فيديو الدرس: العمليات على الأعداد المركبة في الصورة القطبية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

نعلم مسبقًا الصورة القطبية للعدد المركب. وتعرف أيضًا باسم الصورة المثلثية أو صورة المقياس والسعة. ونعلم كيف نميز أن العدد المركب مكتوب بهذه الصورة، وكيف نحول بين هذه الصورة والصورة ﺃ زائد ﺏﺕ ، المعروفة باسم الصورة الجبرية الإحداثية أو الكارتيزية للعدد المركب. لكننا لا نعرف بعد السبب الذي يجعلنا نكتب عددًا مركبًا على الصورة القطبية. ما الذي يجعل الصورة القطبية أفضل من الصورة الجبرية؟ تتمثل الإجابة، أو جزء من الإجابة، في أن الصورة القطبية تتيح لنا إجراء عملية الضرب بسهولة.

إذن، لنسترجع أولًا الصورة القطبية للعدد المركب. وهي: ﻉ يساوي ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃؛ حيث ﻝ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا. بكتابة ﻉ على هذه الصورة، يمكن أن نستخلص المقياس والسعة. مقياسه هو قيمة ﻝ. وسعته هي قيمة 𝜃. ولهذا السبب، تعرف الصورة القطبية أيضًا بصورة المقياس والسعة. وأفضل سبيل إلى فهم ذلك هو استخدام مخطط أرجاند. المقياس ﻝ هو المسافة بين النقطة ﻉ ونقطة الأصل صفر. والسعة 𝜃 هي قياس الزاوية التي يصنعها المتجه من الصفر إلى ﻉ مع المحور الحقيقي الموجب، عندما تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. أريد أن أوضح لك كيف تسهل الصورة القطبية من عملية الضرب. سنحتاج إلى عددين مركبين.

لنسم هذا ﻉ واحد بدلًا من ﻉ فقط، بحيث يكون مقياسه ﻝ واحد وسعته 𝜃 واحد، ثم نكتب العدد المركب الثاني، ﻉ اثنين، الذي مقياسه ﻝ اثنان وسعته 𝜃 اثنان، ليصبح ﻝ اثنان في جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 على الصورة القطبية. وبذلك، يصبح لدينا تعبير بسيط جدًا لحاصل ضرب ﻉ واحد وﻉ اثنين في الصورة القطبية. وهو ﻝ واحد ﻝ اثنان في جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. هذا هو حاصل الضرب على الصورة القطبية؛ حيث المقياس يساوي ﻝ واحد في ﻝ اثنين. وهو حاصل ضرب مقياسي ﻉ واحد وﻉ اثنين. والسعة تساوي 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين، وهو مجموع سعتي ﻉ واحد وﻉ اثنين. ومن ثم، فإننا نضرب قيم المقياس ولكننا نجمع قيم السعة. وهذا يعطينا تفسيرًا هندسيًا لحاصل ضرب عددين مركبين على مخطط أرجاند.

يمكن أن نتخيل تأثير ضرب ﻉ واحد في ﻉ اثنين. نحصل على العدد المركب ﻉ واحد ﻉ اثنين، الذي مقياسه ﻝ اثنان في مقياس ﻉ واحد، وسعته تزيد بمقدار 𝜃 اثنين عن سعة ﻉ واحد. إذن، الضرب في ﻉ اثنين يحول المستوى المركب بمعامل مقياس تمدد مقداره ﻝ اثنان، ثم دوران مقداره 𝜃 اثنان عكس اتجاه عقارب الساعة. وعمومًا، فهذا موضوع خارج نطاق الفيديو وسنناقشه لاحقًا. ولكن، ربما ترغب في معرفة ما يحدث عندما يكون ﻉ اثنان عددًا حقيقيًا موجبًا، أو عددًا حقيقيًا سالبًا، أو ﺕ ، أو عددًا تخيليًا.

