فيديو الدرس: الزوايا الناتجة عن تقاطع المستقيمات في دائرة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب قياسات الزوايا التي تنشأ عن المستقيمات المتقاطعة في دائرة. للقيام بذلك، سنراجع بعض المصطلحات الأساسية التي علينا معرفتها عند التعامل مع الدوائر، وسنتناول ثلاث نظريات مختلفة تخص الدائرة، ثم سنستخدم هذه المعلومات لحل بعض الأمثلة.

إذا كانت لدينا دائرة، فإن الوتر هو القطعة المستقيمة التي يقع طرفاها على الدائرة. أما القاطع، فهو مستقيم يقطع الدائرة عند نقطتين مختلفتين. والقطر هو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة، ونقطة المنتصف هي مركز الدائرة. القطر هو أطول وتر في أي دائرة. نصف القطر هو قطعة مستقيمة تصل مركز الدائرة بنقطة على الدائرة. المماس هو مستقيم يقطع الدائرة عند نقطة واحدة فقط، ويكون المماس مع نصف القطر زاوية قائمة عند هذه النقطة. والآن بعد أن تعرفنا على المستقيمات والقطع المستقيمة في الدائرة، هيا نتعرف على الزوايا والأقواس.

إذا كان لديك نصفا قطرين، فإن الزاوية المتكونة بينهما تسمى «زاوية مركزية». والجزء من المحيط الناتج عن هذه الزاوية المركزية يعرف باسم «القوس». قوس الدائرة هو جزء من المحيط. عندما نتحدث عن قياس القوس، فإننا نوضح قياس القوس بالدرجات، وهو يساوي قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس. على سبيل المثال، إذا كان قياس الزاوية المركزية الموضحة هنا يساوي ١٢٠ درجة، فيمكننا القول إن قياس القوس يساوي ١٢٠ درجة. ويمكننا أيضًا القول إن قياس القوس المحدد باللون الأصفر يساوي ١٢٠ درجة. وعندما نفعل ذلك، نقول أيضًا إن قياس القوس يساوي ١٢٠ درجة من ٣٦٠ درجة، وهو قياس الدائرة بأكملها. وعلى الرغم من أننا سنركز بشكل أساسي على القياس بالدرجات في هذا الفيديو، فإن جميع هذه المعلومات صحيحة وتعطي القياس نفسه إذا كنت تستخدم الراديان.

لنتناول الآن بعض النظريات، وسنبدأ بنظرية زوايا الأوتار المتقاطعة. في الدائرة، القطعة المستقيمة ﺏﺩ أو الوتر ﺏﺩ يقطع الوتر ﺃﺟ عند هذه النقطة. وينشأ عن هذا التقاطع أربع زوايا مختلفة، ومشار إليها هنا بواحد واثنين وثلاثة وأربعة. وبما أنه في هذه الدائرة يتقاطع الوتران ﺃﺟ وﺏﺩ داخل الدائرة، فإن قياس الزاوية واحد يساوي نصفًا في قياس القوس ﺃﺏ زائد قياس القوس ﺟﺩ. وبالمثل، فإن قياس الزاوية اثنين يساوي نصفًا في قياس القوس ﺏﺟ زائد قياس القوس ﺃﺩ. ثمة شيء آخر يمكننا قوله، بما أن الزوايا المتقابلة بالرأس تكون متطابقة، فإن، قياس الزاوية واحد يساوي قياس الزاوية ثلاثة، وقياس الزاوية اثنين يساوي قياس الزاوية أربعة.

لقد تعرفنا هنا على الزوايا الناتجة عن تقاطع الأوتار. والآن، دعونا نلق نظرة على الزوايا الناتجة عن تقاطع القواطع. عندما يتقاطع قاطعان خارج الدائرة، ويكون التقاطع هنا في هذه الحالة، فإنهما يكونان هذه الزاوية. بالإضافة إلى ذلك، فهما يكونان قوسين مقابلين لهذه الزاوية. لدينا هنا القوس الأول باللون الأخضر والقوس الثاني باللون الأزرق. إذا سمينا الزاوية المتكونة بين القاطعين «الزاوية واحد»، وسمينا القوس الأول المقابل لها «ﺱ» والقوس الثاني المقابل لها «ﺹ»، فإن قياس الزاوية واحد يساوي قياس القوس ﺱ ناقص قياس القوس ﺹ مقسومًا على اثنين.

