نسخة الفيديو النصية
يمر الخط المستقيم ﻝ واحد عبر النقطتين ثلاثة، ثلاثة؛ وسالب واحد، صفر؛ والخط المستقيم ﻝ اثنان يمر عبر النقطتين سالب ثلاثة، اثنين؛ صفر، سالب اثنين. هل الخطان المستقيمان متعامدان؟
يوجد العديد من الطرق لحل هذه المسألة. وتتمثل إحدى هذه الطرق في أن نبدأ برسم شبكة إحداثيات. نحن نعلم من المعطيات أن الخط المستقيم ﻝ واحد يمر عبر النقطتين ثلاثة، ثلاثة؛ وسالب واحد، صفر كما هو موضح. والخط المستقيم ﻝ اثنان يمر عبر النقطتين سالب ثلاثة، اثنين؛ وصفر، سالب اثنين. المطلوب منا هو تحديد إذا ماكان الخطان المستقيمان متعامدين أم لا. نحن نعلم أن أي مستقيمين يكونان متعامدين، أو يلتقيان عند زاوية قائمة، إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي سالب واحد. في هذه المسألة، سنوجد ميل الخط المستقيم ﻝ واحد، وميل الخط المستقيم ﻝ اثنين، وسنرى إذا ماكان حاصل ضرب هاتين القيمتين يساوي سالب واحد.
نحن نعلم أن ميل أي خط مستقيم يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. ويمكن كتابة ذلك على صورة ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين على ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين، حيث نسمي إحداثيات نقطتين على الخط المستقيم ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. يعرف هذا أحيانًا بفرق الصادات مقسومًا على فرق السينات. هيا نبدأ بتناول الخط المستقيم ﻝ واحد. ميل هذا الخط المستقيم يساوي ثلاثة ناقص صفر على ثلاثة ناقص سالب واحد. ثلاثة ناقص صفر يساوي ثلاثة، وثلاثة ناقص سالب واحد يساوي أربعة؛ لأن هذا يماثل ثلاثة زائد واحد. إذن، ميل الخط المستقيم ﻝ واحد يساوي ثلاثة على أربعة أو ثلاثة أرباع.
يمكننا تكرار ذلك مع الخط المستقيم ﻝ اثنين. الميل هنا يساوي اثنين ناقص سالب اثنين على سالب ثلاثة ناقص صفر. ويمكن تبسيط ذلك إلى أربعة على سالب ثلاثة. بقسمة عدد موجب على عدد سالب، نحصل على ناتج سالب. ومن ثم، فإن ميل الخط المستقيم ﻝ اثنين يساوي سالب أربعة أثلاث. يمكننا الآن ضرب القيمتين معًا. عند ضرب كسرين، نضرب البسطين والمقامين كلًّا على حدة. وبما أننا نضرب كسرًا موجبًا في كسر سالب، فسنحصل على ناتج سالب. وهذا يساوي سالب ١٢ على ١٢، وهو ما يبسط إلى سالب واحد. بما أن حاصل ضرب الميلين يساوي سالب واحد، فيمكننا استنتاج أن إجابة السؤال هي: نعم، هذان الخطان متعامدان. ومع أن الشكل الذي رسمناه يوضح هذا بالفعل، فإنه من المهم أن نتحقق منه باستخدام الإحداثيات.
