فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام قاعدة القوى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد ستة ناقص سبعة على ﺱ أس سبعة ناقص ثمانية على ﺱ أس ثمانية.

والآن، من أجل إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، ما علينا فعله هو اشتقاق الدالة. ولكن قبل أن نفعل هذا، ما نريد فعله هو إعادة كتابتها بحيث نتخلص من الكسرين. وللقيام بذلك، فإن ما سنستخدمه هو إحدى قواعد الأسس. تخبرنا تلك القاعدة أنه إذا كان لدينا واحد على ﺃ أس ﺏ، فإن هذا يساوي ﺃ أس سالب ﺏ.

حسنًا، هذا رائع، دعونا نستخدم هذه القاعدة ونعيد كتابة دالتنا. وهكذا نكون قد طبقناها. لقد حصلنا على ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد ستة ناقص سبعة ﺱ أس سالب سبعة ناقص ثمانية ﺱ أس سالب ثمانية. والطريقة التي نستخدم بها فعليًّا قاعدة الأسس هذه من أجل الحصول على هذين الحدين الأخيرين، إذا أردت التفكير في الأمر بهذه الطريقة، هي أنه لدينا سبعة في واحد على ﺱ أس سبعة. لذا إذا قسمناها هكذا، فإننا في الواقع سنضرب سبعة في ﺱ أس سالب سبعة. لذا، نحصل على سبعة ﺱ أس سالب سبعة.

حسنًا، بعد أن أصبحت لدينا هذه الصورة للدالة، يمكننا المضي قدمًا واشتقاقها. ومن أجل اشتقاق الدالة، سنستخدم في الواقع ما يسمى بقاعدة القوى العامة. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا دالة في صورة ﺃﺱ أس ﺏ، فستكون مشتقة هذه الدالة تساوي ﺃﺏﺱ أس ﺏ ناقص واحد. إذن، ما فعلناه في الواقع هو أننا ضربنا الأس في المعامل، فنتج لدينا ﺃﺏ، ثم طرحنا من الأس واحدًا، فنتج لدينا ﺏ ناقص واحد.

حسنًا، ما يمكننا فعله الآن هو استخدام هذه القاعدة لاشتقاق الدالة. إذن، باستخدام قاعدة الاشتقاق، يكون لدينا الحد الأول الذي يساوي ١٢ﺱ أس ثلاثة. والطريقة التي استخدمناها لاشتقاق ثلاثة ﺱ أس أربعة هي أننا ضربنا المعامل في الأس — أي ثلاثة في أربعة — ما أعطانا ١٢، ثم ﺱ أس أربعة ناقص واحد لأننا نطرح واحدًا من الأس، وهو ما أعطانا ﺱ أس ثلاثة. بعد ذلك، الحد التالي هو موجب ثمانية ﺱ، وقد حصلنا عليه بالطريقة نفسها حيث ضربنا أربعة في اثنين — أي المعامل في الأس — وهو ما يساوي ثمانية. ثم كان لدينا ﺱ أس اثنين ناقص واحد، وهو ما يعطينا ﺱ فقط أو ﺱ أس واحد.

بعد ذلك، نتحول إلى الحد التالي، والذي سيساوي موجب صفر، وعادة لا نكتبه، ولكنني أكتبه هنا فقط حتى يمكننا التفكير في كيفية حصولنا عليه. حسنًا، إذا فكرنا في الأمر على هذا النحو، فقد حصلنا على مشتقة ستة ﺱ أس صفر. وأقول ذلك لأنه إذا كان لدينا ستة، فستكون ستة مضروبة في واحد. وﺱ أس صفر يساوي واحدًا.

فكيف نشتق ذلك فعليًّا؟ ما لدينا هو المعامل ستة مضروبًا في الأس صفر وﺱ أس صفر ناقص واحد. وصفر مضروبًا في أي شيء يساوي صفرًا. إذن، فإن الحد سيساوي صفرًا.

رائع، لننتقل الآن إلى آخر حدين. سيكون الحد التالي موجب ٤٩ﺱ أس سالب ثمانية. حسنًا، لمجرد لفت الانتباه إلى كيفية الوصول إلى هذا؛ فقط لأن الحد الأصلي يحتوي على علامتي سالب، فلدينا هنا مشتقة سالب سبعة ﺱ أس سالب سبعة. حسنًا، لدينا سالب سبعة، لأن هذا هو معاملنا، مضروبًا في سالب سبعة، وهو الأس. وبالتالي، فإن عددًا سالبًا مضروبًا في عدد سالب يعطينا عددًا موجبًا، وهذا هو ٤٩. ثم لدينا ﺱ أس سالب سبعة ناقص واحد، ما يعطينا سالب ثمانية.

بعد ذلك، الحد الأخير يسير على الطريقة نفسها تمامًا، فنحصل على موجب ٦٤ﺱ أس سالب تسعة، حيث كان لدينا سالب ثمانية مضروبًا في سالب ثمانية، ما يعطينا موجب ٦٤. ثم لدينا ﺱ أس سالب ثمانية ناقص واحد، ما يعطينا ﺱ أس سالب تسعة. هذا رائع، لقد حصلنا بالفعل على كل الحدود. والآن، دعنا نبسطها ونعدها إلى صورتها الأصلية.

إذن، يمكننا القول إنه إذا كانت ﺹ تساوي ثلاثة ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد ستة ناقص سبعة على ﺱ أس سبعة ناقص ثمانية على ﺱ أس ثمانية، إذن، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ١٢ﺱ تكعيب زائد ثمانية ﺱ زائد ٤٩ على ﺱ أس ثمانية زائد ٦٤ على ﺱ أس تسعة. وحصلنا على الحدين الأخيرين بهذا الشكل من خلال استخدام قاعدة الأسس التي استخدمناها في البداية، والتي تنص على أن واحدًا على ﺃ أس ﺏ يساوي ﺃ أس سالب ﺏ.