إذا كتبنا ذلك، فسنقول إنه إذا تقاطع مستقيمان خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المتكونة بين المستقيمين يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لهذه الزاوية. في هذه الحالة، لدينا قاطعان يتقاطعان خارج الدائرة. ولكن هذا ينطبق أيضًا عند تقاطع مماسين خارج الدائرة. دعونا نر كيف سيبدو تقاطع مماسين.

لدينا هنا مماسان متقاطعان. وهما يكونان هذه الزاوية التي يمكن أن نسميها «الزاوية واحد»، كما ينتج عن تقاطعهما القوس واحد والقوس اثنان المقابلان لتلك الزاوية. إذا سمينا القوس الأكبر ﺱ والقوس الأصغر ﺹ، فسنتمكن من إيجاد قياس الزاوية واحد بطرح قياس القوس ﺱ ناقص قياس القوس ﺹ ثم القسمة على اثنين. باستخدام هذه المعلومات، هيا نحاول إيجاد بعض القيم الناقصة.

أوجد قيمة ﺱ.

في الشكل المعطى، تتقاطع القطعة المستقيمة ﺟﻫ مع القطعة المستقيمة ﺃﻫ عند النقطة ﻫ. والزاوية الناتجة عند نقطة تقاطعهما هي الزاوية ﺱ. وبما أن هذين المستقيمين قد قطعا الدائرة، فقد نتج عن تقاطعهما قوسان مقابلان لنقطة التقاطع. إذا حددنا مركز الدائرة، فسنتمكن من توضيح القوس ﺩﺏ، وقياسه ٧١ درجة؛ والقوس ﺟﺃ، وقياسه ١٤٤ درجة.

وبما أنه يمكن وصف القطعة المستقيمة ﺟﻫ والقطعة المستقيمة ﺃﻫ بأنهما قاطعان للدائرة، فيمكننا استخدام نظرية زوايا القواطع المتقاطعة. والتي تخبرنا بأن قياس الزاوية الناتجة عن تقاطع قاطعين، وهو في هذه الحالة قياس الزاوية ﺟﻫﺃ، يساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المقابلين لها. ويعني هذا أنه يمكننا القول إن ﺱ يساوي ١٤٤ ناقص ٧١ مقسومًا على اثنين. إذن، ﺱ يساوي ٣٦٫٥ درجة.

إليك مثالًا آخر. هذه المرة، بدلًا من تقاطع قاطعين خارج الدائرة، لدينا تقاطع بين قاطع ومماس خارج الدائرة.

في الشكل التالي، إذا كان ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين، و𝑧 يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين، فأوجد قيمة ﺱ.

حسنًا، دعونا نبدأ بما نعرفه. تتقاطع القطعة المستقيمة ﺩﺃ والقطعة المستقيمة ﺏﺃ خارج الدائرة عند النقطة ﺃ. إذن، يمكننا القول إن قياس الزاوية الناتجة عن تقاطع المستقيمين يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها. في هذه الحالة، نحن نعلم بالفعل أن قياس الزاوية الناتجة عن تقاطع هذين المستقيمين ٥٠ درجة، وهذا القياس، ٥٠ درجة، يساوي ﻉ درجة ناقص ﺹ درجة على اثنين. ما يمكننا فعله الآن هو التعويض عن ﻉ باثنين ﺱ زائد اثنين وعن ﺹ بـ ﺱ ناقص اثنين.

باستخدام هذه المعادلة، سنتمكن من إيجاد قيمة ﺱ. إذا ضربنا السالب في ﺱ وسالب اثنين، فسنحصل على ٥٠ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين ناقص ﺱ زائد اثنين مقسومًا على اثنين. بتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا اثنان ﺱ ناقص ﺱ، ما يساوي موجب ﺱ؛ واثنان زائد اثنين، ما يساوي أربعة. وبذلك، يمكننا القول إن ٥٠ يساوي ﺱ زائد أربعة على اثنين. ومن هنا، يمكننا حذف الاثنين من المقام بضرب الطرفين في اثنين. وعليه، يكون لدينا ١٠٠ يساوي ﺱ زائد أربعة. وإذا كان ١٠٠ يساوي ﺱ زائد أربعة، وطرحنا أربعة من كلا الطرفين، فسنجد أن ﺱ يساوي ٩٦.