لقد وضعنا هذا الافتراض بخصوص ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية. والآن علينا أن نثبته. وأول ما نفعله لإثبات ذلك هو استخدام التعبيرين ﻉ واحد وﻉ اثنين في الصورة القطبية. يمكن أن نعيد ترتيب العوامل بحيث يظهر ﻝ اثنان بجانب ﻝ واحد. والآن علينا أن نفكر في الحدود داخل الأقواس. هذه عملية ضرب عددين مركبين على الصورة الجبرية. لدينا جتا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ في جتا 𝜃 واحد جا 𝜃 اثنين، لاحظ كيف أننا أعدنا ترتيب العوامل بحيث يكون ﺕ في المقدمة، زائد ﺕ جا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ تربيع جا 𝜃 واحد جا 𝜃 اثنين. ‏‏ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. ومن ثم، يصبح هذا ناقص جا 𝜃 واحد جا 𝜃 اثنين في النهاية. باستخدام هذه الحقيقة، يمكننا تجميع الحدود الحقيقية والحدود التخيلية.

والآن، في الجزء الرئيسي في الإثبات، نميز الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية من متطابقات مجموع الزوايا المثلثية. الجزء الحقيقي هو جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. والجزء التخيلي بعد تبديل الحدود هو جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. وهذا ما نريد إثباته. يبدو أن هذه المتطابقات المثلثية ظهرت لنا من العدم لتعطينا إجابة سهلة لدرجة غير متوقعة. حيث حصلنا على ﻉ واحد في ﻉ اثنين على الصورة القطبية. وبذلك، يمكن أن نستخلص المقياس والسعة. المقياس هو ﻝ واحد في ﻝ اثنين. والسعة هي 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين.

والآن، إذا نظرنا مرة أخرى إلى الافتراض، نجد أن ﻝ واحد هو مقياس ﻉ واحد، وﻝ اثنين هو مقياس ﻉ اثنين. إذن مقياس ﻉ واحد في ﻉ اثنين يساوي مقياس ﻉ واحد في مقياس ﻉ اثنين. مقياس حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب المقياسين. وبالمثل، 𝜃 واحد هي سعة ﻉ واحد، و𝜃 اثنان هي سعة ﻉ اثنين. إذن سعة ﻉ واحد في ﻉ اثنين يساوي سعة ﻉ واحد زائد سعة ﻉ اثنين. وبما أننا نعرف مقياس حاصل الضرب وسعته، يمكننا كتابته على الصورة القطبية. إذن، هاتان الحقيقتان معًا تتفقان مع الافتراض الذي أثبتناه. والآن بعد أن أثبتنا هذا الافتراض، دعونا نطبقه.

إذا كان ﻉ واحد يساوي اثنين في جتا 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا 𝜋 على ستة، وﻉ اثنان يساوي واحد على جذر ثلاثة في جتا 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا 𝜋 على ثلاثة، فأوجد ﻉ واحد في ﻉ اثنين.

إذا كان ﻉ واحد يساوي ﻝ واحد في جتا 𝜃 واحد زائد ﺕ جا 𝜃 واحد، وﻉ اثنان يساوي ﻝ اثنين في جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 اثنين، فإن ﻉ واحد في ﻉ اثنين يساوي ﻝ واحد في ﻝ اثنين في جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. بمقارنة ما لدينا في المسألة بهذه الصيغة، نجد أن ﻝ واحد يساوي اثنين. وﻝ اثنين يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. ومن ثم، فإن مقياس حاصل الضرب، ﻝ واحد في ﻝ اثنين، يساوي اثنين في واحد على جذر ثلاثة. ماذا عن السعة؟ حسنًا، نلاحظ أن 𝜃 واحد تساوي 𝜋 على ستة. و𝜃 اثنين تساوي 𝜋 على ثلاثة. والسعة هي مجموعهما، وتساوي 𝜋 على ستة زائد 𝜋 على ثلاثة. والآن كل ما علينا هو تبسيط المقدار. اثنان في واحد على جذر ثلاثة يساوي اثنين على جذر ثلاثة. ويمكننا إنطاق المقام — إن أردنا — عن طريق ضرب البسط والمقام في جذر ثلاثة، لنحصل بذلك على اثنين جذر ثلاثة على ثلاثة. ماذا عن السعة؟ يمكن أن نكتب 𝜋 على ثلاثة في صورة اثنين 𝜋 على ستة. وبذلك، تصبح السعة ثلاثة 𝜋 على ستة أو 𝜋 على اثنين.

