تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد معادلة مستوى يحتوي على خط مستقيم عمودي على مستوى آخر الرياضيات

أوجد المعادلة العامة للمستوى الذي يحتوي على الخط المستقيم ((ﺱ + ٢)‏/‏٧) = ((ﺹ − ٦)‏/‏٥) = ((ﻉ + ٩)‏/‏٥) العمودي على المستوى −ﺱ + ﺹ − ٢ﻉ = ٢.

٠٨:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المعادلة العامة للمستوى الذي يحتوي على الخط المستقيم ﺱ زائد اثنين على سبعة يساوي ﺹ ناقص ستة على خمسة يساوي ﻉ زائد تسعة على خمسة العمودي على المستوى سالب ﺱ زائد ﺹ ناقص اثنين ﻉ يساوي اثنين.

حسنًا، نحن نريد هنا إيجاد المعادلة العامة لمستوى ما. سنفترض أن هذا هو المستوى محل الاهتمام، وقد رسمناه في نفس مستوى الشاشة. ونعلم أن هذا المستوى يحتوي على خط مستقيم معادلته معطاة لنا، وأنه عمودي على مستوى آخر معادلته معطاة لنا أيضًا. سنفترض أن هذا هو المستوى العمودي.

بوجه عام، لإيجاد معادلة لمستوى ما، نحتاج إلى معلومتين. أولًا: نحتاج إلى متجه عمودي على المستوى. لاحظ أن هذا المتجه ليس الوحيد. في الواقع، يوجد عدد لا نهائي من المتجهات العمودية على السطح الثنائي الأبعاد. وسيساعدنا أي منها في إيجاد معادلة المستوى. وثانيًا: علينا معرفة نقطة تقع على المستوى.

حسنًا، دعونا نفكر في ذلك في ضوء الحالة لدينا. يحتوي المستوى محل الاهتمام على خط مستقيم. ومعادلة هذا الخط المستقيم معطاة لنا على صورة تسمى الصورة الإحداثية. وتسمى كذلك؛ لأن جميع هذه الكسور الثلاثة متساوية وتساوي أيضًا معامل قياس يمكننا تسميته ﻙ. تساعدنا كتابة معادلة الخط المستقيم بهذه الطريقة على صياغتها على الصورة البارامترية. ويتيح لنا ذلك كتابة ثلاث معادلات منفصلة؛ واحدة للإحداثي ﺱ، وأخرى للإحداثي ﺹ، وثالثة للإحداثي ﻉ لهذا المستقيم. وتستند هذه المعادلات الثلاث إلى حقيقة أن جميع هذه الكسور الثلاثة تساوي معامل القياس نفسه.

حسنًا، على سبيل المثال، حقيقة أن ﺱ زائد اثنين على سبعة يساوي ﻙ تعني أن ﺱ نفسه يساوي سبعة في ﻙ ناقص اثنين. وبالنسبة إلى معادلة الإحداثي ﺹ، بما أن ﺹ ناقص ستة على خمسة يساوي ﻙ، يمكننا قول إن ﺹ يساوي خمسة ﻙ زائد ستة. وأخيرًا، بالنسبة إلى معادلة الإحداثي ﻉ، لدينا ﻉ يساوي خمسة في ﻙ ناقص تسعة. والآن، أصبحت معادلة الخط المستقيم هذه مكتوبة على الصورة البارامترية. ومن خلال هذه الصورة، يمكننا أولًا أن نحدد نقطة يمر بها المستقيم، ثم نحدد متجهًا موازيًا للمستقيم.

حسنًا، يمكننا التوصل إلى ذلك عن طريق كتابة معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة، وذلك بدمج معادلات ﺱ وﺹ وﻉ معًا باعتبارها مركبات. عند صياغتها بهذه الطريقة، يمكننا قول إن الخط المستقيم يكافئ متجهًا مركباته سبعة، خمسة، خمسة مضروبًا في معامل القياس ﻙ زائد متجه من نقطة الأصل للنظام الإحداثي إلى النقطة التي إحداثياتها سالب اثنين، ستة، سالب تسعة.

وبما أننا نعلم نقطة على هذا المستقيم، وأن هذا المستقيم يقع في المستوى محل الاهتمام، نكون بذلك قد حققنا الشرط الثاني. نحن الآن نعلم نقطة على المستوى. سنسمي هذه النقطة ﺏ. وكما رأينا، إحداثياتها هي سالب اثنين، ستة، سالب تسعة. حسنًا، هذا المتجه ليس عموديًّا على المستوى لدينا، لكنه مواز له. ويقع هذا المتجه في المستوى؛ لذا سنسميه ﻡ واحدًا. وهذه هي جميع المعلومات المفيدة التي سنحصل عليها عن المستوى محل الاهتمام من خلال هذا الخط المستقيم المعطى. لكن تذكر أن المستوى محل الاهتمام عمودي أيضًا على المستوى الذي تعبر عنه هذه المعادلة.

