فيديو: تحليل العدد إلى عوامله الأولية

يوضح الفيديو مفهوم الأعداد الأولية، والأعداد غير الأولية، وكيفية تحليل العدد إلى عوامله الأولية باستخدام طريقة الرسم الشجري، مع أمثلة توضيحية.

١٤:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم عن الأعداد الأوّلية والأعداد غير الأوّلية. وهنعرف إزاي نحلّل أيّ عدد إلى عوامله الأوّلية. وهنحلّ بعض الأمثلة.

وفي الأول، هنشوف مثال نتعرّف منه على الأعداد الأوّلية والأعداد غير الأوّلية. بكم طريقة يمكن لموظّف في محلّ مجوهرات أن يعرض اتناشر خاتمًا في صفوف متساوية؟

فأول طريقة عندنا، ممكن إننا نرتّب الاتناشر خاتم كلهم في صفّ واحد. فيبقى زيّ الشكل اللي قدامنا ده. عندنا صفّ واحد، والصفّ ده فيه اتناشر خاتم.

وفيه عندنا طريقة تانية ممكن نرتّب بيها الاتناشر خاتم؛ فمثلًا ممكن نرتّبهم في صفّين، وكل صفّ فيه ست خواتم. فيبقى زيّ الشكل اللي عندنا ده؛ عبارة عن صفّين، وكل صفّ فيه ست خواتم.

وفيه طريقة تانية عندنا ممكن نرتّب بيها الاتناشر خاتم. هي إننا نرتّبهم على تلات صفوف، وكل صفّ فيه أربع خواتم. فيبقى زيّ الشكل اللي قدامنا ده. فيبقى عندنا تلات صفوف رتّبناهم بالشكل ده. وكل صفّ فيه أربع خواتم.

فمعنى كده إن من المثال ده بنلاحظ إن العدد اتناشر ليه أكتر من عاملين. فعندنا مثلًا واحد في اتناشر دي من عوامل العدد اتناشر، واتنين، وستة، وتلاتة، وأربعة. فمعنى كده إن عوامل العدد اتناشر هم واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة، وستة، واتناشر. وبما إن العدد اتناشر ليه أكتر من عاملين، فده بنسمّيه عدد غير أوّلي. فمعنى كده إن العدد الأوّلي هو العدد اللي ليه أكتر من عاملين، زيّ العدد اتناشر.

طيب لو جينا مثلًا نشوف العدد خمسة، فزيّ المثال اللي شُفناه. بس لو عندنا المرة دي خمس خواتم بدل من اتناشر، فعايزين نعرف كام طريقة نقدر نرتّب بيهم الخواتم في صفوف متساوية.

وأول طريقة عندنا هي إننا نرتّبهم في صفّ واحد. والصفّ ده فيه خمس خواتم. فيبقى بالشكل ده عندنا صفّ واحد. والصفّ ده فيه خمس خواتم. وممكن برضو طريقة تانية نرتّب بيها الخواتم. فزيّ الشكل ده، نقدر نرتّب الخواتم في خمس صفوف، اللي هم دول؛ خمس صفوف. وكل صفّ فيه خاتم واحد.

لكن ما عندناش أيّ طريقة تانية نقدر نرتّب بيها خمس خواتم في صفوف متساوية. فمعنى كده إن عوامل العدد خمسة هم واحد وخمسة. والعدد اللي بيبقى ليه عاملين فقط بنسمّيه عدد أوّلي. فمعنى كده إن العدد خمسة هو عدد أوّلي؛ عشان له عاملين فقط، وهم واحد وخمسة. فأيّ عدد عندنا بنسمّيه عدد أوّلي لو كان له عاملين فقط. ودايمًا العاملين بتوع أيّ عدد أوّلي لازم بيكونوا واحد والعدد نفسه.

وخلّينا دلوقتي نشوف مثال: بَيِّن ما إذا كان العدد عشرة الممثّل في الشكل المجاور عددًا أوليًّا أو عددًا غير أوّلي.

