نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نحل المعادلات الخطية في مجموعة الأعداد الحقيقية، ونمثل حلولها على خط الأعداد. سنركز في المقام الأول على المعادلات الخطية التي تكون على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت حقيقية، وﺃ لا يساوي صفرًا.
نتذكر أنه عند حل المعادلات، نجري العمليات نفسها على طرفي المعادلة حتى تظل المعادلة متوازنة. هذه العمليات هي معكوس العمليات التي أجريت عند تكوين المعادلة. ومن ثم بالنسبة إلى المعادلات التي تكون على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي ﺟ؛ فإن ﺱ سيساوي ﺟ ناقص ﺏ مقسومًا على ﺃ. لحل المعادلة ذات الخطوتين علينا أولًا جعل الحد الذي يحتوي على ﺱ في طرف بمفرده، ثم القسمة على معامله. هذا يكافئ إضافة المعكوس الجمعي لـ ﺏ للطرفين، ثم ضرب الطرفين في المعكوس الضربي لـ ﺃ. سنستخدم هذه الطريقة المنهجية في المثال الأول.
أوجد، في مجموعة الأعداد الحقيقية، مجموعة حل المعادلة اثنان ﺱ زائد ثلاثة يساوي خمسة. أي من الآتي يمثل حل المعادلة على خط الأعداد؟ الخيار أ، أم الخيار ب، أم الخيار ج، أم الخيار د، أم الخيار هـ؟
يطلب منا الجزء الأول من هذا السؤال حل معادلة خطية على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت. لحل المعادلة اثنين ﺱ زائد ثلاثة يساوي خمسة نبدأ بطرح ثلاثة من الطرفين. بما أن خمسة ناقص ثلاثة يساوي اثنين؛ إذن يتبقى لدينا اثنان ﺱ يساوي اثنين. خطوتنا التالية هي القسمة على معامل ﺱ، وهو هنا اثنان. بما أن اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين يساوي ﺱ، واثنين على اثنين يساوي واحدًا، فإن ﺱ يساوي واحدًا. إذن تحتوي مجموعة حل المعادلة: اثنان ﺱ زائد ثلاثة يساوي خمسة؛ على العنصر واحد بمفرده.
يطلب منا الجزء الثاني من السؤال تمثيل حل المعادلة على خط الأعداد. يمثل الخيار هـ الحل ﺱ يساوي ثمانية. ويمثل الخيار د الحل ﺱ يساوي ثلاثة. ويمثل الخيار ج الحل ﺱ يساوي أربعة. ويمثل الخيار ب الحل ﺱ يساوي اثنين. بما أن حل المعادلة هو ﺱ يساوي واحدًا، فلا يوجد أي خيار من هذه الخيارات صحيح. وعليه فإن خط الأعداد الذي يمثل حل المعادلة: اثنان ﺱ زائد ثلاثة يساوي خمسة؛ هو الموضح في الخيار أ. لدينا دائرة مظللة تمثل القيمة الوحيدة واحدًا.
في هذا المثال الأول كان حل المعادلة مباشرًا إلى حد ما؛ لأن المعامل والثوابت كانت جميعها أعدادًا صحيحة. سنتناول الآن معادلات أكثر تعقيدًا تتضمن معاملات أو حدودًا ثابتة على صورة جذور أو جذور صماء. هذا يؤدي في بعض الأحيان إلى حلول تتضمن هي نفسها جذورًا.
أي من الآتي يمثل مجموعة حل المعادلة اثنان ﺱ زائد اثنين جذر ثلاثة يساوي اثنين في مجموعة الأعداد الحقيقية؟ أ: واحد زائد جذر ثلاثة، أم ب: واحد ناقص جذر ثلاثة، أم ج: اثنان زائد جذر ثلاثة، أم د: اثنان ناقص جذر ثلاثة، أم هـ: أربعة ناقص جذر ثلاثة؟
في هذا السؤال علينا حل معادلة خطية على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت. نحل المعادلة ذات الخطوتين: اثنان ﺱ زائد اثنين جذر ثلاثة يساوي اثنين؛ بجعل الحد الذي يحتوي على ﺱ في طرف بمفرده أولًا. لفعل ذلك نطرح اثنين جذر ثلاثة من الطرفين. هذا يماثل إضافة المعكوس الجمعي لـ ﺏ إلى طرفي المعادلة العامة. عندما نفعل ذلك يصبح الطرف الأيمن اثنين ﺱ. وفي الطرف الأيسر يكون لدينا اثنان ناقص اثنين جذر ثلاثة.
