نسخة الفيديو النصية
تعطى كتلة جسم عند اللحظة ﻥ بالعلاقة ﻙﻥ يساوي اثنين ﻥ زائد ١٢ كيلوجرامًا، ومتجه موضعه ﺭﻥ يساوي اثنين ﻥ تربيع زائد ثلاثة ﻥ زائد ١٥ﺙ؛ حيث ﺙ متجه وحدة ثابت، والمتجه ﺭ يقاس بالمتر، ﻥ يقاس بالثانية. أوجد مقدار القوة المؤثرة على الجسم عندما يكون ﻥ = ثانيتين.
في هذا السؤال، نريد إيجاد مقدار قوة تؤثر على جسم ذي كتلة متغيرة. والكتلة معطاة على صورة دالة في الزمن، ومن ثم ستتغير كتلة الجسم وفقًا لقيمة ﻥ. وفي هذه الحالات، يعتمد معدل تغير كتلة الجسم وسرعته على مقدار القوة وعلى كتلة الجسم وسرعته. والصيغة التي تربط كل ذلك هي ﻕ يساوي ﻙ في ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ في ﺩﻙ على ﺩﻥ؛ حيث ﻙ بالطبع هو كتلة الجسم وﻉ هو سرعته.
إذن، لإيجاد مقدار القوة المؤثرة على الجسم، علينا تحديد قيم ﻙ وﻉ وﺩﻉ على ﺩﻥ وﺩﻙ على ﺩﻥ. في الواقع، هذه هي التعبيرات التي يمكننا إيجاد قيمها لاحقًا عند ﻥ يساوي اثنين.
ﻙ يساوي اثنين ﻥ زائد ١٢. إذن، كيف نوجد قيمة ﺩﻙ على ﺩﻥ؟ حسنًا، يمكننا اشتقاق كل حد على حدة، وذلك لأن مشتقة مجموع حدين أو أكثر تساوي مجموع مشتقات كل حد على حدة. مشتقة اثنين ﻥ هي ببساطة اثنان، ومشتقة الثابت تساوي صفرًا. إذن معدل تغير الكتلة بالنسبة إلى الزمن ثابت، وقيمته هي اثنان.
لكن كيف نوجد السرعة؟ لدينا متجه يمثل الموضع عند الزمن ﻥ. إنه اثنان ﻥ تربيع زائد ثلاثة ﻥ زائد ١٥ﺙ. ﺙ هنا هو متجه وحدة ثابت، لذا يمكننا ملاحظة أن متجه الموضع يؤثر في اتجاه واحد فقط. هذا يعني أنه يمكننا اعتباره كمية قياسية في اتجاه واحد. حسنًا، سنأخذ ذلك في الاعتبار، ونحن نعرف أيضًا أن السرعة هي معدل تغير الموضع بالنسبة إلى الزمن. علينا إذن اشتقاق التعبير الدال على ﺭ لإيجاد تعبير لـ ﻉ.
مرة أخرى، سنفعل ذلك مع كل حد على حدة. مشتقة اثنين ﻥ تربيع تساوي اثنين في اثنين ﻥ، ما يساوي أربعة ﻥ. ومشتقة ثلاثة ﻥ تساوي ثلاثة، ومشتقة ١٥ تساوي صفرًا. إذن، في اتجاه متجه الوحدة الثابت ﺙ، السرعة تساوي أربعة ﻥ زائد ثلاثة. ومع أخذ ذلك في الاعتبار، يمكننا حساب تعبير لـ ﺩﻉ على ﺩﻥ.
عند اشتقاق أربعة ﻥ زائد ثلاثة، يصبح لدينا أربعة. وبذلك يكون لدينا تعبيرات للكتلة وﺩﻙ على ﺩﻥ والسرعة وﺩﻉ على ﺩﻥ. إذن، القوة تساوي الكتلة في ﺩﻉ على ﺩﻥ، وهو ما يساوي اثنين ﻥ زائد ١٢ في أربعة. ثم نجمع مع ذلك حاصل ضرب ﻉ وﺩﻙ على ﺩﻥ. وهذا يساوي أربعة ﻥ زائد ثلاثة في اثنين. سنوزع الآن العدد أربعة على أول قوسين والعدد اثنين على ثاني قوسين. هذا يعطينا ثمانية ﻥ زائد ٤٨ زائد ثمانية ﻥ زائد ستة. وهذا يساوي ١٦ﻥ زائد ٥٤.
نلاحظ الآن أن لدينا معادلة لـ ﻕ. القوة عند الزمن ﻥ تساوي ١٦ﻥ زائد ٥٤. وفي الواقع، هذا مقدار القوة أيضًا؛ وذلك لأننا نتناول اتجاهًا واحدًا فقط، وقيمة ﻥ لا يمكن أن تكون سوى قيمة موجبة. علينا الآن التعويض بـ ﻥ يساوي اثنين في هذه المعادلة. عند ﻥ يساوي اثنين، فإن ﻕ يساوي ١٦ في اثنين زائد ٥٤. وهذا يساوي ٣٢ زائد ٥٤؛ أي ٨٦. ومن ثم، نجد أن مقدار القوة المؤثرة على الجسم عند ﻥ يساوي ثانيتين يساوي ٨٦ نيوتن.
تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان بإمكاننا حساب تعبير للسرعة على الصورة المتجهة. وكان سينتج عن ذلك قوة نهائية على الصورة المتجهة. لكن مرة أخرى، نظرًا لأن القوة تؤثر في اتجاه واحد فقط، فقد وجدنا أن المقدار يساوي ٨٦.