فأول حاجة هنلاحظها في الشكل ده، إن عندنا صفّين، وكل صفّ فيه خمس مربعات. طيب هل فيه عندنا طريقة تانية نقدر نرتّب بيها العشر مربعات دول؟ أيوه. نقدر نرتّبها بالشكل ده. فيبقى عندنا هنا خمس صفوف، وكل صفّ فيه مربعين. وبرضو نقدر نرتّبهم بشكل تاني. فنقدر نرتّب العشر مربعات بالشكل ده. هيبقوا عبارة عن صفّ واحد، والصفّ ده فيه العشر مربعات. وبرضو نقدر نرتّبهم بطريقة تانية، وهي إننا نرتّبهم بالشكل ده. فيبقى عندنا عشر صفوف، وكل صفّ فيه مربع واحد.

فمعنى كده، بما إننا قدرنا نرتّب العشر مربعات بأكتر من طريقة. فمن الطرق اللي إحنا رتّبنا بيها العدد عشرة نقدر نستنتج إن عوامل العدد عشرة هي واحد، واتنين، وخمسة، وعشرة. فمعنى كده إن العدد عشرة ليه أكتر من عاملين. وبالتالي هيبقى العدد عشرة عدد غير أوّلي؛ علشان ليه أكتر من عاملين. عكس العدد الأوّلي، اللي هو بيبقى ليه عاملين فقط.

ونشوف مثال آخر: يُراد ترتيب أربعة وعشرين طاولة مربّعة في قاعة على شكل مستطيل واحد. فهل العدد أربعة وعشرين أوّلي أم غير أوّلي؟ وهل لنوع العدد أهميّة في هذه المسألة؟ وماذا يحدث إذا كان عدد الطاولات تلاتة وعشرين؟

يعني عندنا قاعة، وفيها أربعة وعشرين ترابيزة مربّعة. وعايزين نرتّب الترابيزات دي بحيث يبقوا كلهم على شكل مستطيل واحد. وبعد كده عايزين نعرف إذا كان العدد أربعة وعشرين عدد أوّلي أم غير أوّلي.

فزيّ ما عرفنا من الأمثلة اللي فاتت. لو عرفنا نرتّب الأربعة وعشرين ترابيزة بأكتر من طريقتين، فمعنى كده إن العدد أربعة وعشرين عدد غير أوّلي. لكن لو ما كانش قدامنا غير طريقتين بس نقدر نرتّب بيهم أربعة وعشرين ترابيزة، فيبقى العدد ساعتها عدد أوّلي. فمعنى كده إننا نقدر نستخدم النماذج علشان نحدّد إذا كان العدد أربعة وعشرين عدد أوّلي أو عدد غير أوّلي. فإحنا ممكن نستخدم النماذج علشان نتأكّد بيها بعد كده.

فدلوقتي خلّينا نشوف إيه هي عوامل العدد أربعة وعشرين. عوامل العدد أربعة وعشرين هم واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة، وستة، وتمنية، واتناشر، وأربعة وعشرين. والعوامل دي هي الأعداد اللي حاصل ضربها أربعة وعشرين. فمثلًا عندنا واحد في أربعة وعشرين بأربعة وعشرين. واتنين في اتناشر بأربعة وعشرين. وهكذا عندنا تلاتة في تمنية بأربعة وعشرين. وأربعة في ستة بأربعة وعشرين.

فبما إن العدد أربعة وعشرين ليه أكتر من عاملين، فمعنى كده إن هو عدد غير أوّلي؛ علشان عنده كل العوامل دي. فمعنى كده إننا عندنا أكتر من طريقتين نقدر نرتّب بيهم الأربعة وعشرين طاولة. فمثلًا نقدر نرتّبهم على تلات صفوف، وكل صفّ فيه تمن طاولات أو تمن ترابيزات. وهيبقى في الآخر الشكل هو مستطيل واحد كبير.