وبالتعويض، نجد أن حاصل الضرب الذي نريد إيجاده يساوي اثنين جذر ثلاثة على ثلاثة في جتا 𝜋 على اثنين زائد ﺕ جا 𝜋 على اثنين. سنحتفظ بالناتج في صورته القطبية على الرغم من أننا يمكننا معرفة قيمتي جتا 𝜋 على اثنين وجا 𝜋 على اثنين. أتمنى أن تكون قد أدركت بعد هذا المثال سهولة ضرب عددين على الصورة القطبية. فكل ما عليك هو أن تضرب مقياسيهما وتجمع سعتيهما. وهذا أسهل من ضرب عددين على الصورة الجبرية.

لنر مثالًا آخر.

إذا كان ﻉ واحد يساوي سبعة في جتا 𝜃 واحد زائد ﺕ جا 𝜃 واحد، وﻉ اثنان يساوي ١٦ في جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 اثنين، و𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين يساوي 𝜋، فما حاصل ضرب ﻉ واحد في ﻉ اثنين؟

حسنًا، نعلم أن مقياس ﻉ واحد في ﻉ اثنين يساوي مقياس ﻉ واحد، وهو سبعة، مضروبًا في مقياس ﻉ اثنين. وهذا يساوي ١٦. وسبعة في ١٦ يساوي ١١٢. كما نعلم أن سعة ﻉ واحد في ﻉ اثنين تساوي سعة ﻉ واحد زائد سعة ﻉ اثنين. سعة ﻉ واحد تساوي 𝜃 واحد. وسعة ﻉ اثنين تساوي 𝜃 اثنين. وبذلك، نحصل على 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين، والمذكور في المسألة أن مجموعهما يساوي 𝜋. نعلم الآن مقياس وسعة حاصل الضرب. ومن السهل أن نكتبه على الصورة القطبية. إذا كان مقياس ﻉ يساوي ﻝ، وسعة ﻉ تساوي 𝜃؛ فيمكننا كتابة ﻉ على الصورة القطبية ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. وهنا، ﻝ يساوي ١١٢. و𝜃 تساوي 𝜋. وبالتعويض، نجد أن ﻉ واحد في ﻉ اثنين يساوي ١١٢ في جتا 𝜋 زائد ﺕ جا 𝜋. هذه هي الإجابة مكتوبة على الصورة القطبية.

ويمكننا أيضًا أن نقول إن الإجابة تساوي سالب ١١٢. وهي إجابة مقبولة أيضًا. وكان من الممكن أن نحصل على هذه القيمة إما استنادًا إلى الحقيقة التي تقول إن جتا 𝜋 يساوي سالب واحد وجا 𝜋 يساوي صفرًا، أو استنادًا إلى حقيقة أنه إذا كانت سعة عدد مركب تساوي 𝜋، فإنه يكون عددًا حقيقيًا سالبًا. وبالتأكيد، العدد الحقيقي السالب الوحيد الذي مقياسه يساوي ١١٢ هو سالب ١١٢.

وهكذا رأينا أن استخدام الصورة القطبية للعدد المركب تسهل إجراء عملية الضرب. وينطبق الأمر نفسه على القسمة. إذا كان ﻉ واحد يساوي ﻝ واحد في جتا 𝜃 واحد زائد ﺕ جا 𝜃 واحد، وﻉ اثنان يساوي ﻝ اثنين في جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 اثنين، فإن ﻉ واحد على ﻉ اثنين، خارج قسمة ﻉ واحد على ﻉ اثنين، يساوي ﻝ واحد على ﻝ اثنين في جتا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين. أو بعبارة أخرى، مقياس خارج قسمة عددين مركبين يساوي خارج قسمة مقياسيهما. وسعة خارج قسمة عددين مركبين تساوي الفرق بين سعتيهما. إذن، علينا إثبات هذه العبارة المكافئة.