نحن نعرف أن ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين. وبذلك، نجد أن ﺹ يساوي ٩٤ درجة. كما نعرف أن z يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين. إذا ضربنا ٩٦ في اثنين ثم أضفنا اثنين، فسنحصل على ١٩٤. إذن، ﻉ يساوي ١٩٤ درجة. إذا أردنا التأكد من هذا، فيمكننا التعويض عن ﻉ وﺹ بهاتين القيمتين في المعادلة الأصلية التي كتبناها، وهي ٥٠ درجة يساوي ﻉ درجة ناقص ﺹ درجة على اثنين. ‏١٩٤ ناقص ٩٤ مقسومًا على اثنين. ‏١٩٤ ناقص ٩٤ يساوي ١٠٠، و١٠٠ مقسومًا على اثنين يساوي ٥٠. وبذلك، يمكننا القول إن ﺱ في الشكل المعطى لا بد أن يساوي ٩٦.

إليك مثالًا آخر.

أوجد قياس القوس ﺟﺏ.

حسنًا، دعونا نر المعطيات الموجودة لدينا. نحن نعلم أن القطعة المستقيمة ﺟﺃ والقطعة المستقيمة ﻫﺃ تتقاطعان خارج الدائرة عند النقطة ﺃ. القطعة المستقيمة ﺟﺃ والقطعة المستقيمة ﻫﺃ قاطعان للدائرة. ونعلم أيضًا من الشكل أن قياس القوس ﺟﺏ يساوي قياس القوس ﻫﺩ. يمكننا أيضًا القول إن مجموع قياسات جميع الأقواس في الدائرة لا بد أن يساوي ٣٦٠ درجة. لكن ما يعنينا هو إيجاد قياس القوس ﺟﺏ. ولكي نوجده، علينا إيجاد قياس القوس ﺏﺩ.

بناء على ما ذكرناه في البداية عن التقاطع خارج الدائرة، يمكننا القول إن الزاوية الناتجة عن تقاطع مستقيمين خارج الدائرة تساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها، وهذه هي نظرية زوايا القواطع المتقاطعة. والزاوية التي نتجت عن تقاطع هذين المستقيمين المتقاطعين في هذه الحالة قياسها ٣٤ درجة. ‏٣٤ درجة يساوي قياس القوس المقابل ﺟﻫ، وهو ١٥١ درجة، ناقص قياس القوس المقابل الآخر ﺏﺩ، ثم نقسم ذلك على اثنين.

علينا إيجاد قياس القوس ﺏﺩ. لذلك، سنضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين، وهو ما يعطينا ٦٨ يساوي ١٥١ ناقص قياس القوس ﺏﺩ. ثم نطرح ١٥١ من كلا الطرفين، فنحصل على سالب ٨٣ درجة يساوي سالب قياس القوس ﺏﺩ. بضرب طرفي المعادلة في سالب واحد وتبديل الطرفين، نحصل على قياس القوس ﺏﺩ وهو موجب ٨٣ درجة. لكن هذه ليست الإجابة النهائية. فنحن ما زلنا نحاول إيجاد قياس القوس ﺟﺏ.

لكن تذكر أننا نعلم أن مجموع هذه الأقواس جميعًا لا بد أن يساوي ٣٦٠ درجة. ونعلم أن القوسين ﺟﺏ وﻫﺩ يجب أن يكونا متساويين. يمكننا القول إنهما يساويان ﺱ درجة. وبذلك، يمكننا تكوين المعادلة ١٥١ زائد ﺱ زائد ﺱ زائد ٨٣ يساوي ٣٦٠. إذا قمنا بتجميع الحدود المتشابهة، فسنجد أن ١٥١ زائد ٨٣ يساوي ٢٣٤. وx زائد ﺱ يساوي اثنين ﺱ. إذن، ٢٣٤ زائد اثنين ﺱ يساوي ٣٦٠ درجة. سنطرح ٢٣٤ من طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا اثنان ﺱ يساوي ١٢٦. بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن ﺱ يساوي ٦٣. يخبرنا هذا أن قياس كل من القوس ﺟﺏ والقوس ﻫﺩ يساوي ٦٣ درجة. ما يعنينا في الأساس هو قياس القوس ﺟﺏ، وقد وجدنا أن قياسه ٦٣ درجة.

في المثال التالي، لدينا وتران يتقاطعان داخل دائرة.

في الشكل التالي، أوجد قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺩ.

لنر المعطيات لدينا. بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن القطعة المستقيمة ﺏﺃ والقطعة المستقيمة ﺟﺩ هما وتران يتقاطعان داخل دائرة، وهذا يعني أنه يمكننا التفكير في نظرية زوايا الأوتار المتقاطعة. والتي تخبرنا أن قياس الزاوية واحد يساوي نصف قياس القوس ﻝﻥ زائد قياس القوس ﻕﺭ. في هذا الشكل، ما يعنينا هو قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺩ.