وفيه عندنا أكتر من طريقة. فمثلًا ممكن إن إحنا نرتّبهم على أربع صفوف، وكلّ صفّ فيه ست طاولات. وبرضو هيبقى عندنا الشكل هو مستطيل واحد كبير. وممكن برضو نرتّب الترابيزات على صفّين، زيّ في الشكل اللي قدامنا، هيبقى عندنا صفّين، وكل صفّ هنرتّب فيه اتناشر طاولة. وفيه عندنا كذا طريقة تانية. زيّ مثلًا إن إحنا نرتّبهم أربعة وعشرين صفّ، وكل صفّ فيه طاولة واحدة. أو على صفّ واحد، وكل صفّ فيه أربعة وعشرين طاولة.

فبكده عرفنا إن العدد أربعة وعشرين عدد غير أوّلي. وأهمية إننا نعرف نوع العدد هي إننا نعرف هنرتّب الطاولات بكام طريقة. هل عندنا طريقتين فقط لو كان عدد أوّلي. وهيبقى عندنا أكتر من طريقتين، زي ما حلّينا في المسألة. علشان العدد أربعة وعشرين كان عدد غير أوّلي.

طيب دلوقتي خلّينا نشوف إيه اللي هيحصل لو كان عدد الطاولات تلاتة وعشرين بدل من أربعة وعشرين. فلو كان عندنا عدد الطاولات تلاتة وعشرين، فيبقى عدد الترتيبات اللي ممكن نرتّبها هم اتنين فقط. فأول طريقة هي إننا نرتّبهم على صفّ واحد فقط. والصفّ ده هيبقى فيه التلاتة وعشرين طاولة أو التلاتة وعشرين ترابيزة. وتاني طريقة عندنا هي إننا نرتب الترابيزات على تلاتة وعشرين صفّ، وكل صفّ هيبقى فيه طاولة واحدة أو ترابيزة واحدة.

فبما إننا عندنا طريقتين فقط علشان نرتّب بيهم تلاتة وعشرين ترابيزة. فمعنى كده إن العدد تلاتة وعشرين له عاملين فقط، اللي هم واحد، وتلاتة وعشرين. يعني واحد والعدد نفسه. فمعنى كده إن العدد تلاتة وعشرين هو عدد أوّلي.

وبعد كده، هنشوف إزّاي نحلّل أيّ عدد إلى عوامله الأوّلية. نقدر نكتب كل عدد غير أوّلي على صورة حاصل ضرب أعداد أوّلية. وهو ده اللي بنسمّيه تحليل العدد إلى عوامله الأوّلية.

فخلّينا مثلًا نكتب الأعداد الأوّلية اللي هي ما بين واحد وعشرة. فيبقى عندنا اتنين، وتلاتة، وخمسة، وسبعة. بعد كده خلّينا نكتب الأعداد غير الأوّلية برضو ما بين واحد وعشرة. فيبقى عندنا أربعة، وستة، وتمنية، وتسعة. فهنلاحظ إن كل عدد هنا في الأعداد غير الأوّلية بيبقى حاصل ضرب عددين من الأعداد الأوّلية.

فمثلًا اتنين في اتنين بتساوي أربعة. فمعنى كده إن العدد غير الأوّلي، اللي هو أربعة، بيتكوّن من عددين أوليّين. وبنفس الطريقة، لو جينا نبصّ للعدد ستة، هنلاحظ إن هو حاصل ضرب اتنين في تلاتة. والعدد تمنية برضو هنلاحظ إن هو حاصل ضرب اتنين في اتنين في اتنين. علشان اتنين في اتنين بأربعة، وأربعة في اتنين بتمنية. وأمّا العدد تسعة، فهو حاصل ضرب تلاتة في تلاتة.

