فيديو الدرس: طريقة الكتلة السالبة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

الأجسام العادية جميعها لها كتلة موجبة أو ليس لها أي كتلة على الإطلاق. رغم ذلك، يمكننا تصور جسم كتلته سالبة رياضيًّا بتمثيل كتلته بعدد سالب بدلًا من عدد موجب. في هذا الفيديو، سوف نتعلم أن الأجسام ذات الكتلة السالبة هي في الواقع أداة رياضية قيمة لإيجاد مركز كتلة الأجسام الحقيقية، على الرغم من أن هذه الأجسام الحقيقية لها كتلة موجبة.

كل إحداثي لمركز كتلة مجموعة من الأجسام يعطى بهذه الصيغة، وهي تلك المكتوبة هنا للإحداثي ﺱ. لاستخدام هذه الصيغة، نجمع كتلة كل جسم في المجموعة مضروبًا في الإحداثي ﺱ لموقعها، ثم نقسم على الكتلة الكلية. وهذا يعطينا الإحداثي ﺱ لمركز كتلة المجموعة بأكملها. وبالنسبة إلى كتل النقاط في مجموعة الأجسام، فإن الكتلة هي كتلة الكتلة النقطية فحسب وإحداثياتها هي إحداثيات موقعها فقط. أما إذا كان أي من الأجسام لدينا ممتدًّا، كما في صفيحة ثنائية الأبعاد مثلًا، فإننا نستخدم الكتلة الكلية لهذا الجسم باعتبارها الكتلة. وبالنسبة إلى الموقع الإحداثي، نستخدم مركز كتلة ذلك الجسم.

بالإضافة إلى استخدام هذه الصيغة لإيجاد مركز كتلة مجموعة من الأجسام غير المتصلة، يمكننا استخدامها أيضًا لإيجاد مركز كتلة جسم أكثر تعقيدًا بتقسيم ذلك الجسم المعقد إلى جسمين أصغر وأبسط. على سبيل المثال، هذه صفيحة كبيرة الحجم غير منتظمة الشكل. إذا تصورنا تقسيم هذه الصفيحة على طول هذا الخط المتقطع، فسنرى أنها عبارة عن صفيحتين منتظمتي الشكل، وهما المثلث المظلل باللون الأزرق والمستطيل المظلل باللون الأرجواني. يمكننا بعد ذلك استخدام النتائج المعروفة لمركز الكتلة للمثلثات والمستطيلات بالإضافة إلى صيغة مركز الكتلة لدينا لإيجاد مركز كتلة الشكل الناتج بسهولة.

ويمكننا أن نستخدم هذا فيما هو أبعد من ذلك. فبدلًا من صفيحة غير منتظمة الشكل، دعونا نتناول صفيحة ذات توزيع كتلة غير منتظم. لدينا هنا مستطيل كبير، وتوزيع كتلته منتظم ما عدا المساحة المربعة المظللة بخطوط متقاطعة باللون الأرجواني. هيا نعط هذه المساحة قيمة كمية. لنفترض أن كتلة المربع المظلل بخطوط أرجوانية متقاطعة تساوي ثلاثة أمثال كتلته إذا كانت الصفيحة بأكملها منتظمة. ولكي نقسم هذه الصفيحة إلى عدة صفائح من السهل التعامل معها، سنبدأ بصفيحة كبيرة مستطيلة الشكل ذات توزيع كتلة منتظم. علينا الآن وضع صفيحة واحدة أخرى على الأقل لكي نضاعف كثافة هذا الجزء المربع من الصفيحة المنتظمة ثلاث مرات، والذي يناظر المساحة المظللة بخطوط متقاطعة التي كانت لدينا من قبل.