لإثبات هذه العبارة، سنستخدم ما نعرفه عن مقياس وسعة حاصل ضرب عددين مركبين. إذا كان لدينا عددان مركبان، ﻉ ثلاثة وﻉ أربعة، فإننا نعلم أن مقياس حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب مقياسيهما. وسعة حاصل ضربهما تساوي مجموع سعتيهما. لقد أثبتنا هذا بالفعل. الفكرة الأساسية لهذا الإثبات هي أن نفترض أن ﻉ ثلاثة يساوي ﻉ واحد على ﻉ اثنين، وأن ﻉ أربعة يساوي ﻉ اثنين. وبالتعويض، نجد أن مقياس ﻉ واحد على ﻉ اثنين في ﻉ اثنين يساوي مقياس ﻉ واحد على ﻉ اثنين في مقياس ﻉ اثنين. في الطرف الأيمن يحذف حدا ﻉ اثنين معًا. وبذلك، يتبقى مقياس ﻉ واحد فقط في الطرف الأيمن. والآن نعيد ترتيب هذا المقدار بحيث نجعل مقياس ﻉ واحد على ﻉ اثنين المتغير التابع. وعندئذ، نحصل على مقياس ﻉ واحد على مقياس ﻉ اثنين، وهو المطلوب.

والآن، علينا أن نفعل الشيء نفسه مع السعة. بالتعويض بـ ﻉ واحد على ﻉ اثنين عن ﻉ ثلاثة، وبالتعويض بـ ﻉ اثنين عن ﻉ أربعة، نجد أن سعة ﻉ واحد على ﻉ اثنين في ﻉ اثنين تساوي سعة ﻉ واحد على ﻉ اثنين زائد سعة ﻉ اثنين. ومرة أخرى، يحذف حدا ﻉ اثنين معًا في الطرف الأيمن. وبذلك تتبقى سعة ﻉ واحد فقط في الطرف الأيمن. وبإعادة ترتيب المقدار، نجد أن سعة ﻉ واحد على ﻉ اثنين تساوي سعة ﻉ واحد ناقص سعة ﻉ اثنين، وهذا هو المطلوب. وبذلك، نكون قد أثبتنا هذه العبارة المكافئة، وأوجدنا مقياس خارج القسمة وسعته. وباستخدام المقياس والسعة، يمكننا كتابة خارج قسمة ﻉ واحد على ﻉ اثنين بالصورة القطبية. ويمكن أيضًا إثبات هذه العبارة، كما في حالة الضرب تمامًا، عن طريق كتابة خارج قسمة العددين المركبين على الصورة القطبية. وهذه الطريقة أبسط، لكنها تتضمن الكثير من العمليات الجبرية. على أية حال، لقد عرفنا كيف نقسم عددين مركبين على الصورة القطبية، ولنطبق على بعض المسائل.

إذا كان ﻉ واحد يساوي ٢٠ في جتا 𝜋 على اثنين زائد ﺕ جا 𝜋 على اثنين، وﻉ اثنان يساوي أربعة في جتا 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا 𝜋 على ستة، فأوجد ﻉ واحد على ﻉ اثنين في الصورة القطبية.

نعلم عمومًا أن مقياس خارج قسمة عددين مركبين يساوي خارج قسمة مقياسيهما. ومن ثم، يمكن أن نستخلص المقياسين. وهما ٢٠ وأربعة. إذن، مقياس خارج القسمة يساوي ٢٠ مقسومًا على أربعة، أي خمسة. ويمكن أن نستخدم الحقيقة التي تقول إن سعة خارج القسمة تساوي الفرق بين السعتين، وهما هنا: 𝜋 على اثنين، و𝜋 على ستة. ويمكن أن نكتب 𝜋 على اثنين بحيث يكون المقام ستة. وبذلك، يصبح الكسر ثلاثة 𝜋 على ستة. إذن الفرق يساوي اثنين 𝜋 على ستة، وهو ما يساوي 𝜋 على ثلاثة. وهذه هي سعة خارج القسمة. والآن بعد أن حصلنا على المقياس والسعة، يمكن أن نكتب خارج القسمة على الصورة القطبية. ‏‏ﻉ واحد على ﻉ اثنين يساوي خمسة في جتا 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا 𝜋 على ثلاثة. أليست هذه الطريقة أسهل من قسمة عددين مركبين على الصورة الجبرية، حيث يتعين ضرب كل من البسط والمقام في مرافق العدد المركب في المقام؟ أعتقد أنها كذلك.