فكل اللي إحنا عملنا هنا ده إننا بنحلّل عدد غير أوّلي، زيّ أربعة وستة وتمنية وتسعة، إلى أعداده الأوّلية. اللي هي اتنين، أو تلاتة، أو خمسة، أو سبعة، وهكذا. فالطريقة دي بنسمّيها تحليل عدد إلى عوامله الأوّلية.

وبنقدر برضو إننا نستخدم طريقة الرسم الشجري؛ علشان نحلّل العدد لعوامله الأوّلية. فخلّينا ناخد مثال: حلّل العدد ستة وتلاتين إلى عوامله الأوّلية.

فهنحلّل باستخدام الرسم الشجري. فأول حاجة، هنبدأ نكتب العدد اللي إحنا عايزين نحلّله، اللي هو العدد ستة وتلاتين. وبعد كده، بنختار أيّ زوج من عوامل العدد ستة وتلاتين. فمثلًا هنختار اتنين في تمنتاشر. وبعد كده، هنبدأ نكمّل بحيث إننا نحلّل أيّ عدد غير أوّلي لعدد أوّلي. فهنلاحظ إن العدد اتنين عدد أوّلي، فخلاص مش هنحلّله. فهتنزل زيّ ما هي.

بعد كده، هنبدأ نحلّل العدد تمنتاشر. والعدد تمنتاشر ممكن نحلّله إلى اتنين في تسعة. فيبقى عندنا كده اتنين في اتنين في تسعة. فالاتنين والاتنين أعداد أوّلية، فمش هنحلّلها. لكن التسعة عدد غير أوّلي فهنحلّله. فالتسعة هي حاصل ضرب تلاتة في تلاتة. وهتنزل الاتنين والاتنين زيّ ما هم. فيبقى عندنا تحليل العدد ستة وتلاتين هو اتنين في اتنين في تلاتة في تلاتة.

وممكن نجرّب نحلّل العدد ستة وتلاتين لعوامله الأوّلية بطريقة تانية. فبرضو هنختار أيّ زوج من عوامل العدد ستة وتلاتين غير اللي اخترناهم في المرة اللي قبل كده. فبدل الاتنين في تمنتاشر، هنجرّب مثلًا تلاتة في اتناشر، واللي برضو بتساوي ستة وتلاتين. فهنلاحظ إن العدد تلاتة هو عدد أوّلي، فمعنى كده إننا مش هنحلّله، وهينزل زيّ ما هو.

لكن العدد اتناشر عندنا فهو عدد غير أوّلي، فهنبدأ نحلّله. فبرضو بنفس الطريقة، هنختار أيّ زوج من عوامل العدد اتناشر. فمثلًا هنختار تلاتة في أربعة، اللي هم حاصل ضربهم اتناشر. فبقى عندنا تلاتة في تلاتة في أربعة. فتلاتة هنا وتلاتة هنا هي خلاص أعداد أوّلية. فمش هنحتاج نحلّلها. فهينزلوا زيّ ما هم. لكن العدد أربعة هو عدد غير أوّلي فهنحتاج نحلّله. فالعدد أربعة هو حاصل ضرب اتنين في اتنين. فمعنى كده إن هيبقى عندنا تلاتة في تلاتة في اتنين في اتنين. وكل الأعداد دي هي أعداد أوّلية. فمعنى كده إننا خلّصنا تحليل العدد.

وهنلاحظ إن الإجابة اللي وصلنا لها من الطريقة دي هي هي نفس الإجابة اللي وصلنا لها من الطريقة دي. إذن تحليل العدد ستة وتلاتين إلى عوامله الأوّلية هو اتنين في اتنين في تلاتة في تلاتة.

وبكده نكون عرفنا إيه هي الأعداد الأوّلية والأعداد غير الأوّلية. واتعلّمنا إزّاي نحلّل أيّ عدد إلى عوامله الأوّلية باستخدام طريقة الرسم الشجري. وحلّينا بعض الأمثلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.