بما أننا نحاول زيادة كتلة هذا الجزء المربع، فسنضع صفيحة مربعة أخرى لها نفس الحجم والوضع في تلك المنطقة. ولمعرفة الكتلة الصحيحة لهذه الصفيحة الثانية، دعونا نطلق على كتلة الجزء المربع الأصلي ﻙ. وبما أن النتيجة النهائية لا بد أن تساوي ثلاثة أمثال كتلة هذا الشكل لو كان منتظمًا، فسنجعل كتلة الصفيحة المربعة الثانية اثنين ﻙ. والآن عندما نضع هذا المربع المنتظم الذي كتلته اثنان ﻙ على المربع المنتظم الذي كتلته ﻙ، ستكون الكتلة الكلية هي ﻙ زائد اثنين ﻙ؛ أي ثلاثة ﻙ. وبما أن ثلاثة ﻙ يعني ثلاثة أمثال ﻙ، فنكون قد نجحنا في إعادة تكوين الصفيحة غير المنتظمة الأصلية باستخدام صفيحتين منتظمتين؛ وهما مستطيل ومربع. يمكننا بعد ذلك بسهولة استخدام كتل ومراكز كتل هاتين الصفيحتين للتعويض في صيغة مركز الكتلة لإيجاد مركز الكتلة الكلي للصفيحة غير المنتظمة.

لقد أصبحنا الآن على بعد خطوة واحدة من معرفة لماذا يمكن للكتلة السالبة أن تبسط إلى حد كبير أنواعًا معينة من العمليات الحسابية. لكن قبل أن ننتقل إلى ذلك، دعونا نوضح لماذا نجحت الطريقة التي استخدمناها للتو. عندما بدأنا بتقسيم الصفيحة غير المنتظمة، بدأنا بصفيحة منتظمة كانت كتلتها ﻙ في الجزء نفسه الذي كانت فيه كتلة الصفيحة غير المنتظمة تساوي ثلاثة ﻙ. بعبارة أخرى، كان هناك فرق بين كتلة ذلك الجزء في الصفيحة منتظمة الشكل والكتلة النهائية التي نريدها. وقد نجحنا لأننا تمكنا من إيجاد كتلة، وهي في هذه الحالة اثنان ﻙ، يعوض هذا الفرق بين الصفيحة المنتظمة والصفيحة غير المنتظمة. وهذه الفكرة، أي تعويض الفرق بين كتلة الصفيحة المنتظمة وكتلة الصفيحة غير المنتظمة، هي التي ستقودنا مباشرة إلى الأجسام ذات الكتلة السالبة.

هيا نغير الصفيحة غير المنتظمة قليلًا. فبدلًا من أن يكون لدينا جزء أكثر كثافة، سنجعل لدينا فتحة. فالفتحة لا كتلة لها. لذا، فبدلًا من أن تكون كتلة هذا الجزء ثلاثة أمثال كتلته لو كان الشكل منتظمًا، أصبحت كتلته تساوي صفرًا. وعلى الرغم من أننا نتعامل الآن مع كتلة أقل بدلًا من كتلة أكبر، سنحاول فعل ما فعلناه سابقًا؛ سنأخذ صفيحة مستطيلة منتظمة الشكل، ونستخدم صفيحة مربعة صغيرة لتصحيح الفرق في هذا الجزء تحديدًا. كتلة الجزء المربع في الصفيحة المنتظمة هي ﻙ كما هي، لكن الكتلة الكلية تساوي صفرًا. إذن، علينا إيجاد كتلة الصفيحة المربعة التي تحقق شرط أن تكون الكتلة الكلية للجزء الجديد صفرًا. حسنًا، أي عدد زائد سالب ذلك العدد يساوي صفرًا.

