فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية عن طريق التربيع الرياضيات

من خلال تربيع الطرفين أولًا، أو بأية طريقة أخرى، حل المعادلة ٤ جا 𝜃 − ٤ جتا 𝜃 = جذر (٣)؛ حيث ٠ < 𝜃 ≤ ٣٦٠. تأكد من عدم حذف أية حلول دخيلة. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٥:٠٩

‏نسخة الفيديو النصية

من خلال تربيع الطرفين، أو بأية طريقة أخرى، حل المعادلة. أربعة جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة؛ حيث 𝜃 أكبر من صفر وأصغر من أو تساوي ٣٦٠ درجة. تأكد من عدم حذف أية حلول دخيلة. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

على الرغم من أن السؤال يشير إلى تربيع الطرفين، فسيكون من الأسهل استخدام إحدى المتطابقات المثلثية. تنص إحدى صيغ مجموع زاويتين على أن جا 𝜃 ناقص 𝛼 يساوي جا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝛼 ناقص جتا 𝜃 مضروبًا في جا 𝛼. يمكننا، باستخدام هذه المتطابقة، كتابة أي معادلة على الصورة ﺃ جا 𝜃 ناقص ﺏ جتا 𝜃 لتكون على الصورة ﺭ مضروبًا في جا 𝜃 ناقص 𝛼. قيمة ﺭ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع؛ حيث ﺃ وﺏ معاملا جا 𝜃 وجتا 𝜃. وقياس الزاوية 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ.

لدينا في المعادلة أربعة جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃، إذن، ﺃ يساوي أربعة وﺏ يساوي أربعة أيضًا. هذا يعني أن ﺭ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد أربعة تربيع. أربعة تربيع يساوي ١٦. وعليه، فإن ﺭ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦ زائد ١٦. يمكننا تبسيط ذلك إلى ﺭ يساوي جذر ٣٢. ويمكننا إعادة كتابة جذر ٣٢ على صورة جذر ١٦ مضروبًا في جذر اثنين. وبما أن الجذر التربيعي لـ ١٦ يساوي أربعة، فإن ﺭ يساوي أربعة جذر اثنين. وقياس الزاوية 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ ظا أربعة مقسومًا على أربعة. أربعة مقسومًا على أربعة يساوي واحدًا. والدالة العكسية لـ ظا واحد تساوي ٤٥ درجة؛ لأن ظا ٤٥ يساوي واحدًا.

هذا يعني أن التعبير أربعة جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃 يمكن إعادة كتابته على الصورة أربعة جذر اثنين جا 𝜃 ناقص ٤٥. وبما أن أربعة جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة، فإن أربعة جذر اثنين جا 𝜃 ناقص ٤٥ سيساوي أيضًا جذر ثلاثة. لكي نحسب قيم 𝜃، علينا أولًا قسمة كلا طرفي المعادلة على أربعة جذر اثنين. وبذلك يتبقى لدينا، في الطرف الأيمن، جا 𝜃 ناقص ٤٥. وفي الطرف الأيسر، يتبقى لدينا جذر ستة على ثمانية أو ٠٫٣٠٦١ على صورة عدد عشري.

تتمثل الخطوة التالية في إيجاد الدالة العكسية لـ جا لكلا الطرفين. وهذا يعطينا 𝜃 ناقص ٤٥ يساوي الدالة العكسية لـ جا ٠٫٣٠٦١، وهكذا مع توالي الأرقام. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ١٧٫٨٣ لأقرب منزلتين عشريتين. وبإضافة ٤٥ إلى هذا الناتج، سنحصل على أحد الحلول المطلوبة. لكننا نريد إيجاد جميع الحلول الواقعة بين صفر و٣٦٠ درجة. تتمثل إحدى طرق إجراء ذلك في استخدام التمثيل البياني لمنحنى دالة الجيب بين صفر و٣٦٠ درجة. نحن نعرف أن هذا التمثيل البياني موجي الشكل ومتماثل. ويمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن جا ١٧٫٨٣ يساوي جا ١٦٢٫١٧؛ حيث يقع كل منهما عند نفس الارتفاع على المحور ﺹ.

هذا يعني أن الدالة العكسية جا ٠٫٣٠٦١، وهكذا مع توالي الأرقام، تساوي ١٦٢٫١٧. ثمة طريقة بديلة لإيجاد الحل الثاني تتمثل في تذكر إحدى القواعد. وتنص هذه القاعدة على أن الحل الثاني سيساوي ١٨٠ درجة ناقص الحل الأول. يعرف هذا أحيانًا باسم طريقة مخطط إشارات الدوال المثلثية. إذا كان جا 𝜃 يساوي قيمة موجبة، فسيوجد أحد الحلين بين صفر و٩٠ درجة، والحل الآخر بين ٩٠ و١٨٠ درجة. الخطوة الأخيرة في هذا السؤال هي إضافة ٤٥ إلى كلا الحلين. ‏١٧٫٨٣ زائد ٤٥ يساوي ٦٢٫٨٣، و١٦٢٫١٧ زائد ٤٥ يساوي ٢٠٧٫١٧. ومن ثم، فإن حلي 𝜃 هما ٦٢٫٨٣ درجة و٢٠٧٫١٧ درجة. كلتا هاتين القيمتين مقربتان لأقرب منزلتين عشريتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.