وبناء على ما نعرفه عن الأوتار المتقاطعة في الدائرة، يمكننا القول إن ١١٢ درجة يساوي نصفًا في قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺩ. وبضرب طرفي هذه المعادلة في اثنين، سنحصل على ٢٢٤ درجة يساوي قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺩ. وهذا ما نريد إيجاده؛ قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺩ، وهو يساوي ٢٢٤ درجة.

في هذا المثال، ليس لدينا شكل. وبالتالي، علينا أن نرسم واحدًا.

تقع النقطة ﺃ خارج الدائرة التي مركزها ﻡ. المستقيم بين ﺃ وﺟ يقطع الدائرة عند ﺏ وﺟ، والمستقيم بين ﺃ وﻫ يلتقي بالدائرة عند النقطتين ﺩ وﻫ. إذا كان قياس الزاوية ﺟﻡﻫ يساوي ١٣٠ درجة وقياس الزاوية ﺏﻡﺩ يساوي ٥٦ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺃ.

لدينا هنا وصف لدائرة ومستقيمين، لكن ليس لدينا شكل. أفضل ما نبدأ به هنا هو الرسم. نحن نعلم أن لدينا دائرة وأن النقطة ﺃ تقع خارج الدائرة. كما نعلم أنه يوجد مستقيم بين ﺃ وﺟ؛ أي هناك مستقيم طرفاه هما ﺃ وﺟ. وهذا المستقيم يقطع الدائرة عند ﺏ وﺟ. إذا رسمنا مستقيمًا من ﺃ إلى الدائرة، فإننا نعلم أن طرفي هذا المستقيم سيكونان ﺃ وﺟ، وأن التقاطع الآخر على الدائرة هو النقطة ﺏ.

وبالمثل، لدينا مستقيم بين ﺃ وﻫ يلتقي بالدائرة عند ﺩ وﻫ. سنرسم مستقيمًا آخر من النقطة ﺃ. وسيكون طرفه ﻫ ونقطة تقاطعه الأخرى هي ﺩ. ومركز الدائرة هو ﻡ. ونحن نعرف أن قياس الزاوية ﺟﻡﻫ، وهي هذه الزاوية، يساوي ١٣٠ درجة. كما نعرف أن قياس الزاوية ﺏﻡﺩ، وهي هذه الزاوية، يساوي ٥٦ درجة. ونريد معرفة قياس الزاوية ﺃ.

بالنظر إلى الشكل المرسوم، نجد أن هذه الزوايا غير دقيقة إلى حد ما. لكن هذا الشكل يعطينا معلومات كافية لنعرف كيف سنحاول إيجاد قياس الزاوية ﺃ. بما أن لدينا مستقيمين يتقاطعان خارج الدائرة، إذن الزاوية التي يكونها هذان المستقيمان المتقاطعان خارج الدائرة تساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها.

ويعني ذلك أن الزاوية ﺃ هي الزاوية المكونة خارج الدائرة. وقياسها يساوي نصف قياس القوس ﺟﻫ ناقص قياس القوس ﺩﺏ. قياس القوس ﺟﻫ هو ١٣٠ درجة، وقياس القوس ﺩﺏ هو ٥٦ درجة. ‏١٣٠ ناقص ٥٦ يساوي ٧٤، ونصف ٧٤ يساوي ٣٧. وعليه، فإن دائرة بهذه المعطيات سيكون قياس الزاوية ﺃ بها ٣٧ درجة.

والآن، يمكننا مراجعة النقاط الأساسية التي وردت في هذا الفيديو. تنص نظرية القواطع المتقاطعة على أن قياس الزاوية، التي يكونها قاطعان يتقاطعان خارج دائرة، يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها. وينطبق هذا عند تقاطع قاطعين ومماسين وعند تقاطع قاطع ومماس خارج الدائرة. ولدينا نظرية الأوتار المتقاطعة، والتي تنص على أن قياس الزاوية واحد يساوي نصف قياس القوس ﺃﺏ زائد قياس القوس ﺟﺩ. وبالمثل، فإن قياس الزاوية اثنين يساوي نصفًا في قياس القوس ﺏﺟ زائد قياس القوس ﺃﺩ.

ولأننا نعلم تعريفات الزوايا المتقابلة بالرأس، فإننا نعرف أنه عند تقاطع وترين، فإن قياس الزاوية واحد يساوي قياس الزاوية ثلاثة، وقياس الزاوية اثنين يساوي قياس الزاوية أربعة.