لذا، إذا تجاهلنا للحظة حقيقة أن الكتل عادة ما تكون موجبة، وجعلنا كتلة الصفيحة المربعة تساوي سالب ﻙ، فإن الكتلة الكلية للجزء الناتج تساوي ﻙ زائد سالب ﻙ. وﻙ زائد سالب ﻙ يساوي صفرًا. إذن، يمكننا تمثيل هذه الصفيحة غير المنتظمة التي تحتوي على فتحة باستخدام صفيحتين منتظمتين ما دمنا جعلنا لإحدى هاتين الصفيحتين كتلة سالبة. ولكي نستخدم ذلك في صيغة مركز الكتلة، فإننا ببساطة نعوض بقيمة سالبة هنا في البسط وفي المقام. في الواقع وبغض النظر عن إدخال بضعة أعداد سالبة، فإن هذه العمليات الحسابية متطابقة مع العمليات الحسابية التي سننفذها في أي حالة أخرى تتطلب منا إيجاد مركز الكتلة. لنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتضح فيها فائدة الأجسام ذات الكتلة السالبة. سنبدأ بمثال مشابه للمثال الذي عرضناه لتونا؛ وهو صفيحة مستطيلة مقتطع منها فتحة مستطيلة الشكل.

أوجد إحداثيات مركز كتلة الشكل الآتي المرسوم على شبكة مربعات الوحدة.

الشكل الذي يعنينا هنا هو المساحة المظللة باللون الأخضر في هذا التمثيل البياني. بما أن الشكل غير منتظم لأنه يحتوي على فتحة كبيرة في المنتصف، علينا تقسيمه إلى عدة أشكال منتظمة ثم استخدام صيغة مركز الكتلة. تتيح لنا صيغة مركز الكتلة حساب إحداثيات مركز الكتلة لمجموعة من الأجسام باستخدام كتلة كل جسم وموقعه. وبالنسبة إلى الأجسام الممتدة مثل صفيحة ثنائية الأبعاد، فإننا نعرف موقعها على أنه مركز كتلتها. حسنًا، علينا الآن إيجاد الأشكال التي سوف تسهل لنا الحساب. في الواقع، يمكننا إجراء هذا الحساب باستخدام صفيحتين فقط إذا استخدمنا طريقة الكتلة السالبة.

عند استخدام طريقة الكتلة السالبة، فإننا نتعامل مع الصفيحة التي بها فتحة على أنها صفيحة صلبة ذات كتلة موجبة بها صفيحة بشكل الفتحة، لكنها ذات كتلة سالبة. وعندما نضع الصفيحة ذات الكتلة السالبة على الصفيحة ذات الكتلة الموجبة، فإن الكتلتين السالبة والموجبة تلغي كل منهما الأخرى؛ ما يعطينا النتيجة الفعلية، وهي الكتلة الصفرية أو كتلة الفتحة. بعد ذلك نوجد مركز الكتلة لكل من هاتين الصفيحتين، أي الكتلة الموجبة والكتلة السالبة، باستخدام نفس صيغة مركز الكتلة. لتطبيق طريقة الكتلة السالبة على هذا الشكل المحدد، سنبدأ بصفيحة ذات كتلة موجبة لها محيط يماثل المحيط الخارجي للشكل الذي يعنينا. ولكي نأخذ في الاعتبار وجود الفتحة، سنضع بعد ذلك صفيحة ذات كتلة سالبة لها محيط يتطابق مع المحيط الداخلي للشكل الذي نتناوله هنا.

وكما نرى، فإن الشكل الذي يعنينا هو تحديدًا الجزء من صفيحة الكتلة الموجبة الذي لا يتقاطع مع صفيحة الكتلة السالبة. وقبل أن ننشغل بإيجاد قيم معينة لهاتين الكتلتين، دعونا نوجد مركز الكتلة لكل من هاتين الصفيحتين. تذكر أنه لأي صفيحة مستطيلة منتظمة، يكون مركز الكتلة عند نقطة التقاء القطرين معًا بالضبط. لإيجاد مركز الكتلة لكل من هاتين الصفيحتين، سنرسم فقط القطرين. لقد رسمنا هنا قطرين لصفيحة الكتلة الموجبة، ونقطة التقائهما هنا تحديدًا. وعند تضمين قطري صفيحة الكتلة السالبة، نلاحظ أنهما يتقابلان عند النقطة نفسها. ومن ثم، فإن هاتين الصفيحتين لهما مركز الكتلة نفسه.

