فيديو السؤال: استخدام التمثيلات البيانية لتقدير النهايات عند ما لا نهاية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

انظر التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين أس ﺱ في جا أربعة ﺱ. قدر نهاية الدالة ﺩﺱ حين يقترب ﺱ من سالب ما لا نهاية. وقدر نهاية الدالة ﺩﺱ حين يقترب ﺱ من ما لا نهاية.

ثمة جزآن في هذه المسألة. ومطلوب منا في كليهما تقدير قيمة نهاية من التمثيل البياني. نبدأ بالجزء الأول حيث يتعين علينا تقدير قيمة نهاية الدالة ﺩﺱ حين يقترب ﺱ من سالب ما لا نهاية. وبما أن ﺱ يقل أكثر فأكثر، ويقترب أكثر فأكثر من السالب دون حدود، فما القيمة التي تقترب منها الدالة ﺩﺱ، إن وجدت؟

لنلق نظرة على التمثيل البياني، ولنختر نقطة تكون قيمة ﺱ عندها صغيرة ولكنها موجبة. ونلاحظ أن لدينا أيضًا قيمة صغيرة لكنها موجبة للدالة ﺩﺱ، الإحداثي ﺹ. وبما أننا ندع ﺱ يقل مقتربًا من سالب ما لا نهاية، فيمكننا أن نلاحظ أن قيمة الدالة ﺩﺱ تتذبذب، إذا نظرنا باتجاه اليسار. لكن مع استمرار تناقص ﺱ، لم يعد بإمكاننا رؤية التذبذبات الصغيرة نظرًا لأنها تقل أكثر فأكثر. ويبدو أن التمثيل البياني يكاد يلتصق في المحور ﺱ أكثر فأكثر، فيقترب كثيرًا من المحور ﺱ. وهكذا، يمكننا تقدير نهاية الدالة ﺩﺱ حين يقترب ﺱ من سالب ما لا نهاية بأنها صفر.

فعندما يقترب ﺱ من سالب ما لا نهاية — بمعنى أن تقل قيمة ﺱ أكثر فأكثر، أو تقترب من السالب دون حدود، إذ تتحرك أكثر فأكثر يسار التمثيل البياني — نجد أن قيمة الدالة ﺩﺱ، والتي تمثلها إحداثيات ﺹ للنقاط الموجودة على التمثيل البياني، تقترب أكثر وأكثر من الصفر. وهذا هو تقديرنا لنهاية الدالة ﺩﺱ حين يقترب ﺱ من سالب ما لا نهاية.

والآن، بالنسبة إلى الجزء الثاني من المسألة — حيث يتعين علينا تقدير قيمة نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، حيث تزيد قيمة ﺱ أكثر فأكثر دون حدود — فما القيمة التي تقترب منها الدالة ﺩﺱ، إن وجدت؟ مرة أخرى، نختار قيمة لـ ﺱ ونبحث عن النقطة المقابلة لها على التمثيل البياني. ونلاحظ أن إحداثي ﺹ لها، الذي يمثل الدالة ﺩﺱ عند قيمة ﺱ هذه، صغير ولكنه سالب.

ونحن نريد معرفة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. لذا، نسمح لـ ﺱ بالزيادة. ونجد أن الدالة ﺩﺱ تزيد، ولكنها بعد ذلك تتناقص كلما زاد ﺱ أكثر. في الواقع، يتذبذب التمثيل البياني بين قيم كبيرة وصغيرة للدالة ﺩﺱ، وهي إحداثيات ﺹ كبيرة وصغيرة للنقاط على التمثيل البياني. ويستمر هذا النمط، إذ يزيد التذبذب أكثر فأكثر، ويزيد اتساعه أكثر كلما زادت قيمة ﺱ.

وهكذا، نرى أنه لا يوجد عدد واحد تقترب منه الدالة ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. إذن فإن قيمة هذه النهاية لا يمكن أن يعبر عنها أي عدد حقيقي. ونلاحظ أيضًا أن الدالة ﺩﺱ لا تزيد دون حدود ولا تتناقص دون حدود. ولهذا فإن قيمة هذه النهاية ليست ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية.

والاستنتاج الوحيد الذي يمكننا استخلاصه هو أن النهاية غير موجودة. لا تقترب الدالة ﺩﺱ من أي عدد حقيقي، ولا تقترب من ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية. وهكذا، نكون قد استنفدنا كل الخيارات.

لقد أجبنا عن جزأي هذه المسألة من خلال فحص التمثيل البياني للدالة. وبالتالي، كان علينا أن نفترض أن بقية الأنماط التي نراها على التمثيل البياني ستستمر بالنسبة لقيم ﺱ غير الموضحة على التمثيل البياني. على سبيل المثال، لقد افترضنا أنه مع استمرار ﺱ في النقصان خارج التمثيل البياني، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ لن تزيد فجأة مرة أخرى. كما افترضنا أن سعة التذبذبات لا تقل مع زيادة ﺱ خارج التمثيل البياني.

ولهذا السبب، لدينا الفعل «قدر» في كلا جزأي المسألة. إذ لا يمكننا ضمان أن الإجابة التي نحصل عليها من النظر إلى التمثيل البياني صحيحة. لكنها أفضل تقدير يمكننا التوصل إليه. وربما ترغب في التفكير في الكيفية التي يمكن بها لقاعدة الدالة، ﺩﺱ تساوي اثنين أس ﺱ في جا أربعة ﺱ، تبرير قيمتي النهايتين اللتين عملنا على تقديرهما هنا باستخدام التمثيل البياني.