فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود الرياضيات

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة ﺹ = ٢ﺱ^٣ + ٦ﺱ^٢ − ١١.

٠٧:١١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ تربيع ناقص ١١.

أول ما علينا التفكير فيه هو ما تعنيه نقاط القيم العظمى والصغرى المحلية. نقاط القيم العظمى والصغرى المحلية، كما هو موضح هنا في هذا الشكل الذي يعبر عن دالة عامة، هي النقاط التي يكون عندها الميل يساوي صفرًا. نلاحظ هنا أنها تمثل نقاط التحول في منحنى الدالة. إذا كانت النقاط تقع حيث الميل يساوي صفرًا، فهذا يعني أن أول ما علينا فعله هو إيجاد دالة الميل للدالة لدينا ثم مساواتها بصفر لنتمكن من إيجاد قيم ﺱ وﺹ عند هذه النقاط.

إذا اشتققنا اثنين ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ تربيع ناقص ١١، فسنحصل على دالة الميل. أي إننا سنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ستة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ. حسنًا، سنسترجع معًا طريقة الاشتقاق، ما فعلناه هنا هو ضرب الأس في المعامل. ولدينا ثلاثة في اثنين، وهو ما يساوي ستة. ثم نطرح واحدًا من الأس، أي ثلاثة ناقص واحد، وهذا يساوي اثنين. ومن ذلك، حصلنا على ستة ﺱ تربيع. سنفعل الشيء نفسه مع الحد الثاني. وبالنسبة إلى الحد الأخير، فسنجد أن لدينا ثابتًا، وإذا اشتققنا سالب ١١، فسنحصل على صفر. حسنًا، أصبحت لدينا الآن دالة الميل.

حسنًا، إذا ساوينا هذه الدالة بصفر، فسنتمكن من إيجاد النقاط الحرجة أو قيم أصفار الدالة؛ حيث تكون قيم ﺱ عند هذه النقاط الحرجة. لإيجاد قيم ﺱ، علينا تحليل المقدار. يمكننا أن نضع ستة ﺱ خارج القوس لأن ستة ﺱ هو عامل مشترك لكل من ستة ﺱ تربيع و١٢ﺱ. وسيكون لدينا داخل القوس ﺱ زائد اثنين.

لقد حصلنا على هاتين القيمتين لأننا نريد أن يكون لدينا إما ستة ﺱ أو ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا لنجعل الناتج الإجمالي يساوي صفرًا. ولجعل ستة ﺱ يساوي صفرًا، يمكننا قول إنه إذا كان ﺱ يساوي صفرًا، فإن ستة ﺱ يساوي صفرًا. ولجعل ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا، يجب أن تكون قيمة ﺱ هي سالب اثنين؛ لأن سالب اثنين زائد اثنين يساوي صفرًا. ولدينا بعد ذلك ستة ﺱ مضروبًا في صفر يساوي صفرًا.

لإيجاد قيم ﺹ — لأننا نريد إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية؛ ومن ثم نريد معرفة قيمة الدالة عند نقاط هذه القيم — سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي سالب اثنين في المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ تربيع ناقص ١١. سنبدأ بـ ﺱ يساوي صفرًا. وبذلك يصبح لدينا ﺹ يساوي اثنين مضروبًا في صفر تكعيب زائد ستة مضروبًا في صفر تربيع ناقص ١١، وهو ما يعطينا قيمة ﺹ، أو قيمة الدالة، وتساوي سالب ١١.

سنعوض بعد ذلك بـ ﺱ يساوي سالب اثنين. وعندما نفعل ذلك، نحصل على اثنين مضروبًا في سالب اثنين تكعيب زائد ستة مضروبًا في سالب اثنين تربيع ناقص ١١، وهو ما يعطينا سالب ١٦ لأن لدينا اثنين مضروبًا في سالب اثنين الكل تكعيب، حيث سالب اثنين تكعيب يساوي سالب ثمانية. وبذلك، يصبح لدينا سالب ١٦ زائد ٢٤ ناقص ١١. وهذا يعطينا قيمة الدالة، وهي سالب ثلاثة.

وبذلك، نكون قد أوجدنا القيم العظمى والصغرى المحلية لدينا. لكن ما علينا فعله هو تحديد ما إذا كانت هذه القيم عظمى أم صغرى. وللقيام بذلك، سنستخدم المشتقة الثانية.

لإيجاد المشتقة الثانية، علينا اشتقاق دالة الميل. هذا يعني أن علينا اشتقاق ستة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ١٢ﺱ زائد ١٢. لكن لماذا تعتبر هذه الطريقة مفيدة؟ إنها مفيدة لأننا إذا عوضنا بقيمتي ﺱ اللتين أوجدناهما سابقًا، فسنتمكن من تحديد ما إذا كانت النقاط لدينا قيم عظمى أم صغرى.

يرجع السبب في ذلك إلى أنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية أكبر من صفر، فإنها ستكون قيمة صغرى. وإذا كانت أصغر من صفر، فستكون قيمة عظمى. إذن ما سنفعله الآن هو التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي سالب اثنين في ١٢ﺱ زائد ١٢. وبذلك نحصل على ١٢ مضروبًا في صفر زائد ١٢، وهو ما يساوي ١٢. ومن ثم، نعرف أن هذه ستكون قيمة صغرى؛ لأنها أكبر من صفر.

أما إذا عوضنا بسالب اثنين، فسيكون لدينا ١٢ مضروبًا في سالب اثنين، وهو ما يساوي سالب ٢٤ زائد ١٢؛ أي سالب ١٢. وهذه قيمة عظمى محلية لأنها أصغر من صفر. إذن، يمكننا القول إن الدالة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ تربيع ناقص ١١ لها قيمة صغرى محلية عند سالب ١١ وقيمة عظمى محلية عند سالب ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.