عندما ندمج جسمين، ويكون لهما مركز الكتلة نفسه، فإن الشكل الناتج يكون له مركز الكتلة نفسه أيضًا. يمكننا أن نرى ذلك رياضيًّا بملاحظة أنه إذا كانت جميع قيم ﺱﺭ متساوية، دعونا نسمها ﺱ، فإن البسط يساوي ﺱ مضروبًا في المقام. وﺱ في قيمة ما مقسومًا على تلك القيمة يساوي ﺱ. حسنًا، إن مركز الكتلة هو هذه النقطة المركزية هنا. أي عند أربع وحدات ونصف في اتجاه المحور ﺱ، وأربع وحدات بالضبط لأعلى في اتجاه المحور ﺹ. أربعة ونصف هو نفسه تسعة أنصاف. إذن، يقع مركز كتلة هذا الشكل عند تسعة أنصاف، أربعة. إن السهولة التي توصلنا بها إلى هذه الإجابة توضح فعالية طريقة الكتلة السالبة. فنحن لم ننجح فقط في إيجاد مراكز الكتلة من التمثيل البياني، بل لم نحتج حتى إلى التعويض بقيم في صيغة مركز الكتلة للوصول إلى الإجابة.

دعونا نستعرض مثالًا آخر سنتبع فيه طريقة مماثلة، لكن هذه المرة سنستخدم الصيغة لحساب مركز الكتلة.

يوضح الشكل الآتي صفيحة منتظمة ﺃﺏﺟ اقتطع منها المثلث ﻡﺏﺟ. المثلث ﺃﺏﺟ متساوي الأضلاع وطول ضلعه ٩٣ سنتيمترًا، ومركز كتلته ﻡ. أوجد إحداثيات مركز الكتلة الجديد للصفيحة بعد الاقتطاع. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

تشير المسألة إلى هذه الصفيحة التي على شكل سهم والمكونة من المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ بعدما اقتطع منه المثلث ﻡﺏﺟ. المعلومات المحددة المعطاة لنا هي أن ﺃﺏﺟ له توزيع كتلة منتظم، وطول ضلعه ٩٣ سنتيمترًا، وﻡ هو مركز كتلته. وبما أننا نبحث عن مركز كتلة هذا الشكل الناتج، وقيل لنا صراحة إنه مثلث متساوي الأضلاع اقتطع منه المثلث ﻡﺏﺟ، فهذا يشير إلى أن علينا استخدام طريقة الكتلة السالبة. كي نستخدم طريقة الكتلة السالبة، سنبدأ بهذا الشكل أمامنا الذي يوضح المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ مظللًا باللون البرتقالي، والمثلث ﻡﺏﺟ مظللًا فوقه باللون الأرجواني.

بتقسيم هذا الشكل إلى جزأين، يصبح لدينا الصفيحة الأصلية ﺃﺏﺟ، والصفيحة ﺏﻡﺟ التي تمثل الجزء المقطوع. الصفيحة المنتظمة ﺃﺏﺟ هي جسم منتظم؛ ومن ثم فإن كتلتها موجبة. لكن بما أن الدمج بين ﻡﺏﺟ وﺃﺏﺟ ينتج عنه صفيحة ليس لها كتلة عند الجزء السفلي منها، ولأن من الواضح أن ﺃﺏﺟ له كتلة بالفعل، فلا بد أن ﻡﺏﺟ له كتلة سالبة لأن أي قيمة موجبة زائد سالب تلك القيمة يساوي صفرًا. إذن، سوف نوجد مركز الكتلة الناتج بالطريقة الذي نوجد بها مركز كتلة أي صفيحتين. كل ما في الأمر أن واحدة من هاتين الصفيحتين أصبحت كتلتها تساوي عددًا سالبًا بدلًا من عدد موجب. وهذا هو السبب وراء تسمية هذه الطريقة بطريقة الكتلة السالبة.

