تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: رسم الدالة كثيرة الحدود

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية رسم منحنى دالة كثيرة الحدود باستخدام جدول القيم، وتحديد أصفار الدالة، مع أمثلة توضيحية.

٠٧:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن رسم الدوال كثيرة الحدود. هدفنا مِ الفيديو إن إحنا نعرف إزّاي نرسم دالة كثيرة الحدود. علشان نرسم دالة كثيرة الحدود، فإحنا محتاجين نقط مختلفة نوصّلها مع بعض، علشان نرسم منحنى متصل بيعبّر عن الدالة. وعلشان نحدّد النقط دي، فإحنا أول حاجة بنعمل جدول، بنسميه جدول القيم.

في الجدول ده، بنفرض قيم المتغيّر اللي موجود في الدالة. بحيث إنها تكون موجودة في المجال بتاعها. يعني تبقى قيم حقيقية. بعد كده بجيب القيمة المقابلة لكل قيمة فرضناها. بعد كده كل قيمة فرضناها، وكل قيمة مقابلة ليها، هيعملوا زوج مرتب. تمثيله هيبقى عبارة عن نقطة في المستوى الإحداثي. وبكده هيبقى معانا نقط مختلفة، نقدر نوصّل ما بينها، علشان نرسم المنحنى المتصل بتاع الدالة.

هنبدأ نشوف إزّاي نرسم دالة كثيرة الحدود، من خلال مثال. هيظهر لنا مثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نستخدم جدول القيم. علشان نرسم الدالة: د س تساوي سالب س أُس أربعة، زائد س تكعيب، زائد تلاتة س تربيع، زائد اتنين س.

أول خطوة هنرسم الجدول اللي هيظهر لنا. بعد ما رسمنا الجدول، هنبدأ نفرض قيم حقيقية للمتغير س، اللي موجود في الدالة عندنا. بعد كده هنكمّل الجدول اللي عندنا، بإن إحنا هنجيب القيمة المقابلة، لكل قيمة فرضناها للمتغير س. وده هيكون من خلال إن إحنا هنعوّض في الدالة الأصلية، بقيمة س. ونشوف قيمة الدالة د س. وبكده يبقى إحنا جِبنا القيمة المقابلة لكل قيمة فرضناها للمتغير س.

بكده بعد ما كمّلنا الجدول، هتبقى كل قيمة لِـ س، والقيمة المقابلة ليها لدالة س، هيبقى عبارة عن زوج مرتب. هنبدأ نمثّله في المستوى الإحداثي. فهيظهر لنا المستوى الإحداثي. بعد كده هنحدّد كل نقطة موجودة عندنا في المستوى الإحداثي، زيّ ما هيظهر لنا في الشكل. بعد ما حدّدنا النقط، هنوصّل ما بينها، علشان نرسم المنحنى المتصل بتاع الدالة. وهيساعدنا كمان في رسم المنحنى، إن إحنا نبقى عارفين سلوك الطرفين بتوع التمثيل البياني للدالة دي. فهنوصّل ما بين النقط، زي ما هيظهر لنا في الشكل. بكده يبقى إحنا قدرنا نرسم الدالة اللي عندنا.

هنلاحظ من خلال التمثيل البياني للدالة، إن التمثيل البياني قطع محور السينات في نقطتين. وبالتالي هيبقى عندنا صفرين حقيقيين للدالة دي. كمان من خلال التمثيل البياني للدالة، هنقدر نحدّد سلوك الطرفين بتوع التمثيل البياني. فهنلاقي إن دالة س بتقترب من سالب ما لا نهاية، لمّا الـ س تقترب من سالب ما لا نهاية. وكمان هنلاقي إن دالة س تقترب من سالب ما لا نهاية، لمّا الـ س تقترب من ما لا نهاية. وده هيتفق مع السلوك اللي هنقدر نحدّده من خلال الدرجة بتاعة الدالة اللي عندنا، وكمان الإشارة بتاعة المعامل الرئيسي بتاعها.

فبالنسبة لدرجة الدالة، هتبقى أربعة. يعني هتبقى الدالة دي درجتها زوجية. أمّا المعامل الرئيسي، فهتبقى إشارته سالبة. وبالتالي هيبقى سلوك الطرفين بتوع التمثيل البياني، إن دالة س هتقترب من سالب ما لا نهاية، لمّا الـ س تقترب من سالب ما لا نهاية. وإن دالة س هتقترب من سالب ما لا نهاية، لمّا س تقترب من ما لا نهاية. وهو ده فعلًا اللي لقيناه، من خلال التمثيل البياني للدالة اللي عندنا.