خطوتنا التالية هي قسمة طرفي المعادلة على اثنين. هذا هو معامل ﺱ. في الطرف الأيمن تحذف الاثنان من البسط والمقام، ويتبقى لدينا ﺱ. وفي الطرف الأيسر يتبقى لدينا واحد ناقص جذر ثلاثة. نستنتج من ذلك أن مجموعة حل المعادلة: اثنان ﺱ زائد اثنين جذر ثلاثة يساوي اثنين، هي الخيار ب؛ واحد ناقص جذر ثلاثة.
في المثال التالي معامل المتغير المجهول ﺱ جذر. وعليه علينا القسمة على هذا الجذر؛ وهو ما سيؤدي إلى أن يكون في مقام الناتج عدد غير نسبي. ولذلك سنحتاج إلى تذكر كيفية إنطاق مقام الكسر أيضًا.
أوجد، في مجموعة الأعداد الحقيقية، مجموعة حل المعادلة جذر ثلاثة ﺱ زائد اثنين يساوي خمسة. أي من الآتي يوضح حل المعادلة على خط الأعداد؟ الخيار أ، أم الخيار ب، أم الخيار ج، أم الخيار د، أم الخيار هـ؟
يتضمن الجزء الأول من هذا السؤال حل معادلة خطية على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت لا تساوي صفرًا. لحل المعادلة: جذر ثلاثة ﺱ زائد اثنين يساوي خمسة؛ نبدأ بجعل الحد الذي يحتوي على ﺱ في طرف بمفرده. نفعل ذلك بطرح اثنين من الطرفين. إذن جذر ثلاثة ﺱ يساوي ثلاثة. بعد ذلك نقسم الطرفين على جذر ثلاثة. في الطرف الأيمن نحذف جذر ثلاثة من البسط والمقام، ويتبقى لدينا ﺱ. المقدار الموجود في الطرف الأيسر؛ أي ثلاثة على جذر ثلاثة، كسر، ومقامه عدد غير نسبي. علينا إذن إنطاق المقام بضرب كل من البسط والمقام في جذر ثلاثة. وبما أن جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة يساوي ثلاثة، فإن ﺱ يساوي ثلاثة جذر ثلاثة على ثلاثة. يمكن تبسيط ذلك إلى ﺱ يساوي جذر ثلاثة.
إذن مجموعة حل المعادلة: جذر ثلاثة ﺱ زائد اثنين يساوي خمسة؛ هي القيمة الوحيدة جذر ثلاثة.
يطلب منا الجزء الثاني من السؤال تحديد خط الأعداد الذي يمثل هذا الحل. بما أن الجذر التربيعي لواحد يساوي واحدًا، والجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين؛ فإن الجذر التربيعي لثلاثة يجب أن يقع بين واحد واثنين. هذا يعني أن بإمكاننا استبعاد الخيارات ب، ج، د، هـ؛ فالخيار ب يوضح حلًّا يقع بين ثلاثة وأربعة، ويوضح الخياران ج، د حلين يقعان بين صفر وواحد، أما الخيار هـ فيوضح الحل ﺱ يساوي ثلاثة. إذن خط الأعداد الصحيح هو الممثل في الخيار أ. وعلى الرغم من أن ذلك غير مطلوب في هذا السؤال، فمن الجدير بالذكر أن الجذر التربيعي لثلاثة يساوي ١٫٧٣٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أن الدائرة المظللة تقع أقرب إلى الاثنين من الواحد، فإن هذا يدعم صحة الخيار أ.