علينا الآن إيجاد الكتلة وموقع مركز الكتلة لكل صفيحة من هاتين الصفيحتين. بما أن هاتين الصفيحتين منتظمتان، يمكننا التعبير عن كتلتهما الكلية بضرب مساحتيهما في ثابت، وهو الكتلة لكل وحدة مساحة من المادة‎. بالنسبة إلى الصفيحة ذات الكتلة الموجبة، فإننا نحتاج إلى إيجاد مساحة المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ. نحن نعلم من الشكل أن طول قاعدة هذا المثلث يساوي ٩٣ سنتيمترًا، وارتفاعه هو طول الخط الأزرق المتقطع الذي يمر بالنقطتين ﺃ وﻡ. ولأن هذا الخط المتقطع هو ارتفاع، فإنه عمودي على المستقيم ﺏﺟ. علاوة على ذلك، بما أن ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الأضلاع، فإن هذه الزاوية هنا عند النقطة ﺏ تساوي ٦٠ درجة. إذن، المثلث المكون من ﺃﺏ والنقطة التي يلتقي عندها الارتفاع مع الضلع ﺏﺟ هو مثلث قائم الزاوية وقياسات زواياه هي ٣٠ و ٦٠ و ٩٠.

يمكننا هنا استخدام حساب المثلثات مباشرة أو الحقائق التي نعرفها عن المثلثات القائمة الزاوية التي قياسات زواياها هي ٣٠ و ٦٠ و ٩٠، فنظرًا لأن طول وتر هذا المثلث يساوي ٩٣ سنتيمترًا، فإن الارتفاع يساوي ٩٣ مضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. سوف نحسب قيمة ذلك فيما بعد، لكن في الوقت الحالي سنسميه ﻉ. حسنًا، المثلث ﺃﺏﺟ طول قاعدته ٩٣ وارتفاعه يساوي ﻉ. إذن، مساحته، التي تمثل نصف طول قاعدته في الارتفاع، تساوي نصف ٩٣ﻉ. إذا سمينا الكثافة المنتظمة الثابتة ﻙ، فإن نصفًا في ٩٣ في ﻉ هو مساحة ﺃﺏﺟ، ونصف ٩٣ﻉ في ﻙ هو الكتلة الكلية للصفيحة ﺃﺏﺟ.

لكن ماذا عن المثلث ﻡﺏﺟ؟ حسنًا، تذكر أن ﻡ هو مركز كتلة المثلث المتساوي الأضلاع. بالنسبة لأي مثلث منتظم، يكون مركز الكتلة على بعد ثلث المسافة من أي من المتوسطات. وفي أي مثلث متساوي الأضلاع، يكون المتوسط الذي يربط أي رأس بنقطة منتصف الضلع المقابل هو أيضًا ارتفاع المثلث. ومن ثم، فإن المسافة من منتصف الضلع ﺏﺟ إلى النقطة ﻡ تساوي ثلث الارتفاع الكلي للمثلث ﺃﺏﺟ. لكننا نعرف هذه القيمة، وقد سميناها ﻉ. إذن، ارتفاع ﺏﻡﺟ يساوي ثلث ﻉ. وﺃﺏﺟ وﺏﻡﺟ لهما القاعدة نفسها. إذن، مساحة ﺏﻡﺟ تساوي نصفًا في ٩٣ في ثلث ﻉ. والآن تذكر أن كتلة ﺏﻡﺟ يجب أن تكون سالبة، لكنه له نفس توزيع الكتلة الموجود في ﺃﺏﺟ. إذن، ستصبح كثافة ﺏﻡﺟ سالب ﻙ.

هيا نعد ترتيب المقدار الذي يعبر عن كتلة ﺏﻡﺟ بكتابة سالب واحد والعامل ثلث في أول المقدار. عند كتابة ذلك بهذه الطريقة، نجد أن كتلة ﺏﻡﺟ تساوي سالب ثلث مضروبًا في كتلة ﺃﺏﺟ. ولدينا هنا المعامل سالب ثلث؛ لأن مساحة ﺃﺏﺟ تساوي ثلاثة أمثال مساحة ﺏﻡﺟ، وكتلة ﺏﻡﺟ سالبة. لتسهيل الأمر وإفراغ بعض المساحة، دعونا نسم نصفًا في ٩٣ في ﻉ في ﻙ بـ ﻙ؛ بحيث تكون كتلة ﺃﺏﺟ هي ﻙ وكتلة ﺏﻡﺟ هي سالب ثلث في ﻙ.

