فيديو السؤال: إيجاد التعبيرات المتكافئة لدالتي الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أي من التالي يساوي سالب جا 𝜃؟ لدينا أربعة خيارات. أ: جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. ب: جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. ج: جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. د: جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃.

نلاحظ أن جميع قياسات الزوايا معطاة بالراديان. إذا فضلنا كتابة الزوايا بالدرجات، يمكننا استخدام حقيقة أن ٣٦٠ درجة يساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان لتحويل الراديان إلى درجات. لحل هذا المثال، قد يكون من المفيد تذكر أن ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي ٢٧٠ درجة، وأن ‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي ٩٠ درجة.

نبدأ برسم تمثيل بياني على مجموعة من المحاور تكون فيه الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي، ويكون مركز دائرة الوحدة عند نقطة الأصل. بعد ذلك، يمكننا استخدام إحداثيات نقطة تقاطع الضلع النهائي للزاوية مع دائرة الوحدة لتحديد جا 𝜃، وجتا 𝜃؛ حيث يحدد جتا 𝜃 من الإحداثي ﺱ ويحدد جا 𝜃 من الإحداثي ﺹ. بإلقاء نظرة فاحصة على ذلك، سنتمكن من تحديد الجيب وجيب التمام لأي زاوية. يتيح لنا استخدام التفسير الهندسي اكتشاف متطابقات الدوال المثلثية. في الواقع، سنستخدم معرفتنا بالخواص الدورية والدوال المثلثية وتطابق المثلثات التي تكونها الزوايا في الوضع القياسي على دائرة الوحدة لاستنتاج بعض المتطابقات المثلثية للزوايا المنتسبة.

علينا الآن تحديد موضع الضلع النهائي للزاوية التي قياسها ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. إننا نهتم بشكل خاص بإيجاد إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها الضلع النهائي لهذه الزاوية مع دائرة الوحدة؛ لأننا سنحصل على جيب تمام هذه الزاوية من الإحداثي ﺱ، وسنحصل على جيب هذه الزاوية من الإحداثي ﺹ. نلاحظ أن الزاوية التي قياسها ‏𝜋‏ على اثنين يقع ضلعها النهائي في الجزء الموجب من المحور ﺹ. ولعلنا نتذكر أن إضافة قياس زاوية يجعلنا ندور عكس اتجاه عقارب الساعة. ومن ثم نجد أن موضع الضلع النهائي للزاوية ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يقع في الربع الثاني. بما أن دوران الشكل الهندسي حول نقطة الأصل لا يغير أطوال أضلاعه وقياسات زواياه، يصبح لدينا الآن مثلثان متطابقان قائما الزاوية. يشترك هذان المثلثان المتطابقان في أن لهما وترًا لونه أخضر طوله يساوي واحدًا، وضلعًا قصيرًا لونه برتقالي طوله يساوي جا 𝜃، وضلعًا طويلًا لونه وردي طوله يساوي جتا 𝜃.

في الربع الثاني، تكون جميع قيم الإحداثي ﺱ سالبة، وجميع قيم الإحداثي ﺹ موجبة. ومن ثم تكون إشارة قيمة طول الضلع البرتقالي سالبة، وإشارة قيمة طول الضلع الوردي موجبة. هذا يعني أنه بدلالة الزاوية 𝜃، فإن إحداثيات النقطة تكون سالب جا 𝜃، وجتا 𝜃. علينا الآن إيجاد إحداثيات النقطة هذه بدلالة الزاوية ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. كما ذكرنا سابقًا، الإحداثي ﺱ يساوي جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، والإحداثي ﺹ يساوي جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. ترتبط هذه الإحداثيات بالطبع بالخيار ب والخيار د. لكن قبل التوصل إلى أي استنتاجات نهائية، دعونا نلق نظرة على الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃.

النقطة التي يقع عندها الضلع النهائي للزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 ويتقاطع مع دائرة الوحدة سيكون الإحداثي ﺱ لها جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، والإحداثي ﺹ لها جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃. نحدد أولًا موضع الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين على دائرة الوحدة، الذي يكون ضلعها النهائي على الجزء السالب للمحور ﺹ. بعد ذلك ندور عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 𝜃 بعد الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. يقع الضلع النهائي لهذه الزاوية في الربع الرابع، وهذا يعطينا مثلثًا ثالثًا قائم الزاوية يطابق المثلث الأول والثاني.

دعونا الآن نتذكر أن جميع قيم الإحداثي ﺱ في الربع الرابع تكون موجبة، وجميع قيم الإحداثي ﺹ تكون سالبة. إذن، نجد أن إحداثيات النقطة تكون جا 𝜃، سالب جتا 𝜃. دعونا نتذكر الآن أنه بدلالة الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، فإن الإحداثي ﺱ يساوي جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃، والإحداثي ﺹ يساوي جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃.

والآن بعد أن انتهينا من استخدام المنطق الهندسي، أصبح لدينا تعبيرًا متكافئًا بدلالة الزاوية 𝜃 لكل من الإجابات الأربع المحتملة. لقد وجدنا أن جتا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي جا 𝜃، وأن جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. ووجدنا أيضًا أن جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃، وأخيرًا جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 يساوي جتا 𝜃. في الختام، بما أنه يوجد خيار واحد فقط من هذه الخيارات يساوي سالب جا 𝜃، فإن إجابتنا النهائية تكون جتا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃.