نسخة الفيديو النصية
يوضح الجدول التالي سعر برميل من البترول ومعدلات النمو الاقتصادي. باستخدام المعلومات في الجدول، أوجد معادلة خط الانحدار على الصورة ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. قرب قيمتي ﺃ وﺏ لأقرب ثلاث منازل عشرية.
حسنًا، إننا نريد إيجاد معادلة خط على الصورة ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. لإيجاد معادلة هذا الخط، سنستخدم طريقة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى؛ حيث ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ، وﺏ يساوي ﻥ في مجموع قيم ﺱﺹ ناقص مجموع قيم ﺱ في مجموع قيم ﺹ الكل على ﻥ في مجموع قيم ﺱ تربيع ناقص مجموع قيم ﺱ الكل تربيع، وﺃ يساوي مجموع قيم ﺹ ناقص ﺏ في مجموع قيم ﺱ الكل على ﻥ، حيث ﻥ يساوي عدد نقاط البيانات.
من الناحية العملية، أفضل طريقة للحل هي إيجاد كل من هذه المجاميع على حدة قبل أن نحاول حساب قيمتي ﺃ وﺏ. سنحتاج إلى إيجاد مجموع قيم ﺱ، ومجموع قيم ﺹ، ومجموع قيم ﺱ في ﺹ، ومجموع قيم ﺱ تربيع لكل نقطة بيانات. قبل أن نبدأ، علينا تحديد أي من هذه الصفوف هو ﺱ، وأي صف هو ﺹ. تذكر أن المطلوب هو أن يكون ﺱ هو المتغير المستقل وﺹ هو المتغير التابع. في هذه الحالة، سنقارن بين سعر برميل البترول الواحد بالدولار ومعدل النمو الاقتصادي.
سعر برميل البترول الواحد بالدولار هو المتغير المستقل. ونحن نريد قياس القيمة المخرجة؛ وهي النمو الاقتصادي وفقًا لسعر البترول. إذن، الخطوة الأولى التي يمكننا القيام بها هي جمع كل قيم ﺱ ثم جمع كل قيم ﺹ التي لدينا. عند جمع قيم البيانات معًا من الصف الذي يحتوي على قيم ﺱ، نحصل على ٦٣٧٫٦٠. عندما نفعل الشيء نفسه مع ﺹ؛ أي عند جمع كل معدلات النمو الاقتصادي من نقاط البيانات الثمانية، نحصل على ١٧٫٦. هذا يعني أن لدينا مجموع قيم ﺱ ومجموع قيم ﺹ. علينا الآن أن نتابع ونحاول حساب مجموع قيم ﺱ تربيع.
قبل أن نتمكن من إيجاد مجموع قيم ﺱ تربيع، علينا تربيع كل قيمة لـ ﺱ، بدءًا بالقيمة الأولى ٥٠٫٤٠ تربيع، والتي تعطينا ٢٥٤٠٫١٦. وتربيع قيمة البيانات الثانية ٥٥٫٣٠ يعطينا ٣٠٥٨٫٠٩. علينا فعل ذلك لكل نقطة بيانات. وبمجرد تربيع جميع قيم ﺱ الثمانية، يمكننا جمعها معًا، وهذا يعطينا ٥٤٨٣٩٫٧٦. والآن بعد أن حصلنا على مجموع قيم ﺱ تربيع، علينا حساب مجموع قيم ﺱ في ﺹ. وهذا يعني أنه لكل زوج إحداثي علينا ضرب قيمة ﺱ في قيمة ﺹ.
سنبدأ بالعمود الأول، ٥٠٫٤٠ في سالب واحد يساوي سالب ٥٠٫٤٠. ولدينا بعد ذلك ٥٥٫٣٠ في ٠٫٥، وهذا يساوي ٢٧٫٦٥. علينا الاستمرار بهذا النمط لجميع أزواج البيانات الثمانية. وبعد أن يصبح لدينا جميع القيم الثمانية لـ ﺱ في ﺹ، فإننا نجمعها معًا، وهذا يعطينا ١٧٧٢٫٧٧. هذا يعني أننا حصلنا على المجموع الأخير. ويمكننا بدء الحل لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. حسنًا، نحن نعرف أن ﻥ يساوي ثمانية؛ لأن لدينا ثماني نقاط بيانات. وﺏ سيساوي ثمانية في مجموع ﺱ في ﺹ.
والآن، عند طرح مجموع قيم ﺱ في مجموع قيم ﺹ، علينا أن ننتبه. علينا أن نعوض بمجموع قيم ﺱ كلها، وهو ٦٣٧٫٦٠، وسنضربه في مجموع قيم ﺹ كلها، وهو ١٧٫٦. كل هذا سيكون مقسومًا على ثمانية في مجموع قيم ﺱ تربيع. ونظرًا لأن قيمة ﺱ تربيع تقع بين القوسين، فإن مجموع ﺱ تربيع هو ناتج جمع مربعات قيم الإحداثي ﺱ، وهو ٥٤٨٣٩٫٧٦.
في هذا الحد الأخير، لدينا مجموع قيم ﺱ الكل تربيع، ويتضح ذلك من حقيقة أن مجموع قيم ﺱ يقع بين القوسين، والتربيع موجود خارج القوسين، وهذا يعني أننا سيكون لدينا ٦٣٧٫٦٠ تربيع. يمكن إدخال كل هذا على الآلة الحاسبة بتركيز شديد، مع التأكد من تجميع حدود البسط وحدود المقام للحصول على نتيجة دقيقة. وبدلًا من ذلك، يمكنك حساب البسط والمقام كل على حدة، ثم القسمة.
إذا أدخلنا كل القيم بطريقة صحيحة، فسنحصل على قيمة ﺏ، والتي تساوي ٠٫٠٩١٩٨٢٦ مع توالي الأرقام. وعند التقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، فإننا ننظر إلى اليمين حيث يوجد العدد تسعة، وهو ما يخبرنا بأننا سنقرب قيمة ﺏ إلى ٠٫٠٩٢. سننتقل الآن إلى قيمة ﺃ، ونأخذ مجموع قيم ﺹ، الذي يساوي ١٧٫٦؛ ونطرح منه قيمة ﺏ التي أوجدناها، وهي ٠٫٠٩٢؛ مضروبة في مجموع قيم ﺱ، الذي يساوي ٦٣٧٫٦؛ ونقسم على ﻥ، الذي يساوي ثمانية في هذه المسألة. مرة أخرى، إذا أردنا إدخال ذلك على الآلة الحاسبة دفعة واحدة، فعلينا تجميع حدود البسط وحدود المقام أو حساب البسط أولًا ثم القسمة على ثمانية.
عندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ٥٫١٣٢٤. عند التقريب إلى أقرب ثلاث منازل عشرية، يمكننا قول إن ﺃ يساوي سالب ٥٫١٣٢، ما يعني أن ﺹ هات يساوي سالب ٥٫١٣٢ زائد ٠٫٠٩٢ﺱ، وهو ما يمكننا كتابته أيضًا على الصورة ﺹ هات يساوي ٠٫٠٩٢ﺱ ناقص ٥٫١٣٢. وبذلك، نجد أن الحل بهذه الطريقة لإيجاد معادلة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى ليس صعبًا. لكنه يتطلب أن تكون دقيقًا للغاية في كل مرحلة. وعليك أن تتأكد من أن جميع قيم ﺱ تربيع دقيقة، وأن جميع قيم ﺱ في قيم ﺹ دقيقة، ومن ثم التأكد من أن قيم كل المجاميع دقيقة. بعد ذلك، يمكنك التعويض بكل تلك القيم بحذر في صيغتي إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ.