والآن بعد أن عرفنا الكتلتين، دعونا نوجد مركز الكتلة لكل من ﺃﺏﺟ وﺏﻡﺟ. نحن نعلم أن مركز كتلة ﺃﺏﺟ يقع عند النقطة ﻡ. لقد حددنا بالفعل الإحداثي ﺹ للنقطة ﻡ، إنه ثلث ﻉ. تقع ﻡ على ارتفاع ﺃﺏﺟ. ونحن نعلم أن هذا الارتفاع، بما أنه متوسط، يتقاطع مع المحور ﺱ في منتصف المسافة بين ﺏ وﺟ. حسنًا، بما أن طول ﺏﺟ يساوي ٩٣، فإن منتصف المسافة يساوي ٤٦٫٥. إذن، إحداثيات النقطة ﻡ هي ٤٦٫٥، ثلث ﻉ. بالنسبة إلى المثلث ﺏﻡﺟ، نلاحظ أنه مثلث متساوي الساقين. ويمكننا ملاحظة ذلك لأن الخط المتقطع هو العمود المنصف لـ ﺏﺟ. لذا أي نقطة تقع على هذا المنصف بما في ذلك النقطة ﻡ تكون على مسافة متساوية من النقطة ﺏ والنقطة ﺟ. إذن، الضلعان ﺏﻡ وﻡﺟ متطابقان؛ ومن ثم ﺏﻡﺟ متساوي الساقين.

في المثلث المتساوي الساقين، يكون الارتفاع المرسوم من الرأس بين الضلعين المتطابقين أيضًا متوسطًا، كما هو الحال في المثلث المتساوي الأضلاع. لكن هذا يعني أن ارتفاع المثلث ﺏﻡﺟ، وهو الخط المتقطع الذي رسمناه بالفعل، هو متوسط أيضًا. وبما أن مركز الكتلة يكون على مسافة تساوي ثلث طول المتوسط، فإن مركز كتلة ﺏﻡﺟ يقع هنا تقريبًا. وعلى الرغم من أننا قدرنا موقع هذه النقطة في الشكل فحسب، فلا يزال بإمكاننا تحديد موقعها بالضبط. إنها تقع على الخط الرأسي نفسه مثل ﻡ، إذن إحداثي ﺱ لها يساوي ٤٦٫٥. والإحداثي ﺹ يساوي ثلث ارتفاع ﺏﻡﺟ، وارتفاع ﺏﻡﺟ يساوي ثلث ﻉ. إذن، الإحداثي ﺹ يساوي ثلث ثلث ﻉ أو تسع ﻉ.

والآن أصبحت لدينا كتلة ومركز كتلة كل من ﺏﻡﺟ وﺃﺏﺟ. كي نستخدم هذه المعلومات لإيجاد ما نبحث عنه، يمكننا استخدام صيغة مركز الكتلة لإيجاد كل إحداثي لمركز الكتلة الناتج عن الدمج بين ﺃﺏﺟ وﺏﻡﺟ. بالنسبة إلى كل إحداثي، فإننا نعوض بالكتلة والإحداثي المناظر لمركز الكتلة لكل صفيحة من الصفيحتين في البسط، ونعوض بكتلة كل صفيحة في المقام. فلنبدأ بالإحداثي ﺹ. كتلة ﺃﺏﺟ هي ﻙ، والإحداثي ﺹ لمركز الكتلة هو ثلث ﻉ. إذن، الحد الأول من مجموع البسط هو ﻙ في ثلث ﻉ. والحد الثاني في البسط هو سالب ثلث ﻙ في تسع ﻉ، وهو ما يساوي كتلة ﺏﻡﺟ في الإحداثي ﺹ لمركز كتلته.

