فيديو السؤال: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي من التعبيرات الآتية يساوي جتا١٢ﺱ زائد جا تربيع ستة ﺱ؟ (أ) جتا تربيع ستة ﺱ ناقص جا تربيع ستة ﺱ، أم (ب) اثنان جتا تربيع ستة ﺱ، أم (ج) اثنان جتا تربيع ستة ﺱ زائد واحد ناقص جا تربيع ستة ﺱ، أم (د) واحد ناقص جا تربيع ستة ﺱ، أم (هـ) اثنان جا ستة ﺱ جتا ستة ﺱ.

حسنًا، لكي نتمكن من تحديد أي التعبيرات يساوي المقدار المعطى في المسألة، علينا استخدام إحدى صيغ ضعف الزاوية. وهذه مجموعة من الصيغ التي علينا مراجعتها وتذكرها. وهذه هي الصيغة التي سنستخدمها اليوم.

تنص هذه الصيغة على أن جتا اثنين 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃. ولكي نتمكن من استخدام هذه الصيغة في المسألة، سنقول إن الزاوية 𝜃 في هذه الصيغة تساوي ستة ﺱ. لذلك يمكننا القول إن جتا اثنين 𝜃 يساوي جتا١٢ﺱ. نرجع مرة أخرى إلى المقدار الأصلي. كان لدينا جتا١٢ﺱ.

ولأننا نعلم أنه يساوي جتا اثنين 𝜃 في صيغة ضعف الزاوية، فيمكننا التعبير عن ذلك في صورة جتا تربيع ستة ﺱ ناقص جا تربيع ستة ﺱ، ثم زائد المقدار الأصلي جا تربيع ستة ﺱ. يمكننا الآن تبسيط ذلك أكثر، حيث لدينا جتا تربيع ستة ﺱ ناقص جا تربيع ستة ﺱ زائد جا تربيع ستة ﺱ. ومن ثم فهذان المقداران يلغي أحدهما الآخر، لنحصل على جتا تربيع ستة ﺱ.

رائع! حسنًا، هل يطابق هذا أيًّا من الإجابات الموجودة على اليسار؟ حتى الآن لا. إذن سنستخدم إحدى المتطابقات المثلثية. تنص هذه المتطابقة على أن جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. هذه المتطابقة هي إحدى أكثر المتطابقات التي ستستخدمها شيوعًا. ويمكننا إعادة ترتيبها لنحصل على جتا تربيع 𝜃 يساوي واحد ناقص جا تربيع 𝜃.

رائع! هذا يعني أننا يمكننا استخدام ذلك لتغيير جتا تربيع ستة ﺱ إلى صيغة مختلفة تعطينا واحد ناقص جا تربيع ستة ﺱ، حيث سنستعين بالمتطابقة المثلثية للتوصل إلى ذلك. إذن بالنظر إلى الإجابات على اليسار نجد أن واحدًا ناقص جا تربيع ستة ﺱ يساوي جتا١٢ﺱ زائد جا تربيع ستة ﺱ.