إذا كان ﻉ يساوي جتا سبعة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا سبعة 𝜋 على ستة، فأوجد قيمة واحد على ﻉ.

يمكننا القسمة هنا بطريقة قسمة عددين مركبين في الصورة الجبرية، وذلك باستخدام مرافق هذا العدد المركب لنجعل المقام عددًا حقيقيًا. لكن ﻉ أيضًا مكتوب على الصورة القطبية. ومقياسه واحدًا ليس مكتوبًا بشكل صريح. لكن يمكننا كتابته كذلك. ونلاحظ أن السعة تساوي سبعة 𝜋 على ستة. إذا كتبنا واحدًا على الصورة القطبية، فسنحصل على خارج قسمة عددين مركبين على الصورة القطبية، ونعرف كيف نحسب قيمته. مقياس واحد يساوي واحدًا. وفي الواقع سعة واحد، أو أي عدد حقيقي موجب آخر، تساوي صفرًا. إذن واحد على الصورة القطبية يساوي واحدًا في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر.

الآن، علينا إيجاد مقلوب ﻉ. وهو واحد على ﻉ. يمكننا كتابة كل من واحد وﻉ على الصورة القطبية. مقياس خارج قسمتهما يساوي واحدًا على واحد، وهو ما يساوي واحدًا. وسعتهما تساوي الفرق بين السعتين. وهذا يساوي صفرًا ناقص سبعة 𝜋 على ستة، أي سالب سبعة 𝜋 على ستة. لا نحتاج إلى أن نكتب مقياس العدد واحد بشكل صريح. يمكن أن نكتب واحدًا على ﻉ يساوي جتا سالب سبعة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا سالب سبعة 𝜋 على ستة. وهذا هو الناتج النهائي.

وهكذا رأينا أن استخدام الصورة القطبية للأعداد المركبة يسهل إجراء عمليتي الضرب والقسمة. فلا تتطلب منا الكثير من الخطوات. لكننا لم نعرف كيف نجمع أو نطرح عددين مركبين على الصورة القطبية. وهذا لأن جمع وطرح عددين مركبين على الصورة القطبية أصعب بشكل عام من جمع وطرح عددين مركبين على الصورة الجبرية. لجمع عددين مركبين على الصورة الجبرية، عليك فقط أن تجمع الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية، وبالمثل في حالة الطرح. وهكذا هو الأمر ببساطة.

عند جمع أو طرح عددين مركبين على الصورة القطبية، فمن الأفضل عمومًا أن تحولهما إلى الصورة الجبرية قبل الجمع أو الطرح، ثم تحولهما مجددًا إلى الصورة القطبية إن طلب ذلك. قبل أن نختتم هذا الفيديو، سنرى عملية أخرى يمكن أن تسهل علينا الصورة القطبية إجراءها. وهي عملية الرفع لقوى، والتي تتضمن إيجاد قوى عدد مركب. سنلقي نظرة سريعة على الموضوع، يمكنك أن تقرأ عنه بالتفصيل لاحقًا.

افترض أن العدد المركب ﻉ يساوي واحدًا زائد ﺕ جذر ثلاثة.

مهمتنا الأولى هي إيجاد مقياس ﻉ. وهي مهمة سهلة ومباشرة. نعلم أن مقياس ﺃ زائد مقياس ﺏﺕ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد 𝑏 تربيع. وبالتعويض بواحد عن ﺃ وبجذر ثلاثة عن 𝑏، نحصل على الجذر التربيعي لواحد زائد ثلاثة، أي الجذر التربيعي لأربعة، وهو ما يساوي اثنين. أما سعة ﻉ، فنلاحظ أن ﻉ يقع في الربع الأول. إذن يمكن أن نوجد سعته 𝜃 باستخدام الدالة العكسية للظل. وبالتعويض مرة أخرى، نجد أن السعة تساوي الدالة العكسية لظل جذر ثلاثة على واحد، وهو ما يساوي بالآلة الحاسبة 𝜋 على ثلاثة. ومن ثم، هذا يعني أنه استنادًا إلى النتائج السابقة، علينا استخدام خصائص ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية لإيجاد مقياس وسعة ﻉ تكعيب.