والمقام هو مجموع الكتلتين، ﻙ زائد سالب ثلث ﻙ. لكي نبدأ في تبسيط هذا الكسر، نلاحظ أن الحدين في البسط يحتويان على ﻙ وثلث وﻉ. لذا سوف نأخذ ثلث في ﻙ في ﻉ كعامل مشترك لكلا الحدين. في المقام، ﻙ زائد سالب ثلث ﻙ يساوي ثلثي ﻙ. إذن، لدينا ثلث في ﻙ في ﻉ في واحد ناقص تسع الكل مقسومًا على ثلثي ﻙ. ‏‏ﻙ مقسومًا على ﻙ يساوي واحدًا، وثلث في البسط مقسومًا على ثلثين في المقام يعطينا اثنين فقط في المقام. في البسط، واحد ناقص تسع يساوي ثمانية أتساع. إذن، يصبح لدينا ﻉ في ثمانية أتساع مقسومًا على اثنين.

لاحظ أن القيمة الفعلية لكتلة ﺃﺏﺟ لا تؤثر في الحساب هنا؛ لأن الأمر الوحيد المهم هو الكتلة النسبية لـ ﺃﺏﺟ وﺏﻡﺟ وليس كتلتيهما المطلقة. ثمانية أتساع مقسومًا على اثنين يساوي أربعة أتساع. إذن، ﻉ في ثمانية أتساع مقسومًا على اثنين يساوي أربعة أتساع في ﻉ. بالتعويض بقيمة ﻉ، نجد أن الإحداثي ﺹ لمركز كتلة الصفيحة الجديدة يساوي أربعة أتساع في ٩٣ في الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. إذا حسبنا هذا بالآلة الحاسبة، فسنحصل على العدد ٣٥٫٧٩٥٧ وعدة منازل عشرية أخرى. وبما أنه مطلوب منا التقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن المنزلة العشرية الثالثة هي خمسة. إذن، نضيف واحدًا إلى المنزلة العشرية الثانية وهي تسعة. واحد زائد تسعة يساوي ١٠، إذن ٣٥٫٧٩٥٧ إلى آخر العدد يقرب إلى ٣٥٫٨٠.

لإيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة وبدلًا من إجراء هذه الحسابات مرة أخرى، نلاحظ أن ﺃﺏﺟ وﺏﻡﺟ لهما نفس الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة. هذا يعني أنه عند دمجهما، لن نغير الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة. ومن ثم فإن الإحداثي ﺱ لمركز كتلة الصفيحة الناتجة يساوي ٤٦٫٥. إذن، بالتقريب كما هو محدد، نجد أن مركز كتلة الصفيحة الجديدة يقع عند ٤٦٫٥، ٣٥٫٨٠.

حسنًا، بعد أن تناولنا بضعة أمثلة، سنراجع ما تعلمناه عن طريقة الكتلة السالبة. في هذا الفيديو، تعلمنا كيف أن الصفيحة المنتظمة التي تتضمن فتحات أو التي اقتطع منها أشكال أخرى يمكن التعامل معها كصفيحتين منتظمتين أو أكثر طالما أننا نجعل الصفيحة التي تمثل الفتحة لها كتلة سالبة. وهذا يضمن أنه عند دمجها مع الصفيحة المنتظمة ذات الكتلة الموجبة، فإننا نحصل على فتحة كتلتها تساوي صفرًا، في نفس الموضع تمامًا. على الرغم من عدم وجود أجسام ذات كتلة سالبة في العالم الحقيقي، فإن قيم الكتل السالبة صحيحة رياضيًّا مثل قيم الكتل الموجبة. وهذا يعني أنه يمكننا استخدامها في صيغ مثل صيغة مركز الكتلة. ومن ثم، فإن إيجاد مركز كتلة هذه الصفيحة غير المنتظمة يمكن اختزاله في مسألة أسهل بكثير تتمثل في دمج صفيحتين منتظمتين طالما أننا نجعل كتلة إحدى هاتين الصفيحتين سالبة.