قبل أن نتناول مثالًا أخيرًا سنلخص الخطوات المتبعة في حل المعادلات الخطية ذات الخطوتين. لحل المعادلات الخطية ذات الخطوتين التي تكون على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا، نتبع الخطوات الآتية. أولًا: نجعل المتغير المجهول في طرف بمفرده بإضافة المعكوس الجمعي لـ ﺏ إلى طرفي المعادلة. ثانيًا: نقسم طرفي المعادلة على معامل المتغير المجهول. هذا يكافئ ضرب الطرفين في المعكوس الضربي لـ ﺃ. وأخيرًا: إذا أدى ذلك إلى الحصول على كسر مقامه عدد غير نسبي، فإننا نقوم بإنطاق المقام بضرب كل من بسط الكسر ومقامه في الجذر الموجود في المقام.
سنتناول الآن مثالًا أخيرًا علينا فيه اتباع هذه الخطوات الثلاث.
أوجد، في مجموعة الأعداد الحقيقية، مجموعة حل المعادلة جذر خمسة مضروبًا في جذر ثلاثة ﺱ ناقص اثنين يساوي أربعة جذر خمسة.
هناك طريقتان يمكننا استخدامهما للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا مثلًا البدء بتوزيع العدد على ما بداخل القوسين في الطرف الأيمن. لكن بما أن المتغير المجهول ﺱ يوجد داخل القوسين، فسيكون من الأسهل قسمة طرفي المعادلة على جذر خمسة أولًا. عندما نفعل ذلك يصبح لدينا: جذر خمسة مضروبًا في جذر ثلاثة ﺱ ناقص اثنين الكل مقسوم على جذر خمسة يساوي أربعة جذر خمسة على جذر خمسة. في طرفي المعادلة نحذف جذر خمسة من البسط والمقام. وبذلك تصبح المعادلة: جذر ثلاثة ﺱ ناقص اثنين يساوي أربعة. يمكننا بعد ذلك إضافة اثنين إلى طرفي هذه المعادلة لجعل الحد الذي يحتوي على ﺱ في طرف بمفرده. وبما أن أربعة زائد اثنين يساوي ستة؛ إذن يصبح لدينا جذر ثلاثة ﺱ يساوي ستة.
بعد ذلك نقسم على معامل ﺱ؛ وهو في هذه الحالة جذر ثلاثة. وبذلك نجد أن ﺱ يساوي ستة على جذر ثلاثة. بما أن مقام الكسر جذر، فعلينا إنطاق المقام بضرب البسط والمقام في جذر ثلاثة. بتذكر أن جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة يساوي ثلاثة، نجد أن ﺱ يساوي ستة جذر ثلاثة على ثلاثة؛ وهو ما يبسط بدوره إلى: ﺱ يساوي اثنين جذر ثلاثة. إذن مجموعة حل المعادلة: جذر خمسة مضروبًا في جذر ثلاثة ﺱ ناقص اثنين يساوي أربعة جذر خمسة؛ هي القيمة الوحيدة اثنان جذر ثلاثة. ويمكننا التحقق من هذه الإجابة بالتعويض بقيمة ﺱ في المعادلة الأصلية.
سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. عند حل المعادلات نجري دائمًا العمليات نفسها على كلا الطرفين. عرفنا أن المعادلة الخطية ذات الخطوتين التي تكون على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي ﺟ؛ يمكن حلها بجعل المتغير المجهول في طرف بمفرده أولًا، ثم القسمة على معامله. إذا كانت لدينا إجابة كسرية؛ حيث يكون المقام عددًا غير نسبي، فعلينا إنطاق مقام الكسر. نفعل ذلك بضرب كل من بسط الكسر ومقامه في الجذر الموجود في المقام. علينا بعد ذلك تبسيط هذه الإجابة. وأخيرًا عرفنا أنه يمكن تمثيل حل المعادلة الخطية باستخدام دائرة مظللة على خط الأعداد. وفي حالة الحلول غير النسبية؛ سوف يكون موضع الدائرة تقريبيًّا.