إذا رسمنا متجهًا عموديًّا على هذا المستوى الثاني، فقد يبدو بهذا الشكل. لاحظ أن هذا المتجه يوازي المستوى الأول محل الاهتمام. وإذا نظرنا إلى معادلة هذا المستوى، يمكننا إيجاد مركبات هذا المتجه. عند كتابة معادلة هذا المستوى على هذه الصورة، فإن القيم المضروبة في ﺱ وﺹ وﻉ تكون مركبات لمتجه عمودي على المستوى. وكما نرى، فهذه القيم هي سالب واحد وموجب واحد وسالب اثنين. نلاحظ أيضًا أن أي متجه عمودي على هذا المستوى سيكون موازيًا للمستوى الذي نحاول إيجاد معادلته. يمكننا إذن تسمية هذا المتجه ﻡ اثنين؛ لأنه مواز للمستوى الأول.

حسنًا، ليس لدينا حتى الآن متجه عمودي على هذا المستوى. لكن إذا حسبنا حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻡ واحد وﻡ اثنين، وهما المتجهان الموازيان للمستوى الأول، فسنحصل في النهاية على متجه عمودي عليهما. ومن ثم فهذه النتيجة، أي المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي لـ ﻡ واحد وﻡ اثنين، سيكون عموديًّا على المستوى لدينا. حاصل الضرب الاتجاهي هذا يساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. لاحظ أنه في الصف العلوي، لدينا متجهات الوحدة ﺱ هات وﺹ هات وﻉ هات، ثم لدينا في الصفين الثاني والثالث مركبات المتجهين ﻡ واحد وﻡ اثنين على الترتيب. بحساب حاصل الضرب الاتجاهي هذا، نجد أن المركبة ﺱ تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. خمسة في سالب اثنين ناقص خمسة في واحد يساوي سالب ١٠ ناقص خمسة.

لدينا بعد ذلك سالب المركبة ﺹ، وهذا يساوي قيمة محدد هذه المصفوفة. سبعة في سالب اثنين ناقص خمسة في سالب واحد يساوي سالب ١٤ زائد خمسة. وأخيرًا، المركبة ﻉ تساوي قيمة هذا المحدد، أي سبعة في واحد ناقص خمسة في سالب واحد، أو سبعة زائد خمسة. كل ذلك معًا يمثل مركبات حاصل الضرب الاتجاهي هذا، ويمكننا كتابة ذلك ببساطة على صورة متجه مركباته سالب ١٥ وتسعة و١٢. إذن هذا هو المتجه العمودي، وهو المتجه العمودي على المستوى الذي نريد إيجاد معادلته.

حسنًا، لقد حققنا الآن الشرطين المطلوبين. ولإيجاد المعادلة العامة لهذا المستوى، دعونا نفرغ بعض المساحة. إننا نعلم أن الصورة المتجهة لمعادلة المستوى تعطى من خلال هذا التعبير. وهنا، ﻥ متجه عمودي على المستوى، وﺭ متجه لنقطة اختيارية على المستوى، وﺃ متجه لنقطة معلومة على المستوى. باستخدام مركبات المتجه العمودي التي أوجدناها إضافة إلى إحداثيات النقطة ﺏ، والتي تقع في المستوى محل الاهتمام، يمكننا قول إن المتجه الذي له المركبات سالب ١٥، تسعة، ١٢ مضروب قياسيًّا في متجه عام مركباته ﺱ، ﺹ، ﻉ، وهذا يساوي حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه العمودي ومتجه النقطة ﺏ.

في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، عندما نحسب حاصل الضرب القياسي هذا، نحصل على سالب ١٥ﺱ زائد تسعة ﺹ زائد ١٢ﻉ. وهذا يساوي سالب ١٥ في سالب اثنين، أي ٣٠، زائد تسعة في ستة، أي ٥٤، زائد ١٢ في سالب تسعة، أي سالب ١٠٨. مجموع هذه القيم الثلاث يساوي سالب ٢٤. بالوصول إلى هذه المرحلة نكون قد أوشكنا على صياغة معادلة المستوى المطلوب على الصورة العامة. كل ما علينا فعله هو إعادة ترتيب الخطوات؛ بحيث يظهر الصفر في الطرف الأيمن من المعادلة.

نلاحظ أنه لفعل ذلك، علينا إضافة ٢٤ إلى كلا الطرفين. ونحصل بذلك على هذه المعادلة. لاحظ أن جميع حدود الطرف الأيسر من هذه المعادلة تقبل القسمة دون باق على سالب ثلاثة. يمكننا إذن قسمة طرفي المعادلة على هذه القيمة. في الطرف الأيمن، لدينا صفر مقسومًا على سالب ثلاثة يساوي صفرًا. لكن في الطرف الأيسر، سيكون لدينا موجب خمسة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ ناقص أربعة ﻉ ناقص ثمانية. إذن، هذه هي الصورة العامة لمعادلة المستوى محل الاهتمام: خمسة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ ناقص أربعة ﻉ ناقص ثمانية يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.