فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة تتضمن دالة أسية باستخدام التكامل بالتجزيء مرتين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل غير المحدد لاثنين ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

في هذا السؤال، علينا إيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين. وفي هذه الحالة، سنستخدم التكامل بالتجزيء. تنص هذه القاعدة على أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏، يكون تكامل ‪𝑢‬‏ مضروبًا في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑢𝑣‬‏ ناقص تكامل ‪𝑣‬‏ مضروبًا في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. تكتب هذه القاعدة أيضًا على الصورة تكامل ‪𝑢𝑣‬‏ شرطة يساوي ‪𝑢𝑣‬‏ ناقص تكامل ‪𝑣𝑢‬‏ شرطة. نبدأ هذه الطريقة باختيار الدالتين ‪𝑢‬‏ و‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

تخبرنا طريقة ‪LIATE‬‏ بأن علينا اختيار ‪𝑢‬‏ لتكون الدالة التي تظهر أولًا في القائمة الآتية: الدوال اللوغاريتمية، ثم الدوال المثلثية العكسية، وتليها الدوال الجبرية، ثم الدوال المثلثية، وأخيرًا الدوال الأسية. الدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود، أو دالة جبرية، ودالة أسية. وبما أن الدوال الجبرية تأتي قبل الدوال الأسية في الترتيب، فسنختار الدالة الجبرية اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع لتكون ‪𝑢‬‏. من ثم، نجعل ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين. بعد ذلك، نوجد ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ باشتقاق ‪𝑢‬‏ ونوجد ‪𝑣‬‏ بمكاملة ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، يمكننا حساب مشتقة اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع، وهي أربعة ‪𝑥‬‏.

بعد ذلك، نتذكر القاعدة العامة لتكامل الدوال الأسية التي تنص على أن تكامل ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. وبتذكر قوانين الأسس أيضًا، نلاحظ أن تكامل ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين يساوي تكامل ‪𝑒‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏، وهو ما يمكن إعادة كتابته على الصورة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين، وهذه هي قيمة ‪𝑣‬‏. يمكننا الآن التعويض بالمقادير في صيغة التكامل بالتجزيء.

تكامل اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين ناقص تكامل أربعة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. بما أن الدالة الجديدة التي سيجرى عليها التكامل لا تزال حاصل ضرب دالتين، فعلينا تكرار العملية واستخدام التكامل بالتجزيء مرة أخرى. هذه المرة، ‪𝑢‬‏ تساوي أربعة ‪𝑥‬‏، و‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين.

باشتقاق أربعة ‪𝑥‬‏، نجد أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي أربعة. وبمكاملة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين، نجد أن ‪𝑣‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين. بالتعويض بهذه القيم، يصبح لدينا اثنان ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين ناقص تكامل أربعة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. ويمكن تبسيط ذلك كما هو موضح.

بعد ذلك، علينا إيجاد تكامل أربعة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. لدينا الآن اثنان ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين زائد أربعة مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين. بعد ذلك، سنأخذ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين عاملًا مشتركًا. وسنأخذ أيضًا الثابت أربعة عاملًا مشتركًا، مما يعطينا أربعة مضروبًا في نصف ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين.

بتذكر أن علينا إضافة ثابت التكامل ‪𝐶‬‏، نحصل على الإجابة النهائية لتكامل اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. الإجابة النهائية هي أربعة مضروبًا في نصف ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد اثنين زائد ‪𝐶‬‏.