتها.
يتكون هذا السؤال من جزأين. دعونا نبدأ بالإجابة عن الجزء الأول من السؤال. يطلب منا هذا الجزء اشتقاق الدالة د. بعبارة أخرى، مطلوب منا إيجاد دالة تقيس انحدار أو ميل منحنى الدالة د باستخدام طريقة معينة؛ وهي تعريف المشتقة. هذا يعني أن علينا ألا نستخدم أي طريقة أخرى مثل الصيغة القياسية لاشتقاق كثيرات الحدود للوصول إلى الإجابة.
حسنًا، ما تعريف المشتقة؟ تعريف مشتقة الدالة د هو النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للتعبير د ﺱ زائد ﻫ ناقص د ﺱ الكل مقسومًا على ﻫ. ويشار إليها أيضًا بـ د شرطة ﺱ.
دعونا نوجد قيمة د ﺱ زائد ﻫ. هذا يعني التعويض عن ﺱ بـ ﺱ زائد ﻫ في د، ليصبح لدينا ستة في ﺱ زائد ﻫ تكعيب ناقص سبعة في ﺱ زائد ﻫ تربيع. سنعوض بهذا في تعريف مشتقة د. وسنعوض أيضًا بالتعبير الدال على الدالة د في تعريف مشتقة د.
إذا عوضنا عن ﻫ بصفر في محاولة لإيجاد قيمة هذه النهاية، فسنحصل على الصيغة غير المعينة صفر على صفر، وهي صيغة غير معرفة. إذن، لن يمكننا التعويض بـ ﻫ يساوي صفرًا. لكي نتجنب الحصول على صيغة غير معينة، سنحاول التحليل بإخراج العامل المشترك ﻫ في البسط لكي نحذفه مع الحد ﻫ في المقام.
سنبدأ بتحليل التعبير الدال على د ﺱ زائد ﻫ. لاحظ أولًا أن ﺱ زائد ﻫ تكعيب يساوي ﺱ زائد ﻫ تربيع مضروبًا في ﺱ زائد ﻫ. ونلاحظ هنا أن الحد ﺱ زائد ﻫ تربيع مشترك. ومن ثم، يمكننا التحليل بإخراج هذا الحد كعامل مشترك ليصبح لدينا ﺱ زائد ﻫ تربيع مضروبًا في ستة في ﺱ زائد ﻫ ناقص سبعة. يمكننا فك بعض من هذه الأقواس لنحصل على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ﻫ زائد ﻫ تربيع الكل مضروبًا في ستة ﺱ زائد ستة ﻫ ناقص سبعة.
والآن، بضرب كل حد بالقوسين الأولين في كل حد بالقوسين الثانيين، نحصل على ستة ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ تربيع ﻫ ناقص سبعة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ تربيع ﻫ زائد ١٢ﺱ ﻫ تربيع ناقص ١٤ﺱ ﻫ زائد ستة ﺱ ﻫ تربيع زائد ستة ﻫ تكعيب ناقص سبعة ﻫ تربيع. والآن، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة معًا. سنجمع ستة ﺱ تربيع ﻫ و١٢ﺱ تربيع ﻫ، وكذلك ١٢ﺱ ﻫ تربيع وستة ﺱ ﻫ تربيع، لنحصل على ستة ﺱ تكعيب زائد ١٨ﺱ تربيع ﻫ ناقص سبعة ﺱ تربيع زائد ١٨ﺱ ﻫ تربيع ناقص ١٤ﺱ ﻫ زائد ستة ﻫ تكعيب ناقص سبعة ﻫ تربيع.
دعونا الآن نعوض بمفكوك د ﺱ زائد ﻫ هذا في تعريف مشتقة د. سنوزع إشارة السالب على القوسين الثانيين في النهاية. عندما نفعل ذلك، نحصل على النهاية التالية. حسنًا، يمكننا حذف الحدين ستة ﺱ تكعيب وسالب ستة ﺱ تكعيب، وكذلك الحدين سالب سبعة ﺱ تربيع وموجب سبعة ﺱ تربيع، لنحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ١٨ﺱ تربيع ﻫ زائد ١٨ﺱ ﻫ تربيع ناقص ١٤ﺱ ﻫ زائد ستة ﻫ تكعيب ناقص سبعة ﻫ تربيع الكل مقسومًا على ﻫ.