دعنا لا نتسرع ونحسب ﻉ تكعيب مباشرة، بل سنحسب أولًا ﻉ تربيع. ‏‏ﻉ تربيع عبارة عن ﻉ في ﻉ. ونعلم أن مقياس حاصل ضرب عددين مركبين يساوي حاصل ضرب مقياسيهما. وبذلك، نجد أن مقياس مربع ﻉ يساوي مقياس ﻉ تربيع. ماذا عن سعة ﻉ في ﻉ؟ إنها تساوي سعة ﻉ زائد سعة ﻉ أو اثنين في سعة ﻉ. ويمكننا الآن حساب قيمة ﻉ تكعيب. سنستخدم الحقيقة التي تفيد بأن ﻉ تكعيب يساوي ﻉ في ﻉ تربيع. وبذلك، مقياس ﻉ تكعيب يساوي مقياس ﻉ في مقياس ﻉ تربيع، والذي نعلم أنه يساوي مقياس ﻉ تربيع. ومن ثم، نجد أن مقياس مكعب عدد مركب يساوي مكعب المقياس لهذا العدد المركب. سنستخدم نفس الحيلة لإيجاد سعة ﻉ تكعيب؛ حيث نكتب ﻉ تكعيب على صورة ﻉ في ﻉ تربيع، ونستعين بما نعرفه عن سعة حاصل الضرب وسعة ﻉ تربيع، لنجد أن سعة مكعب عدد مركب تساوي ثلاثة في سعة هذا العدد المركب.

والآن علينا التعويض بالقيمة المعلومة لكل من مقياس ﻉ وسعة ﻉ. مقياس ﻉ يساوي اثنين. إذن، مقياس ﻉ تكعيب يساوي ثمانية. وسعة ﻉ تساوي 𝜋 على ثلاثة. إذن، سعة ﻉ تكعيب تساوي 𝜋. وأخيرًا، نوجد قيمة ﻉ تكعيب. نعلم مقياس وسعة ﻉ تكعيب. وبذلك، يمكن أن نكتب ﻉ تكعيب على الصورة القطبية. وتساوي ثمانية في جتا 𝜋 زائد ﺕ جا 𝜋. أو يمكن أن نستخدم الحقيقة التي تقول إن جتا 𝜋 يساوي سالب واحد، وجا 𝜋 يساوي صفرًا، وبذلك نكتب ﻉ تكعيب يساوي سالب ثمانية.

والأهم من الناتج النهائي هو ما اكتشفناه أثناء التوصل إليه، وأعني بذلك التعبيرات الخاصة بمقياس وسعة ﻉ تكعيب. فقد توصلنا إلى تعبير موجز للغاية لمكعب العدد المركب على الصورة القطبية. وتعد هذه حالة خاصة من نظرية ديموافر، التي سنتناولها بمزيد من التفصيل لاحقًا.

والآن، إليك أهم النقاط التي تناولناها في هذا الفيديو. إجراء العمليات الحسابية التي تتضمن الضرب والقسمة يكون أسهل عند العمل عليها في الصورة القطبية. لكن هذا الأمر لا ينطبق بالطبع على الجمع والطرح. وفيما يتعلق بعددين مركبين؛ حيث ﻉ واحد يساوي ﻝ واحد في جتا 𝜃 واحد زائد ﺕ جا 𝜃 واحد، وﻉ اثنان يساوي ﻝ اثنين في جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 اثنين، تنطبق القواعد الآتية. حاصل ضربهما، ﻉ واحد وﻉ اثنان، يساوي ﻝ واحد في ﻝ اثنين في جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. وخارج قسمتهما، ﻉ واحد على ﻉ اثنين، يساوي ﻝ واحد على ﻝ اثنين في جتا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين. ومن هاتين الصيغتين، يمكننا أن نستخلص كلًا من مقياس وسعة حاصل ضرب وخارج قسمة عددين مركبين. مقياس حاصل ضرب عددين مركبين يساوي حاصل ضرب مقياسيهما. وسعة حاصل ضرب عددين مركبين تساوي مجموع سعتيهما. مقياس خارج قسمة عددين مركبين يساوي خارج قسمة مقياسيهما. وسعة خارج القسمة تساوي الفرق بين سعتيهما.