نسخة الفيديو النصية
استخدم خواص المحددات لإيجاد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: سالب ثمانية، سالب تسعة، صفر؛ ستة، اثنان، صفر؛ سالب خمسة، ثمانية، صفر.
في هذا السؤال، المطلوب منا إيجاد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. ونعلم من المعطيات أنه يمكننا فعل ذلك باستخدام خواص المحددات. هذا لأنه يمكننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة باستخدام تعريف المحدد. وهذا سيعطينا الإجابة الصحيحة. لكن، يمكننا تبسيط هذه العملية إذا استخدمنا إحدى خواص المحددات، وعلى وجه التحديد، علينا ملاحظة أن جميع عناصر العمود الثالث في هذه المصفوفة تساوي أصفارًا. كما نتذكر أنه يمكننا إيجاد قيمة المحدد عن طريق الفك باستخدام أي صف أو عمود في المصفوفة. ومن الجيد عادة أن تختار الصف أو العمود الذي يتضمن أكبر عدد من الأصفار؛ لأن هذا سيؤدي إلى حذف معظم الحدود.
على وجه التحديد، يمكننا أن نتذكر تعريف المحددات التالي؛ حيث نفك باستخدام العمود الثالث. إن محدد المصفوفة ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة يساوي المجموع من ﻥ يساوي واحدًا إلى ثلاثة لسالب واحد أس ﻥ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺃﻥ ثلاثة في المصفوفة الصغرى ﺃ عند ﻥ ثلاثة. وتحديدًا، نلاحظ أن جميع هذه الحدود تشترك في العامل ﺃﻥ ثلاثة، وهذه هي الحدود الموجودة في العمود الذي سنفك المحدد باستخدامه. في هذه الحالة، جميع هذه الحدود تساوي أصفارًا. ومن ثم، إذا طبقنا تعريف المحدد هذا على المصفوفة المعطاة في السؤال، فسنجد أن جميع الحدود لها عامل يساوي صفرًا. إذن، المحدد يساوي صفرًا.
جدير بالذكر أن هذه النتيجة تظل صحيحة بوجه عام. فإذا كان لدينا مصفوفة مربعة يتضمن أحد صفوفها أو أعمدتها أصفارًا فقط، فيمكننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة عن طريق الفك باستخدام صف أو عمود يتضمن أصفارًا. إذن، كل حد في المحدد يتضمن عاملًا يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا. بذلك، نكون قد تمكنا من إثبات أن محدد المصفوفة المعطى في السؤال يساوي صفرًا.