لاحظ أن حذف الحدود في الخطوة السابقة جعل لدينا في البسط مجموع حدود تحتوي جميعها على العامل ﻫ. وهذا يعني أنه يمكننا التحليل بإخراج الحد ﻫ كعامل مشترك من البسط على النحو التالي. ويمكننا الآن حذف الحد ﻫ من البسط والمقام لنحصل على النهاية التالية، والتي يمكننا التعويض فيها بـ ﻫ يساوي صفرًا.
وعندما نفعل ذلك، نحصل على ١٨ﺱ تربيع زائد ١٨ﺱ مضروبًا في صفر ناقص ١٤ﺱ زائد ستة مضروبًا في صفر تربيع ناقص سبعة مضروبًا في صفر. ويعطينا هذا حدين لا يساويان صفرًا؛ وهما ١٨ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ. إذن، باستخدام تعريف المشتقة، وجدنا أن مشتقة الدالة د تساوي ١٨ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ. وهذه هي إجابة الجزء الأول من السؤال.
للإجابة عن الجزء الثاني من السؤال، دعونا نسترجع أن مجال أي دالة لـ ﺱ هو مجموعة قيم ﺱ التي يوجد لها قيم لـ ﺹ. على سبيل المثال، مجال الدالة ﺹ يساوي ﺱ تربيع هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية. وهذا لأن لكل عدد حقيقي ﺱ، توجد قيمة لـ ﺹ، وهي ﺱ تربيع.
هيا نلق نظرة على مثال آخر. مجال الدالة ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية الموجبة. وهذا لأن لكل عدد حقيقي موجب ﺱ، توجد قيمة لـ ﺹ وهي لوغاريتم ﺱ. لاحظ أنه إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا، فإن لوغاريتم ﺱ يكون غير معرف.
دعونا الآن نرسم الدالة د. بتحليل د، نحصل على د ﺱ يساوي ﺱ تربيع مضروبًا في ستة ﺱ ناقص سبعة. إذن، د دالة تكعيبية ذات جذر متكرر عند ﺱ يساوي صفرًا، وجذر واحد عند ﺱ يساوي سبعة على ستة. وعليه، سيبدو تمثيلها بهذا الشكل.
تذكر أن اتجاهي ذيل الطرف الأيمن وذيل الطرف الأيسر للدالة التكعيبية تحددهما إشارة الحد التكعيبي. إذا كانت إشارة الحد التكعيبي موجبة، فإن ذيل الطرف الأيمن يزداد لأعلى؛ لأنه إذا كان ﺱ عددًا موجبًا كبيرًا، فكذلك سيكون ﺱ تكعيب مضروبًا في أي معامل موجب. ومن ناحية أخرى، ذيل الطرف الأيسر سيزداد لأسفل؛ لأنه إذا كان ﺱ عددًا سالبًا كبيرًا، فإن ﺱ تربيع يكون عددًا موجبًا كبيرًا. وبضربه في ﺱ — الذي يساوي عددًا سالبًا كبيرًا — للحصول على الحد التكعيبي، نحصل على عدد سالب كبير، وذلك عندما يكون معامل الحد التكعيبي موجبًا.
يمكننا إجراء تحليل مشابه عندما يكون معامل الحد التكعيبي سالبًا. بالنسبة إلى الدالة التكعيبية د المعطاة لنا في السؤال، يمكننا ملاحظة أن معامل الحد التكعيبي، وهو ستة، موجب. إذن، يزداد ذيل الطرف الأيمن لأعلى، ويزداد ذيل الطرف الأيسر لأسفل. من التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن مجال د هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية.
دعونا الآن نرسم مشتقة د. مشتقة د هي الدالة التربيعية ١٨ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ، والتي يمكن تحليلها إلى اثنين ﺱ مضروبًا في تسعة ﺱ ناقص سبعة. ولهذه الدالة التربيعية جذران مختلفان؛ وهما ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي سبعة على تسعة. إذن، سيكون التمثيل البياني للمشتقة على شكل قطع مكافئ يمر بالنقطتين صفر وسبعة على تسعة. ويكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى عندما يكون معامل الحد ﺱ تربيع، وهو ١٨، موجبًا. من التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن مجال مشتقة د هو أيضًا مجموعة كل الأعداد الحقيقية. وبهذا، نكون قد أكملنا الإجابة عن الجزء الثاني من السؤال.
