فيديو السؤال: تبسيط تعبير مصفوفة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺃ وﺏ مصفوفتين قابلتين للعكس، فأي من الآتي يمثل قيمة ﺏ في معكوس ﺃﺏ؟ هل هو الخيار (أ) المصفوفة ﺃ، أم الخيار (ب) معكوس ﺃ، أم الخيار (ج) معكوس ﺏ، أم الخيار (د) مدور المصفوفة ﺃ؟ أم هو الخيار (هـ) مدور المصفوفة ﺏ؟

في هذا السؤال، لدينا مصفوفتان قابلتان للعكس؛ المصفوفة ﺃ والمصفوفة ﺏ. علينا هنا استخدام حقيقة أن هاتين المصفوفتين قابلتان للعكس؛ لإيجاد تعبير لـ ﺏ في معكوس ﺃﺏ. ويمكننا فعل ذلك بملاحظة أنه بما أن ﺃ وﺏ مصفوفتان قابلتان للعكس، فيمكننا إعادة كتابة معكوس ﺃﺏ. لعلنا نتذكر أنه إذا كانت لدينا مصفوفتان قابلتان للعكس ﺃ وﺏ من الرتبة نفسها، فإن معكوس ﺃﺏ يساوي معكوس ﺏ في معكوس ﺃ. يمكننا تطبيق ذلك على التعبير المعطى في السؤال. فنحصل على ﺏ مضروبًا في معكوس ﺏ في معكوس ﺃ.

يمكننا الآن ملاحظة أمر مثير للاهتمام. لدينا ﺏ في هذا التعبير. وعلى يسار المصفوفة ﺏ، نضرب في معكوس ﺏ. إذن، علينا تبسيط ذلك. أولًا: علينا استخدام حقيقة أن ضرب المصفوفات عملية دامجة. نتذكر أن هذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة ضرب ثلاث مصفوفات أو أكثر بأي ترتيب. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى المصفوفات الثلاث، ﻡ واحد، وﻡ اثنين، وﻡ ثلاثة، والتي يتوافق ترتيبها في عملية الضرب؛ بحيث يكون حاصل ضرب هذه المصفوفات الثلاث صحيحًا، فإننا نعرف أن ﻡ واحد في حاصل ضرب ﻡ اثنين وﻡ ثلاثة يساوي حاصل ضرب ﻡ واحد وﻡ اثنين مضروبًا في ﻡ ثلاثة.

ثم يمكننا تطبيق هذا على التعبير لإيجاد قيمة ﺏ مضروبًا في معكوس ﺏ أولًا. وهذا مفيد جدًّا لأننا نعرف أن أي مصفوفة مضروبة في معكوسها تعطينا مصفوفة الوحدة من الرتبة نفسها. إذن، هذا يتركنا مع مصفوفة الوحدة من الرتبة ﻥ مضروبًا في معكوس ﺃ؛ حيث تجدر الإشارة إلى أن ﻥ يساوي رتبة المصفوفة المربعة ﺏ.

وثمة أمر جدير بالذكر هنا. لدينا في السؤال أننا نضرب ﺃ وﺏ. وبما أن المصفوفتين ﺃ وﺏ كلتيهما مصفوفتان مربعتان، وبما أننا نضربهما معًا، فيمكننا أن نفترض أنهما مصفوفتان مربعتان من الرتبة نفسها. ومن ثم، ﻥ هي أيضًا رتبة معكوس المصفوفة ﺃ.

ولعلنا نتذكر أن ضرب مصفوفة في مصفوفة الوحدة من الرتبة نفسها يعطينا المصفوفة نفسها. إذن، فإن مصفوفة الوحدة مضروبة في معكوس ﺃ تساوي معكوس ﺃ فقط، وهو الحل النهائي المعطى في الخيار (ب).

وعليه، استطعنا إثبات أنه إذا كانت ﺃ وﺏ مصفوفتين قابلتين للعكس، فإن ﺏ في معكوس ﺃﺏ يساوي معكوس ﺃ، وهو الخيار (ب).