كمان في المثال اللي عندنا، هنلاقي إن فيه صفرين حقيقيين للدالة. واحد عند س تساوي صفر. والتاني ما بين س تساوي اتنين ونص، وَ س تساوي تلاتة. وده لأن دالة س موجبة، لمّا الـ س بتساوي اتنين ونص. ودالة س سالبة، لمّا س تساوي تلاتة. فلمّا هنرجع للتمثيل البياني اللي عندنا، هنلاقي إن الدالة متصلة، وإن فيه صفر ما بين اتنين ونص، وتلاتة. نقدر نستنتج إن لمّا قيمة دالة س إشارتها تتغير عند قيمتين متتاليتين للمتغير س، ده معناه إن فيه صفر للدالة بين القيمتين دول. وبالتالي نقدر نحدّد أصفار الدالة. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا مثال.

في المثال اللي عندنا، عايزين نحدّد قيمتين صحيحتين متتاليتين لِـ س. يقع بين كلّ منهما صفر حقيقي للدالة: د س تساوي س تكعيب، ناقص أربعة س تربيع، زائد تلاتة س، زائد واحد. وبعدين عايزين نرسم الدالة.

أول حاجة هنرسم جدول القيم. فهيظهر لنا جدول القيم. بعد ما رسمنا الجدول، هنبدأ نفرض قيم حقيقية للمتغير س. بعد كده هنجيب القيم المقابلة لكل قيمة فرضناها للدالة د س، زيّ ما هيظهر لنا. كده إحنا عملنا جدول القيم. بالنسبة بقى للدالة اللي عندنا، فهي دالة من الدرجة التالتة. يعني فردية الدرجة. معنى كده إن الدالة دي هيبقى أقصى عدد للأصفار الحقيقية هو تلاتة. وأقل عدد هو واحد. فهنبدأ نرجع للقيم بتاعة الدالة د س، اللي في الجدول اللي عندنا؛ علشان نحدّد.

فهنشوف في الجدول اللي عندنا، حصل فين تغيُّر في الإشارة بتاع الدالة د س. فهنلاقي إن حصل هنا تغيُّر في الإشارة. وكمان هنا. وكمان هنا. ومعنى التغير في الإشارة، إن فيه صفر من أصفار الدالة موجود ما بين القيمتين اللي حصل عندهم التغير ده. يعني هيبقى عندنا تلات أصفار للدالة. وده لأن إحنا عندنا تلات تغييرات في الإشارة.

أول صفر هيكون بين س تساوي سالب واحد، وَ س تساوي صفر. تاني صفر هيكون بين س تساوي واحد، وَ س تساوي اتنين. وتالت صفر هيكون بين س تساوي اتنين، وَ س تساوي تلاتة. بكده يبقى إحنا حدّدنا القيمتين الصحيحتين المتتاليتين للمتغير س، اللي هيقع ما بينهم صفر حقيقى للدالة. هنرسم الدالة في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا المثال اللي إحنا بنحلّه.

علشان نرسم الدالة، فإحنا هنستخدم جدول القيم اللي عندنا. علشان نحدّد النقط المختلفة اللي هنوصّل ما بينها، علشان نرسم منحنى الدالة. فهيظهر لنا منحنى الدالة مرسوم في المستوى الإحداثي. نقدر من خلال التمثيل البياني اللي عندنا، إن إحنا نحدّد الأصفار بتاعة الدالة. ففيه صفر هيكون هنا. وفيه صفر كمان هيكون هنا. وفيه صفر كمان هيكون هنا. يعني فيه صفر موجود ما بين سالب واحد، وصفر. وفيه صفر كمان موجود ما بين واحد، واتنين. وكمان فيه صفر موجود ما بين اتنين، وتلاتة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزّاي نرسم دالة كثيرة الحدود. بإن إحنا أول حاجة كنا بنعمل جدول. في الجدول ده بنفرض قيم للمتغير اللي موجود في الدالة. بحيث إنها تكون موجودة في المجال بتاعها. يعني تبقى قيم حقيقية. بعد كده بنجيب القيم المقابلة لكل قيمة فرضناها. وبكده يبقى إحنا وصلنا لنقط مختلفة، نقدر نوصّل ما بينها، علشان نرسم المنحنى المتصل بتاع الدالة. وكمان عرفنا إن لمّا يحصل تغيُّر في إشارة الدالة، ده معناه إن فيه صفر حقيقى للدالة بين القيمتين بتوع المتغيّر، اللي عندهم حصل تغيُّر في الإشارة.